山西省吕梁市2026届高三第一学期期末调研测试数学试题（含答案解析）

这是一份山西省吕梁市2026届高三第一学期期末调研测试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 复数的虚部为（ ）
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
3. 等差数列中，，则（ ）
4. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（ ）
5. 若事件与相互独立，，则（ ）
6. 已知函数的定义域为，若，则的解析式一定不是（ ）
7. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点，若，则以为直径的圆被轴截得的弦长为（ ）
8. 现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 在2025年乒超联赛总决赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2､3､4､⋯堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆第一层的乒乓球数为，第堆乒乓球的总数为，则（ ）（参考公式：）
11. 已知中，角的对边分别为，且满足，则（ ）
三、填空题
12. 已知集合，，则__________．
13. 已知且，则__________．
14. 已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围为__________．
四、解答题
15. 已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到函数的图象，若在上单调递增，求实数的取值范围．
16. 为深入贯彻落实党的二十大关于“深化全民阅读活动”的重要精神和二十届四中全会关于“激发全民族文化创新活力”的战略部署，推进书香社会建设，某社区随机调查了500名居民每周的阅读时间（单位：小时），将全部样本数据分成九组，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求的值；
(2)根据频率分布直方图，估计该社区居民每周阅读时间的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)为进一步了解居民阅读偏好，从阅读时长在和的居民中，采用等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行深度访谈．记阅读时长在内的人数为，求的分布列和数学期望．
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面．
(1)若，求证：平面；
(2)若是等边三角形，求平面与平面夹角的正弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，且过点分别为椭圆的左､右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于点和，弦和的中点分别为．
①证明：直线过定点；
②求面积的最大值．
19. 已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
A．i
B．
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．28
B．56
C．63
D．67
A．
B．
C．
D．
A．0.9
B．0.85
C．0.7
D．0.6
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．数据的第25百分位数为2
B．若随机变量，且，则
C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为-1
D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．面积的最大值为1
D．