河南省郑州市清华附中郑州学校八年级上学期期中数学试卷（解析版）

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（清华附中郑州学校C33级）2024.11
一、选择题（共10道题，每题3分，共30分）
1. 下列数据能作为直角三角形三边的是（ ）
A. B. 1，2，3C. D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理内容是解题关键．
根据勾股定理逆定理求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴不能作为直角三角形三边，故A不符合题意；
B、∵，
∴不能作为直角三角形三边，故B不符合题意；
C、∵，
∴不能作为直角三角形三边，故C不符合题意；
D、∵，
∴能作为直角三角形三边，故D符合题意；
故选：D．
2. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ）
A. B. 4C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】若二次根式有意义，则被开方数是非负数，
即，
解得，
所以B选项满足条件，
故选B．
3. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键．
4. 点关于轴对称的点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：点关于轴对称的点坐标是，
故选： ．
5. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键.
根据函数的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数；
对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数；
故选：C．
6. 如图，数轴上点中，与相对应的点是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】先根据无理数的估算可知：，则，根据数轴上点的位置可作判断．本题考查数轴上表示的数及无理数的估算等知识．
【详解】解：，
∴，
，
由题意可知：点表示，
故选：B．
7. 如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是
A. 36B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质分别求出DE，EF，根据勾股定理求出DF，根据圆的面积公式计算．
【详解】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，
，，
由勾股定理得，，
半圆C的面积，
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
8. 两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的中的的符号，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由图象可知，；由图象可知，，A错误；
B．由图象可知，；由图象可知，，B正确；
C．由图象可知，；由图象可知，，C错误；
D．由图象可知，；由图象可知，，D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
9. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ．
【详解】解：如图所示：
台阶平面展开图长方形，，，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
故选：D．
10. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米
A. ①②③B. ①③④C. ③④D. ①②
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键．
①根据速度等于路程除以时间求解．
②先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解．
③根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解．
④用总路程减去甲走过的路程即可．
【详解】解：①∵乙用秒跑完米
∴乙的速度为米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟，
∴甲速度为米/秒，
∴乙追上甲所用时间为秒，
，
秒，
∴米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，
，
，
当乙到达终点停止运动后，
，
，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：米，
即甲距离终点还有米．
故④正确；
正确的个数为①③④．
故选：B．
二．填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 和是正数的两个平方根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可求解．
【详解】解：∵和是正数的两个平方根，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个是正数的平方根有两个，它们互为相反数解题的关键．
12. 如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数图象的平移规律求出平移后的一次函数的表达式．
【详解】设直线的解析式为,
∵直线经过点，
∴,
解得：，
∴直线的解析式为,
直线向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
13. 若点都在一次函数的图象上，则______．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式中，可得y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，点都在一次函数的图象上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
14. 鸡兔同笼问题为：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设笼中有鸡只，兔只，根据以上信息，请列出方程组_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．
【详解】解，设鸡只，兔只，则可列方程组为，
故答案为：．
15. 如图，已知在中，，点D是边上的任意一点，以为折痕翻折，使点B落在点E处，连接，当为直角三角形时，的长为______．

【答案】12或6##6或12
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换——折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．根据勾股定理可得，然后分两种情况讨论：若，若，分别画出图形，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
根据题意得：，，，
若，点E在上，如图，

∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
即；
若，则，如图，

根据题意得： ，
∵，
∴，
∴；
综上所述，当为直角三角形时，的长为12或6,
故答案为：12或6．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）解方程组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
（1）根据二次根式的运算法则，先计算乘除，再计算加减即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
由得：，
解得：，
将代入②得：
解得：
∴原方程组的解为：．
17. 如图，在中，D是边上一点，．
（1）求证：；
（2）若E是边上的动点，求线段的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）9.6
【解析】
【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可．
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：当时，线段最短，
在中，，
∵，
∴，
∴线段的最小值为9.6．
18. 如图，已知在一平面直角坐标系中，和的坐标分别是，．解答下列问题：
（1）请在示意图中建立平面直角坐标系；
（2）通过计算说明在和这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
【答案】（1）见解析 （2）D点离坐标原点更远
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系和勾股定理．
（1）根据点A和点B的坐标即可解答；
（2）根据勾股定理计算和，再进行比较即可．
【小问1详解】
解：平面直角坐标系如图所示．
【小问2详解】
解：根据勾股定理可得：，
，
∵，
∴D点离坐标原点更远．
19. 正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝-3x＋k的图象交于点P(1，m)，求：
（1）k的值；
（2）两条直线与x轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）k＝5；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法将点P(1，m)代入函数中，即可求得k的值；
（2）先根据题意画出图形，再根据交点坐标即可求出三角形的面积．
【详解】（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝-3x＋k的图象交于点P(1，m)，
∴把点P(1，m)代入得m＝2，m＝-3＋k，
解得：k＝5．
（2）由（1）可得点P的坐标为(1，2)，
∴所求三角形的高为2．
∵y＝-3x＋5，
∴其与x轴交点的横坐标为，
∴S＝××2＝．
20. 学校今年“十一”期间要组团去北京旅游．与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元旅行费，不优惠．乙旅行社提出每人次收350元旅行费，但有3人可享受免费待遇，若不超过3人则正常按人次收费．
（1）分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间函数关系式；
（2）如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？
（3）如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？
【答案】（1），
（2）选乙旅行社比较合算，理由见解析
（3）当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数为21时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当旅行人数超过3人且少于21时，选择乙旅行社比较合算．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种收费方法的组成是解题的关键．
（1）根据甲旅行社的收费方案写出与x的函数关系；分和两种情况写出与x的函数关系式；
（2）把分别代入函数关系式计算，然后判断即可；
（3）分情况讨论，列出不等式或方程，然后求解即可．
【小问1详解】
解：甲：；
乙：当旅行人数时，，当旅行人数时，，
综上所述：，；
【小问2详解】
解：当时，元，，
∵，
∴如果组织20人的旅行团时，选乙旅行社比较合算；
【小问3详解】
解：当时，由于，则甲旅行社合算；
当时：①当，即
时，
解得，
所以当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算；
②当，即时，
解得，
所以当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；
③当，即时，
解得，
所以当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算．
综上所述，当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算．
21. 学完勾股定理后，小宇对勾股定理产生了极大的兴趣，通过搜集资料，整理了一篇有关勾股定理的数学学习笔记，下面是学习笔记的部分内容，请阅读并完成相应的任务．
任务：请参照小论文中“双求法”解决下面问题：
（1）图1、图2的两个正方形网格的面积分别为（两个网格单位长度不同），正方形，满足，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
（2）如图，在中，是边上的高，，，，求的值．

【答案】（1）D （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）设图1中每个小正方形的面积为x，图2中每个小正方形的面积为y，得出，，，，根据，得出，然后逐项进行判断即可；
（2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出x的值即可．
【小问1详解】
解：设图1中每个小正方形的面积为x，图2中每个小正方形的面积为y，根据题意得：
，，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【小问2详解】
解：设，则，如图所示：
∵是边上的高，
∴，
∴和为直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
22. 在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）如表是与的对应值：
①______；
②若点、都在该函数图象上，则______；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的两条性质：
①__________________
②__________________
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出时的取值范围______．

【答案】（1）①3；②2
（2）见详解 （3）或
【解析】
【分析】（1）①将代入函数即可求解出；
②根据表格中数据即可求得结论；
（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；
（3）根据图象，可直接写出不等式的解集．
本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．用图象解不等式，找到两个图象交点坐标，是解决（3）题的突破口．
【小问1详解】
解：①将代入函数得，
，
，
故答案为：3；
②由表格中数据可知：若，为该函数图象上不同的两点，则；
故答案为：2；
【小问2详解】
解：画出函数图象如图，

观察图象可知：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
【小问3详解】
解：观察图象可知：时的取值范围为或
对勾股定理的再认识
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”…

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