河南省郑州外国语中学八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州外国语中学八年级上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 下列选项中的数是无理数的是， 下列运算正确是等内容，欢迎下载使用。
时间：90分钟 分值：100分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列选项中的数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的某些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】、是无理数，符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意；
故选：．
2. 在中，不能判断它是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定．有一个角是直角的三角形是直角三角形，故A选项不符合题意；如果一个三角形的三边满足，则这个三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；如果一个三角形的三不边满足，则这个三角形不是直角三角形，故C选项符合题意；如果一个三角形中其中两个内角之和等于第三个内角，则可以得到，则这个三角形一定是直角三角形，故D选项不符合题意．
【详解】解：A选项：中，则为直角三角形，故A选项不符合题意；
B选项：中，则，根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，故B选项不符合题意；
C选项：中，设、、，因为，可知不是直角三角形，故C选项符合题意；
D选项：中，根据三角形内角和为可得，可知为直角三角形，故D选项不符合题意
故选：D．
3. 平面直角坐标系中，点位于第三象限，的值可能为（ ）
A 2B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，第三象限内的点横纵坐标都为负数，据此求解即可．
【详解】解：∵平面直角坐标系中，点位于第三象限，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故选：B．
4. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，算术平方根，立方根．根据二次根式的乘法、算术平方根，立方根的性质计算即可求解．
【详解】解：A、没有意义，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 若点，都在一次函数图象上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法比较
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，利用一次函数解析式得出增减性，进而得出的大小关系，熟记并灵活运用一次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数解析式为可知，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：．
6. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，再根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，
由勾股定理得，
故选：B．
7. 函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据正比例函数和一次函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：A、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
C、由y＝kx的图象知k＜0，则﹣k＞0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意．
D、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，准确判断是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，点，点，且直线轴，则点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，判断点所在的象限，平行于x轴的直线上的点，纵坐标相同，据此求出a的值，进而求出点的坐标，再根据每个象限内的点的符号特点即可得到答案．
【详解】解：∵直线轴，点，点，
∴，
∴，
∴，
∴点，即点位于第四象限，
故选：D．
9. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是4、6、2、4，则最大正方形的面积是（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出，，，即最大正方形E的面积为．
【详解】解：如图，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，

则由勾股定理得：，，，
即最大正方形E的面积为：．
故选：C．
10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 小数比小文先出发15秒
B. 小文提速后的速度为
C.
D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项．
【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意；
∵当秒时，，当秒时，厘米，
故小文提速前的速度是厘米/秒，
∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意；
故提速后小文行走所用时间为：秒，
∴秒，
∴，
∴小数的速度为厘米/秒
∴秒，故选项C错误，符合题意；
设段对应的函数表达式为，
将点代入，可得，
可得，
∴可有，
当时，小数和小文之间距离最大值厘米；
当时，设，
将，代入，
可得，解得，
∴此阶段有，
∴小数和小文之间距离，
当时，取最大值，最大值为厘米；
设段对应的函数表达式为，
将，代入，
可得，解得，
∴此阶段有，
当时，小数和小文之间距离，
当时，取最大值，最大值为厘米；
当时，小数和小文之间距离最大值为厘米．
综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 25的平方根是_____．
【答案】±5
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
12. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是__________(写出一个即可).
【答案】(答案不唯一，满足即可)
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．
【详解】∵经过第二，四象限
∴
∴（答案不唯一，满足即可）
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握此知识点是解题的关键．
13. 如图，以为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为________；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，
∵，
∴，
∴，
∴数轴上点表示的数是，
故答案为：．
14. 如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是________；

