专题05 最值模型：费马点、瓜豆模型及其它模型50种题型全归纳（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案

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题型一菱形+特殊角度+费马点+旋转+最小值
题型二矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
题型三正方形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
题型四正方形+特殊角度+费马点+旋转+最小值
题型五矩形+加权费马点+点到直线距离+最小值
题型六等腰三角形+特殊角度+费马点+旋转+最小值
题型七费马点+最小值+费马点逆用+特殊角度
题型八费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景
题型九特殊三角形+旋转全等+费马点+最小值
题型十特殊三角形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
题型十一等边三角形+旋转+费马点+最小值
题型十二正方形+加权费马点+双动点+最小值
题型十三特殊四边形+加权费马点+特殊角度+最小值
题型十四矩形+加权费马点+双动点+最小值
题型十五等边三角形+旋转全等+费马点+最小值
题型十六形+加权费马点+垂直约束+最小值
题型十七平行四边形+加权费马点+圆弧约束+最小值
题型十八等腰三角形+矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
题型十九费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景
题型二十费马点+旋转+定义证明+加权费马点+实际应用
题型二十一等边三角形+正方形+旋转全等+费马点+角度计算
题型二十二抛物线背景+特殊三角形+费马点+最小值
题型二十三正方形背景+定点旋转+主动点从动点+最值
题型二十四坐标系背景+对称变换+定点旋转+轨迹相似+最值
题型二十五直角梯形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值
题型二十六直角三角形背景+动线垂直+轨迹圆+比值最值
题型二十七直角三角形背景+平行四边形构造+主动点从动点+轨迹直线+线段最值
题型二十八平行四边形背景+定角约束+轨迹圆+中位线联动+最值
题型二十九矩形背景+定角约束+垂直平分线联动+主动点从动点+轨迹圆+最值
题型三十直角四边形背景+翻折变换+定角约束+轨迹圆+线段最值
题型三十一正方形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段和最值
题型三十二矩形背景+翻折变换+轨迹圆+线段最值+直角三角形存在性
题型三十三直角梯形背景+定长线段+中点联动+轨迹圆+线段和最值
题型三十四菱形背景+定角旋转+主动点从动点+轨迹直线+垂线段最值
题型三十五矩形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段最值
题型三十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹圆+线段最值
题型三十七平行四边形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值
题型三十八等边/等腰三角形背景+平行四边形构造+定比联动+轨迹直线+线段最值
题型三十九圆背景+平移联动+主动点从动点+轨迹圆/直线+距离最值
题型四十圆与切线背景+定角约束+主动点从动点+轨迹圆+线段最值
题型四十一钝角三角形背景+双动点定速比+定比分点联动+轨迹圆+线段最值
题型四十二等腰直角三角形背景+双动点滑动+定角旋转+轨迹圆+线段最值
题型四十三正方形背景+定角约束+定比联动+轨迹圆+线段最值
题型四十四垂径定理+定点到直线距离
题型四十五三角形背景+三动点联动+对称变换+垂足三角形+周长最值
题型四十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段与周长最值
题型四十七将军饮马+胡不归组合型
题型四十八平面直角坐标系背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹射线+线段最值
题型四十九平行线背景+平移型将军饮马+面积约束+线段和最值与三角函数值
题型五十直角三角形背景+定角定比旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段最值
题型一菱形+特殊角度+费马点+旋转+最小值
1．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
题型二矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
2．（2024安徽模拟）如图，已知矩形ABCD，AB=8，BC=12，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（ ）
A．6+42B．4+413C．8+63D．20
题型三正方形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG．则DE+CG+CF的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．22
题型四正方形+特殊角度+费马点+旋转+最小值
4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB=4，则AP+BP+CP的最小值为 ．
题型五矩形+加权费马点+点到直线距离+最小值
5．（2025·陕西·模拟预测）如图，点P为矩形ABCD内一点，过点P作PG⊥CD，垂足为G，连接AP、BP，若AD=4，AB=6，则PG+PA+PB的最小值为 ．
题型六等腰三角形+特殊角度+费马点+旋转+最小值
6．（2026河北模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=75°，M是△ABC内的动点，连接MA，MB，MC，则AM+BM+CM的最小值是 ．
题型七费马点+最小值+费马点逆用+特殊角度
7．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：将△APC绕点A逆时针旋转60°至△AP'C'，连结PP'．
∴∠APC=∠AP'C'=120°．
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°．
∴△APP'是等边三角形．
∴AP=PP'，∠APP'=∠AP'P=60°．
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'．
∵∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP'=∠AP'P=60°．
∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上.此时，PA+PB+PC的值最小．
【应用】（1）如图一所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长．
（2）如图二所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点．
【拓展】（3）如图三，⊙O圆内接矩形ABCD内有一点P，PE⊥BC于点E，已知AD=2AB，且PA+PD+PE的最小值是52，求⊙O的半径．
题型八费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景
8．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
题型九特殊三角形+旋转全等+费马点+最小值
9．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
(1)请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为______；
(2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形ABCD，点B与原点重合，C坐标为4,0，∠ABC=60°，若在菱形ABCD内部有一动点P，试求PA+PB+PC的最小值，并求出此时点P的坐标是多少；
