专题08 线段和差最值模型（3大模型清单+模型大招）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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模型一：两点一线
【典例】（眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，则PE+PB的最小值为 ．
【变式1】（2025•新城区校级二模）如图，已知在△ABC中，AC＝4，BC＝5，∠ACB＝120°，∠BCD＝15°，点P为射线CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为 ．
【变式2】（2025•潘集区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．65B．73C．109D．58+3
题型二：一定两动
【典例】（绥化）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ ．
【变式1】（2025•广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB中点，点D在BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（ ）
A．2+7B．2+23C．3+7D．4+43
【变式2】（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．
模型三：两点两线
【典例】（2025•南山区二模）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
A．唯方案一可行B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行D．方案一、二均不可行
【变式1】（碑林区校级）我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点A关于l的对称点A'，根据对称性可知，PA＝PA'，因此，求AP+BP最小就相当于求BP+PA'最小，显然当A'、P、B在一条直线上时A'P+PB最小，因此连接A'B，与直线l的交点，就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
（1）观察发现：如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点．请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．（三角板、刻度尺画图，保留痕迹，不写作法）
（2）实践运用：
①如图2，为了做好五一期间的交通安全工作，西安市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
②如图3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AC＝8，BD是∠ABC的平分线，若P、Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是 ．
（3）拓展延伸：
如图4，在四边形ABCD的对角线AC上确定一点P，使∠APB＝∠APD．（三角板、刻度尺画图，保留作图痕迹，不写作法）
1．（2025•运城校级模拟）为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．如果D、E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．245B．5C．275D．6
3．（2025•任城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2025•遂宁校级模拟）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5．则EP+FP这个最小值是（ ）
A．9B．10C．53D．35
5．（2025•铁东区校级模拟）如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
6．（2025•阎良区三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，连接AC，点P为AC上的动点，连接BP并延长至点H，使得PH＝BP，连接CH，则△BCH周长的最小值为 ．
7．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 ．
8．（2025•西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
9．（2025•绥化）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ．
10．（2026•玄武区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上一动点，连接ED，△DEF为等腰直角三角形，连接CF，则当CF+DF之和取最小值时，△DCF的周长为 ．（用含a的代数式表示）
11．（2025•黎城县校级模拟）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）写出点A，B，C关于y轴的对称点A'，B'，C'的坐标；
（3）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
12．（2025•山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务
任务：
（1）直接写出材料中的依据为： ；
（2）写出求解AD长的解题过程；
（3）按照材料中例题的方法，直接写出x2+4+x2−6x+13的最小值为 ．模型大招
1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
2.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
3.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：
4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：
模型大招
1.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
2.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
3.如图，点P、Q在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得四边形PCDQ的周长最小？
构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时四边形PCDQ的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
模型大招
在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.
（1）A、B两点都在直线的外侧
（2）一个点在内侧，一个点在外侧
（3）两个点都在内侧
方案一：
①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置．
方案二：
①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置．
数形结合解决二次根式求和问题
求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？
下面我们讨论一种新的方法——数形结合法
【例题】求x2+9+(7−x)2+16的最小值
Φ【分析】x2+9=x2+32，将x和3分别作为Rt△ABC的两条直角边，如图1所示，AC＝3，BC＝x，AB=x2+9，
(7−x)2+16=(7−x)2+42，将7﹣x和4分别作为Rt△DEF的两条直角边，如图2所示，EF＝7﹣x，DE＝4，则DF=(7−x)2+42，
将Rt△ABC与Rt△DEF如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上，则AB+DF的最小值为线段AD的长．（依据）