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可．
【详解】解：设定字母如图所示：

①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B最短距离，

在中，由勾股定理得：；
②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，

在中，由勾股定理得：；
③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，

在中，由勾股定理得：．
∵
∴蚂蚁爬行的最短路程是．
故答案为：．
15. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案．
【详解】解；由题意得，轴，轴，
∵的坐标为，
∴，
∴，
分两种情况：
当点在轴的正半轴时，如图所示：
由折叠的性质可得 ，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
②当点在轴的负半轴时，如图所示：
由折叠的性质可得 ，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，点的坐标为，点的坐标为．
（1）在平面直角坐标系中作线段关于轴对称的线段（与，与对应）；
（2）求的面积；
（3）在轴上存在点，使的周长最小，标出点（保留作图痕迹），写出的坐标________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，一次函数与几何综合，轴对称—最短路径问题：
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B对应点、的坐标，描出、，再顺次连接、即可；
（2）先求出轴，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3），连接交y轴于P，则点P即为所求；利用待定系数法直线的解析式，进而求出直线与y轴的交点坐标即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：∵线段关于轴对称的线段为线段，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴轴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，连接交y轴于P，则点P即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
18. 我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米．
（1）教学楼墙面破损处距离地面的高度？
（2）为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？
【答案】（1）教学楼墙面破损处距离地面的高度为；
（2）梯子底部需要向左移动．
【解析】
【分析】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解；
（）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解；
本题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得，，，，
由勾股定理得：，
∴教学楼墙面破损处距离地面的高度，
答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为；
【小问2详解】
解：由题意得，梯子顶端离地面，
∴梯子底部离墙角处为，
∴梯子底部需要向左移动，
答：梯子底部需要向左移动．
19. 二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
（1）具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
（2）观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
（3）证明你的猜想．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：
（1）仿照①化简求解即可；
（2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可；
（3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①；
②；
③；
④；
……．，
以此类推，可知；
【小问3详解】
证明：
．
20. 为了丰富学生校园生活，我校决定准备购买50个篮球和个排球，篮球的单价是100元，排球的单价是80元，某体育用品店有两种优惠方案，方案一：每购买一个篮球就送一个排球；方案二：购买篮球和排球的费用一律打八折；购买方案一的费用为元，方案二的费用为元．
（1）直接写出（元），（元）关于（件）的关系式；
（2）若学校计划购买排球100个，则采用哪一个方案便宜？
（3）若学校有2万元的预算，则采用哪一方案购买最划算？
【答案】（1）；
（2）采用方案一便宜 （3）采用方案二购买最划算
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确列出对应的关系式是解题的关键：
（1）根据所给的优惠方案列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求求出当时两个函数的函数值，比较即可得到结论；
（3）根据（1）所求求出函数值为20000时自变量的值，比较即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得，；
；
【小问2详解】
解：当时，，
，
∵，
∴采用方案一便宜；
【小问3详解】
解：当时，解得；
即方案一可购买的排球数是个，
当时，；
即方案一可购买的排球数是个，
∵，
∴同样是2万元的预算，方案二比方案一购买的排球数多，
∴采用方案二购买最划算．
21. 探索函数的图象与性质需要经历“列表、描点、连线”后，根据函数图象来归纳其性质．下面运用这样的方法探索的性质．
（1）完成下面列表：其中________，________；
根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线；
（2）结合函数图象，下列说法正确的是：________
函数图象有对称轴；当时，函数存在最大值，最大值为；随增大而减小．
（3）若直线与该函数图象始终有两个交点，的取值范围是________．
【答案】（1），；画图见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据，把的值代入即可求解；
根据画函数图象的方法即可求解；
（）根据函数图象性质即可求解
（）当直线经过点，即一个交点时，当直线与平行时，分别求出的值，然后函数图象即可求出取值范围；
本题考查了一次函数的性质，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：当，∴；
当，∴，
故答案为：，；
如图，
【小问2详解】
解：通过图象可知，函数图象有对称轴，故正确；
当时，函数存在最大值，最大值为，故正确；
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，故错误；
故答案为：；
【小问3详解】
解：若直线经过点时，，
∴，
当直线与平行时，，
∴直线与该函数图象始终有两个交点，的取值范围是，
故答案为：．
22. 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究：
（1）操作思考：如图，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为________；
（2）类比探究：如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式；
（3）拓展应用：如图，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）；
（2），直线解析式为；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（）过作轴于点，过作轴于点，由是等腰直角三角形，则，，根据同角的余角相等得，证明，从而即可求解；
（）过作轴于点，同（）理得，则，，由求出，，然后用待定系数法求出直线解析式为即可求解；
（）同（）理得，然后分情况画出图形即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，过作轴于点，
同（）理得，
∴，，
由得，当x=0时，，即；当时，x=−1，即；
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
当时，x=−6，即；
【小问3详解】
解：如图，同（）理得：，
∴，，
∵点是直线上的一点，
∴设，
∴，，
∵的坐标为，的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，如图，同（）理得：，
∴，，
∵点是直线上的一点，
∴设，
∴，，
∵的坐标为，的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知：点的坐标为或．
…
…
…
…