专题09 等腰三角形与最短路径（3大题型5难点1新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：等腰三角形
【中考母题溯源·学方法】
【典例1-1】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ．
【典例1-2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度．
【典例1-3】（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
【变式1-1】难点01：结合非负数求等角三角形的周长
（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．B．或C．D．或
【变式1-2】难点02：构造等腰三角形
1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，是以为底边的等腰三角形，其中，点是上一个动点（点不与，重合），连接，以为腰作等腰三角形，其中，连接．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图1，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图2，点在上，且，以为腰构造等腰三角形，使，连接，若，直接写出线段的取值范围．
【变式1-3】难点03：构造三线合一
（2024·河南·一模）（1）张老师在活动课上出示了如下一道探究题：
如图1，在和中，，，B，C，E三点在同一条直线上，A，D两点在BE同侧，若，求证：．
张老师从条件出发：如图2，过点A作交BE于点M，过点D作交BE于点N，依据等腰三角形“三线合一”的性质分析BM与BN之间的关系，可证得结论．
请你运用张老师的方法解决上述问题．
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：
如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在BE同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求BE的长．
（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路，提出了如下问题：
如图4，在四边形中，，，E为CD的中点，连接AE，若，，，请直接写出CD的长．
【变式1-4】新考法01：新定义型阅读理解题
（2025·山东滨州·模拟预测）【阅读学习】
(1)判断：在中，，，则 “可两分三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)画图和计算：下图中的两个三角形都是“可两分三角形”，请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数；
(3)画图和计算：请你在图4中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数；
(4)画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可）
5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．

6．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．

7．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm．
8．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为 ．
9．（2026·新疆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为 ．
11．（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ．
12．（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ．
13．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题：
在几何题自中如果有的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的点拨，同学们会发现了这样几种方法：
①如图a，作的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作，构造等腰三角形．
③如图c，作，构造等腰三角形．④如图d，作，构造等腰三角形．
参考以上方法同学们就会解决下面问题：
如图1，在中，，，求证．
【类比分析】
（2）如图2，在中，点D、E两点分别在线段AB、BC上，，，过点E作．如图2，求证．
【学以致用】
（3）如图3，为等边三角形，，若，，求的长．
题型二：二倍角问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
【变式2-1】（2024·辽宁大连·一模）如图中，，垂足为D，，若，，长为y，则y与x的函数关系式为________．
二倍角问题是同学们在几何图形中比较困难的问题之一，二倍角问题的解题策略很多，其中之一便是构造等腰三角形，利用等腰三角形的相关性质来解决问题，小明和小强通过对本题二倍角问题的研究，提出以下想法：①小明：由，想到构造等腰三角形，把以为轴翻折，到，可设为，则为，通过导角计算，可以得到一个等腰三角形；
②小强：在图中，可利用勾股定理或者相似三角形来进行计算，导出y和x的数量关系．
(1)问题：请按照上面两名同学的思路，证明：
①；
②写出y和x的数量关系式．
(2)问题拓展：
矩形中，E为边上一点，连接，在上取一点F，，，若，求的值．
【变式2-2】难点04：在三角形外部构造等腰三角形
我们已经研究过等腰三角形和直角三角形这两种特殊的三角形．其实，特殊的三角形很多比如，一个内角等于另一个内角的2倍的三角形也是一类特殊的三角形，我们把这类三角形叫做“二倍角三角形”，请按照下列要求研究“二倍角三角形”．
(1)在直角三角形中，是二倍角三角形的有_______；用没有刻度的直尺和圆规作一个不含直角的二倍角三角形（不要求写作法，保留作图痕迹），
(2)如图，已知中，的对边分别为a，b，c．
①若，请提出a，b，c的等量关系的一个猜想，并加以证明；
②请从边的等量关系角度提出二倍角三角形的一个判定猜想，并加以证明．
(3)是否存在三边长依次为连续自然数的“二倍角三角形”？如果存在，直接写出三边的长，如果不存在，请说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
学习任务：
（1）材料中的取值范围是______．
（2）如图4，在中，，，则的长是______．
（3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”．
2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用．
3．（2024·辽宁鞍山·三模）【问题初探】
在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，是等腰三角形，，过点B作于点D，若，，求的长．
同学们经过思考后，交流出两种解题思路：
思路1：在和中，分别利用勾股定理即可求出的长；
思路2：如图2，在上截取，连接，先证出，再利用相似求出的长；
（1）请利用思路2求出的长；
【类比分析】
思路2是利用转化的思想，将二倍角问题转化为等角进行研究，为了使学生进一步感悟转化思想，王老师提出下面问题，请解答．
（2）如图3，在Rt中，，，点E在边上，且，若，求的长；
【学以致用】
（3）如图4，是等腰三角形，，交的延长线于点D，E是边上一点，，，，求的长．
题型三：最短路径问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3-1】（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
【典例3-2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是 ．
【典例3-3】（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
【变式3-2】（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
【变式3-3】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ．
【变式3-4】难点05：将军饮马模型
（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·河北保定·一模）菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·吉林长春·二模）如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是 ．
5．（2025·全国·一模）如图，等边的边长为8，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是 ．
6．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ．
7．（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为 ．
8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ．
9．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P．
（1）若M是的中点，则的长为 ；
（2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ．
10．（2025·安徽滁州·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上．
(1)将向左平移个单位长度，得到，画出．
(2)在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称，请画出．
(3)请在轴上找一点，使的长度最短．
11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
题型一：等腰三角形
难点01：结合非负数求等角三角形的周长
难点02：构造等腰三角形
难点03：构造三线合一
新考法01：新定义型阅读理解题
题型二：二倍角问题
难点04：在三角形外部构造等腰三角形
题型三：最短路径问题
难点05：将军饮马模型
1.腰（角）不确定的分类讨论
2.三线合一的应用
解题关键是利用等腰三角形“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合，利用角平分线、中线和高线的性质解题.
阅读1：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫做“可两分三角形”，这条线段叫做这个三角形的“两分线”．
阅读2：如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．如图3，线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段，是的“三分线”．
倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形．
下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究．
角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______．
边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即．
如图2，延长到点H，使．连接．则，．
所以．
所以，即．所以．
特殊线段：过点B作边上的高，
若点F为的中点，则．理由如下：
如图3，取的中点P，连接，．
定义：
在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．例：右图中，则为倍角三角形

任务1
概念明晰：以下几个特殊三角形是倍角三角形的有_______．
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含的直角三角形；
④顶角为的等腰三角形；⑤底角为的等腰三角形．
性质
性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．如右图：若，则．

任务2
性质证明：如图，在倍角三角形中，，求证：思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角．请从以下两种方法中选一个方法进行证明．
方法一：作平分，则

方法二：延长至点D，使，则

任务3
性质应用：如图，在中，，，，则_______．

任务4
拓展应用：如图，在中，，，，则_______．