(3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的A,B,C三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点P，经研究发现，运输点P到A,B,C三个菜窖的总路程至少为219千米，若AB=23BC，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米．
题型十特殊三角形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
10．（2025·重庆·三模）在等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，在线段BC上取一点D，连接AD．过点B作BG⊥AD交AD于点G．
(1)如图1，当点D是BC的中点，AB=4时，求BG的长度；
(2)如图2，当AD为∠BAC的角平分线时，过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，过点B作BM∥AC，求证：2BG=DE+FM;
(3)在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，设Q为线段BC上的动点，当54PC+PB+34PA取得最小值时，请直接写出PQ+12BQBP的最小值．
题型十一等边三角形+旋转+费马点+最小值
11．（2024·广东·模拟预测）如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,AB=4，点E是线段AD上的一个动点，则EA+EB+EC的最小值为 ．
题型十二正方形+加权费马点+双动点+最小值
12．（2024东营市模拟预测）如图，P是边长为2cm的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值是 ．
题型十三特殊四边形+加权费马点+特殊角度+最小值
13．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，AD=CD，∠ABC=45°，AB+324BC=62，连接BD，则线段BD的最小值为 ．
题型十四矩形+加权费马点+双动点+最小值
14．（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB=6公里，BC=10公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
题型十五等边三角形+旋转全等+费马点+最小值
15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为23的等边三角形ABC中，点D是三角形内的一点，连接DA、DB、DC，且满足∠ACD=∠BAD，点E为△BCD内部的一个动点，连接BE、CE、DE，则BE+CE+DE的最小值是 ．
题型十六形+加权费马点+垂直约束+最小值
16．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分别是AD,BC上的点（点E,F分别不与点A,C重合），且EF⊥BD，则BE+EF+DF的最小值为 ．
题型十七平行四边形+加权费马点+圆弧约束+最小值
17．（2024·陕西榆林·二模）如图，在▱ABCD中，AD=6，连接AC，AB=AC=5，以点C为圆心，15CD长为半径画弧，弧分别交BC、AC、CD于点M、H、N，点P是HN上方△ACD内一动点，点Q是HN上一动点，连接AP、DP、PQ，则AP+DP+PQ的最小值为 ．
题型十八等腰三角形+矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值
18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，P为△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．为了求PA+PB+PC的最小值，小明是这样做的：将△PAB绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，则P'E=PB，连接PP'．此时小明发现∠PAP'=60°，且AP=AP，则△PAP'为等边三角形，于是PA=PP'．试着根据小明的思路，求出PA+PB+PC的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地ABCD，其中AD=200米，AB=1003米，点E在AD边上且AE=50米，F为AB边上任意一点，点A关于EF的对称点为A'．牧场主欲在四边形AEA'F的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形ABCD内一点P处打一口井，并修建地下管道PA'，PB，PC．请问：是否存在一点P，使PA'+PB+PC的值最小？如果存在，请求出PA'+PB+PC的最小值及此时BP的长；如果不存在，请说明理由．
题型十九费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景
19．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景
如图1，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为___________三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，由___________可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”．
（2）问题解决
如图3，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；
（3）问题应用
如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．现欲在△ABC内部建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1000元/km，1000元/km，10003万元/km，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值．
题型二十费马点+旋转+定义证明+加权费马点+实际应用
20．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务
题型二十一等边三角形+正方形+旋转全等+费马点+角度计算
21．（2024黄冈市模拟）问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5．你能求出∠APB的度数和等边△ABC的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
如图①将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，可得△BPP'是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP'P是直角三角形，从而使问题得到解决．
(1)结合小明的思路完成填空：PP'= ，∠APP'= ，∠APB=
(2)类比探究
①如图②，若点P是正方形ABCD内一点，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的度数
②如图③，若点P是正方形ABCD外一点，PA=6，PB=2，PC=211，求∠APB的度数．
题型二十二抛物线背景+特殊三角形+费马点+最小值
22．（2024·广东深圳·一模）如图1，已知抛物线y=−39x+3x−43与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
(1)写出A、B、C三点的坐标．
(2)若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．
(3)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D4,0，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．
题型二十三正方形背景+定点旋转+主动点从动点+最值
23．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为 ．

