山西省太原市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份山西省太原市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（含答案解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数满足，则（ ）
3. 已知，，则（ ）
4. 已知是递减的等比数列，是其前项和，且，，则数列的公比（ ）
5. 已知直线与圆相交于，两个不同点，直线与轴与轴分别相交于，两点，若，则（ ）
6. 某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（ ）
7. 在中，，，点满足，则（ ）
8. 如图，函数的图象是以坐标原点为对称中心，以轴和直线为两条渐近线的双曲线，则其离心率为（ ）
二、多选题
9. 已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ）
10. 已知棱长为的正方体中，点为棱的中点，动点为四边形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（ ）
11. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题
12. 双曲线的焦点坐标为______.
13. 已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______.
14. 已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
四、解答题
15. 在中，，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)在（2）的条件下，求的角平分线的长.
16. 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.
(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
(2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，.
(1)证明：；
(2)棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由.
18. 已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求点的轨迹方程；
(3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值.
19. 已知函数（）.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数零点个数；
(3)若，（）是函数的两个零点，证明：.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．或
D．
A．2
B．
C．6
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．12
D．18
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则点的轨迹的长度为
B．若，则的最小值为
C．若，则的最大值为
D．若点到点的距离等于它到直线的距离，则的最大值为
A．
B．
C．
D．