河南省郑州市四校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据“小大大小中间找”的原则可知，A选项正确，
故选：A．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】A、两边同时加上2得，，不等号方向不变，说法正确，故选项不符合题意；
B、两边同时乘以得，，不等号方向改变，说法正确，故选项不符合题意；
C、若，当时，，原说法不正确，故选项符合题意；
D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意．
故选：C．
4. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B. ．
C. D.
【答案】B
【解析】A. ，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B. ，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C. ，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D. ，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. D. 点B与点E对应点
【答案】C
【解析】A．，
∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴此选项正确，不符合题意；
B．，
∵，
∴，
∴此选项正确，不符合题意；
C．，
∵，
∴此选项不正确，符合题意；
D．点B与点E是对应点，
∵点B与点E是对应点，
∴此选项正确，不符合题意．
故选：C．
6. 如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A. 在两边高线的交点处B. 在两边中线的交点处
C. 在两边垂直平分线的交点处D. 在两内角平分线的交点处
【答案】C
【解析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处，
故选：．
7. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有25道题，对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣1分，则至少答对多少题，得分才不低于85分？设答对x题，可列不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵答对x道，打错或未答（25-x）道，
根据题意，得，
故选：A．
8. 尺规作图要求：Ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ．作线段的垂直平分线；Ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ．作角的平分线．与作图要求一致的图形顺序是（ ）
A. ①②③④B. ③②④①C. ②④③①D. ②③④①
【答案】D
【解析】图①是角平分线的尺规作图，图②是过直线外一点作直线的垂线的尺规作图，图③是线段垂直平分线的尺规作图，图④是过直线上一点作这条直线的垂线，
因此与作图要求一致的图形顺序是②③④①，
故选：D．
9. 如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形已知，则阴影部分的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，
，
阴影部分的周长．
故选：A．
10. 如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得，
解得：，
故选：B．
二、填空
11. 用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________．
【答案】
【解析】反证法证明“a > b”时，应先假设．
故答案为：．
12. 请写出一个满足下列条件的不等式：①解集为；②在求解的过程中需要改变不等号的方向，则该不等式可以是：_________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，
移项，得
，
系数化为1得
，
∴不等式满足①解集为；②在求解的过程中需要改变不等号的方向．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则等于_______．
【答案】3
【解析】过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
，，平分，
．
故答案为：3．
14. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折．
【答案】7
【解析】设该商品打x折出售，
由题意得，，
解得，
∴至多可以打7折，
故答案为：7．
15. 如图，点O是等边内部一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论有____________．
【答案】①②③
【解析】连接，过点作，垂足为，
由旋转得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故①正确；
由旋转得：
，，
是等边三角形，
，
点与的距离为4；
故②正确；
是等边三角形，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
故③正确；
在中，，
，
故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题
16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x>4，
在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：x>4．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）将沿x轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标．
（2）将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标．
解：（1）如图，为所作，点．
（2）如图，为所作；．
18. 已知：如图，中，点D是BC中点，于点E．
（1）求作：射线DF，使于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若，求证：．
（1）解：如图，DF为所作；
（2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴DB=DC，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
19. 已知a、b、c分别是的三边．
（1）分别将多项式，进行因式分解；
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c分别是的三边，满足两边之和大于第三边，即，
∴，
即，
故的形状是等腰三角形．
20. 定义运算：当时，；当时，；如：；
（1）______，当时，______；
（2）若，求x的取值范围；
（3）如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______．
解：（1），当时，；
故答案为：，x；
（2）∵，
∴，解得：；
（3）∵，∴，
∵，，∴，
由图象得：此时x的取值范围是，
故答案为：．
21. 如图①所示，将两个含角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题： ．
（1）请在上面空格中写出该命题；
（2）小聪发现（1）中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已知”和“求证”，并写出证明过程．
已知：在中，， ．
求证： ．
证明：
解：（1）由题意可得，
命题为：若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则直角边所对的角为角；
（2）由（1）得，
已知：在中，，，
求证：；
证明：延长至D使，连接，
∵，
∴，
在与，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故所填答案为：；．(证明如上)
22. 我市晋源区积极推广“鱼混+”综合种养模式，探索鱼+稻，莲、花、果、菜的生态化养殖．近日，“鱼菜混养”示范基地的一批鲈鱼上市，定价为40元千克，基地对购买量在100～300千克（含100与300千克）的本地客户有两种付款方案（客户只能选择其中一种方案）；
方案甲：按定价出售，由基地免费送货；方案乙：售价打八折，但客户需支付运费1200元．
（1）请分别写出按方案甲、方案乙购买这种鲈鱼的应付款（元），（元）与购买量x（千克）之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）这类客户选择哪种付款方案更合算?说明理由．
解：（1）甲方案：y=40x（100≤x≤300），
乙方案：y=40×0.8x+1200=32x+1200（100≤x≤300）；
（2）由40x＜32x+1200得：x＜150，
所以当购买量大于等于100千克小于150千克时选择甲方案付款少；
由40x=32x+1200得：x=150，
所以当购买量等于150千克时选择甲、乙两个方案付款一样；
由40x＞32x+1200得：x＞150，
所以当购买量大于150千克且小于等于300时选择乙方案付款少．
23. 综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，将绕点C逆时针旋转，使线段的对应线段怡好经过点B，得到图2，线段与相交于点D．
初步分析：（1）判断的形状，并说明理由；
深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的沿射线的方向平移得到（点E，F，C分别是点B，D，C的对应点），线段，分别与边相交于点M，N．
①如图3，当点M恰好是线段的中点时，他们发现，请证明这个结论；
②若，当点N恰好是线段的中点时，请直接写出平移的距离．
（1）解：是等边三角形，理由如下：
，，，
由旋转得：，
，
是等边三角形；
（2）①证明：如图，连接，
是等边三角形，
，
由旋转得：，
，
，
由平移得：，
，
，
，
，
点M恰好是线段的中点，
，
，
在和中，
，
()，
；
②解：设，
是的中点，
，，
由①得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
由平移得：，
，
解得：，
，
，
；
故平移的距离为．