题型二十四坐标系背景+对称变换+定点旋转+轨迹相似+最值
24．（2025年江苏省无锡市梁溪区九年级第二次模拟考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知A(5,5)，B(8,0)，点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的对称点为Q，连接OP，将OP绕点O逆时针旋转90°得到OR，连接RQ，则RQ的最小值是（ ）
A．14B．15C．289−4D．289−22
题型二十五直角梯形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值
25．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为（ ）
A．2−2B．3−2C．10−2D．4−2
题型二十六直角三角形背景+动线垂直+轨迹圆+比值最值
26．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则CDDE的最小值是 ．
题型二十七直角三角形背景+平行四边形构造+主动点从动点+轨迹直线+线段最值
27．（2025·山东·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 ．
题型二十八平行四边形背景+定角约束+轨迹圆+中位线联动+最值
28．（2025·海南·中考真题）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=7．
（1）△AEB面积的最大值为 ；
（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为 ．
题型二十九矩形背景+定角约束+垂直平分线联动+主动点从动点+轨迹圆+最值
29．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN=60∘．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F、G、H．
(1)直接写出∠ACB=___________°，EHAM=___________；
(2)当BM=1时，求EF+GH的值；
(3)如图2，连接MG并延长交直线CD于点P．
①求证：MG=PG；
②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值．
题型三十直角四边形背景+翻折变换+定角约束+轨迹圆+线段最值
30．（2025·山东·中考真题）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED'，其中A'，D'分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F，如图2．判断四边形DBA'F的形状，并说明理由；
②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
（3）如图4，连接DD'交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
题型三十一正方形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段和最值
31．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边AB上取点E（E不与A，B重合），连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应点A1恰好落到对角线BD上．则此时线段BE的长是 ；
【深入探究】
小明继续将△ADE沿DE翻折，发现：A1，B，C三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边CD上取点F（F不与C，D重合），并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对应点A1恰好落在边BC上．记A1D1（D1为D的对应点）与CD的交点为G，连接AD1，小明再次发现：线段EF与AD1的长度之和存在最小值．请求出此时线段CG的长．
题型三十二矩形背景+翻折变换+轨迹圆+线段最值+直角三角形存在性
32．（2025·四川南充·中考真题）矩形ABCD中，AB=10,AD=17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP=FC．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM=4．点E在移动过程中，求PM的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN=4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．

题型三十三直角梯形背景+定长线段+中点联动+轨迹圆+线段和最值
33．（2025·陕西·中考真题）问题探究
（1）在△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，AD为BC边上的中线，则AD的长为_____；
（2）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°,AC=4,AB=6,P为边BC上一点，PM⊥AC,PN⊥AB，垂足分别为M,N，连接MN，求MN的最小值；
问题解决
（3）如图②，四边形ABCD是一个游乐场的平面示意图，出入口在点B处．已知∠DAB=∠ADC=90°，AB=800 m,AD=CD=600 m．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由MN,NP,PQ,QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O，其中，点M在边CD上，点N在边AD上，点P,Q在边AB上，点O为MN的中点．
按照设计要求，MN的长为400 m,PQ的长为80 m，在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当BO最小时NP+MQ的最小值及此时BQ的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计）
题型三十四菱形背景+定角旋转+主动点从动点+轨迹直线+垂线段最值
34．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
题型三十五矩形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段最值
35．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D'在边BC上，点C的对应点为C'，则DE的最小值为 ，CF的最大值为 ．
题型三十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹圆+线段最值
36．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD=1，则AE的最大值为 ，最小值为 .
题型三十七平行四边形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值
37．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为 ．
题型三十八等边/等腰三角形背景+平行四边形构造+定比联动+轨迹直线+线段最值
38．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM=MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
题型三十九圆背景+平移联动+主动点从动点+轨迹圆/直线+距离最值
39．（2024·河北·中考真题）已知⊙O的半径为3，弦MN=25，△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=32．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动，设BN=x．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧AN的长；
(2)当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；
(3)设点O到BC的距离为d．
①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
题型四十圆与切线背景+定角约束+主动点从动点+轨迹圆+线段最值
40．（2024·陕西西安·模拟预测）问题提出
（1）已知A,B,C平面上三个点，AC=5，BC=7，则AB的最小值为 ．
问题探究
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，点P为边AB上一个动点，点M,N分别为线段AP,AC的中点，求MN的最小值．
问题解决
（3）如图，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段AB,AC及弧BC组成，∠BAC=60°，弧BC所在的圆与AB边相切于B点，一束光线从A点发出，经弧BC反射后沿DE射出，其中AD⊥DE，∠EAD=60°，已知弧BC所在圆的半径为6，弧BC的长度为2π．请问当光线在弧BC上反射时，线段AE是否存在最小值？若存在，求出AE的最小值；若不存在，请说明理由．
题型四十一钝角三角形背景+双动点定速比+定比分点联动+轨迹圆+线段最值
41．（2024·江苏盐城·三模）【提出问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB+BC=4，求AC的最小值．
【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设AB=x，表示出AC或者AC2，利用函数知识…
小红：从几何角度看，延长CB到点D，使得BD=AB，则CD=4，连接DA…
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，∠ABC=90°，AB=2，点P从点A出发沿线段AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿射线BC匀速运动，点Q的速度是点P的两倍，连接PQ，取PQ的中点D，连接BD，在P、Q运动过程中，线段BD的最小值是 ．
【拓展提升】
如图3，∠ABC=120°，AB=3，点M从点A出发沿线段AB向点B运动，同时点N从点B出发沿射线BC匀速运动，点N的速度是点M的两倍，当点M到达点B时，点N停止运动，连接MN，点T是线段MN上一点，且NT=2MT，连接BT，在M、N运动过程中，求线段BT的最小值．
题型四十二等腰直角三角形背景+双动点滑动+定角旋转+轨迹圆+线段最值
42．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】
（1）如图1，动点A在半径为2的⊙O上，若OB=3，求AB的最小值．
由于OA和OB都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在OB上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求AB最小值的解题过程．
【类比分析】
（2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形ABCD边CD和AD上的两个动点，且CE=DF，连接AE和BF交于点G，连接DG，求DG的最小值．
霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测∠AGB始终都是直角，于是联想到了“90°圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形ABCD内以AB为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求DG最小值的解题过程．
【学以致用】
（3）如图3，是两块等腰直角三角板，∠C=∠DEF=90°，CA=CB，ED=EF=4．当点D和E同时在边AC和AB上滑动时，点F也随之移动，若连接AF，则AF的最大值是____________．
题型四十三正方形背景+定角约束+定比联动+轨迹圆+线段最值
43．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（ ）
A．6B．62−5C．35D．45−22
题型四十四垂径定理+定点到直线距离
44．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点A3,0为圆心，13为半径作⊙A．直线y=kx−3k+2与⊙A交于B,C两点，则BC的最小值为 ．
题型四十五三角形背景+三动点联动+对称变换+垂足三角形+周长最值
45．（2025·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．
题型四十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段与周长最值
46．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，Rt△ABC中，AB=AC=8， BO=14AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN、CN，则：
（1）AN的最小值为
（2）△CAN周长的最小值为 ．
题型四十七将军饮马+胡不归组合型
47．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=−43x+2上的一动点，动点Em，0，Fm+3，0，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．

题型四十八平面直角坐标系背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹射线+线段最值
48．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，A−4,0，D4,0，B是y轴正半轴上一动点，把线段AB绕点A顺时针旋转150°得到线段AC，连接CD，则CD的最小值是 ．
题型四十九平行线背景+平移型将军饮马+面积约束+线段和最值与三角函数值
49．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点C是直线l外一定点，AB是直线l上的动线段，AB=5，连接AC、BC，S△ABC=15．求当AC+BC取最小值时sin∠CBA的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将AB看作静线段，则点C在平行于直线l的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当AC+BC取最小值时sin∠CBA= ．
题型五十直角三角形背景+定角定比旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段最值
50．（2025·河南漯河·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AB=3，D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为直角边按如图所示的方向作Rt△DBE，使得∠DBE=90∘，且BE：BD=1：3，F是边BC上的一点，BF=3，连接EF，则BE的长的最小值为 ，EF的长的最小值为 ．
费马点的思考
问题背景
17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．

素材1
解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC行转化：
如图：把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP'C'，连接PP'，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP'+P'C'的最小值的问题了．当B，P，P'，C'四点共线时，线段BC'的长为所求的最小值，容易证明∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此时点P为△ABC的“费马点”．

素材2
图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为2km，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．

任务一
感悟证明定理
请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明：PA+PB+PC=BP+PP'+P'C
任务二
初步探索位置
在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（ ）
A．△ABC内的区域
B．△ACD内的区域
任务三
拟定恰当方案
为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？