北京版（2024）第十章 分式二、分式的运算10.4 分式的加减法同步测试题

这是一份北京版（2024）第十章 分式二、分式的运算10.4 分式的加减法同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.已知实数a、b满足：ab=1且 M=11+a+11+b ， N=a1+a+b1+b ， 则M、N的关系为（ ）
A . M＞N B . M＜N C . M=N D . M、N的大小不能确定
2.若代数式 x2x−1◯xx−1(x≠0) 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（ ）
A . 除号“÷”
B . 除号“÷”或减号“-”
C . 减号“-”
D . 乘号“×”或减号“-”
3.小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间（a≠b），则谁走完全程所用的时间较少？（ ）
A . 小明 B . 小刚 C . 时间相同 D . 无法确定
4.下列从左边到右边的变形正确的是（ ）
A . 8a2b-4ab-12ab2=4ab（2a-3b）
B . x2-x+ 14=（x- 12）2
C . 1m+ 2m=32m
D . aa−b+ ba−b=1
5.小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ）
A .(ab)2=a2b
B . a3÷a＝a2
C .1a+1b=2a+b
D . −x−yx−y ＝﹣1
6.分式 b2a ， x3b2 ， 14ab的最简公分母是（ ）
A . 24 a2b3 B . 24 ab2 C . 12 ab2 D . 12a2b3
7.若a 1=1﹣ 1m ， a 2=1﹣ 1a1 ， a 3=1﹣ 1a2 ， 则a 2015的值为（ ）
A . 1﹣ 1m B . 1m−1 C . m D .1m
8.下列判断正确的是（ ）
A . 5a2是 b2a与 13a2的公分母
B . 3ab是 13a2b与 13ab2的公分母
C . 两个分式的和还是分式
D . 两个分式的差可能是整式
9.已知x 2+3xy+y 2=0（x≠0，y≠0），则分式 yx+xy的值等于（ ）
A . 13 B . - 13 C . 3 D . -3
二、填空题
1.用漫灌方式给绿地浇水，α天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 ________ 吨．
2.1R= 1R1+ 1R2是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R 1+R 2≠0．用R 1 ， R 2表示R，则R= ________ ．
3.如果 x=3−1x ， 则 x22x4+x2+2的值等于 ________ ．
4.定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式 3x+1与 3x1+x互为“3阶分式”．则分式 a2+b2(a−2b)2与 ________ 互为“5阶分式”．
5.不改变分式的值，把所给分式的分子和分母中各项的系数化为整数： 0.5x+y0.2x−4 = ________ .
6.计算：1﹣a﹣ 1a−1= ________ ．
7.若a﹣b=2ab，则 1a﹣ 1b= ________ ．
8.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地到乙地按V千米/时的速度行驶，可按时到达，若按（V+2）千米/时的速度行驶，可提前 ________ 小时到达．
三、计算题
1.（1）解方程： 3x−2−1−x2−x=1
（2）先化简： aa+1÷a−1−2a−1a+1 ， 然后给a选择一个合适的自然数代入求值．
2.（1）先化简再求值： (xx−1−1x2−x)÷(x+1) ， 其中 x=2 ．
（2）解方程： x−2x+2−1=16x2−4 ．
3.计算：
（1） a−1−4a−1a+1÷a2−8a+162+2a；
（2） a2b+2ab−b3÷b−a+ba−b ．
四、综合题
1.阅读：已知 a−b=−3 ， ab=1.求 a2+b2的值.
解：∵ a2+b2=(a−b)2+2ab ， 而 a−b=−3 ，ab=1
∴a2+b2=(−3)2+2×1=11
请你根据上述解题思路解答下列问题：
（1） 已知 a+b=2 ， ab=−12 ， 求 a2+b2的值；
（2） 若 (x+a)(x+b)=x2−2x+12 ， 求 ba+ab的值.
2.对于任意三个实数a，b，c，用min|a，b，c|表示这三个实数中最小数，例如：min|-2，0，1|=-2，则：
（1） 填空，min|（-2019） 0 ， （- 12 ） -2 ， - 3 |= ________ ，如果min|3，5-x，3x+6|=3，则x的取值范围为 ________ ；
（2） 化简： x−1x−2 ÷（x+2+ 3x−2 ）并在（1）中x的取值范围内选取一个合适的整数代入求值．
3.定义：若分式 M与分式 N的差等于它们的积，即 M−N=MN ， 则称分式 N是分式 M的“关联分式”.如 1x+1与 1x+2 ， 因为 1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2) ， 1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2) ， 所以 1x+2是 1x+1的“关联分式”.
（1） 已知分式 2a2−1 ， 则 2a2+1 ________ 2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2） 小明在求分式 1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
设 1x2+y2的“关联分式”为 N ， 则 1x2+y2−N=1x2+y2×N ，
∴ (1x2+y2+1)N=1x2+y2 ，
∴ N=1x2+y2+1.
请你仿照小明的方法求分式 a−b2a+3b的“关联分式”.
（3） ①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 yx的“关联分式”： ▲ ；
②用发现的规律解决问题：
若 4n−2mx+m是 4m+2mx+n的“关联分式”，求实数 m ， n的值.
五、解答题
1.根据下面材料解决问题．
【材料一】
a2−2ab+b2≥0 ， 若 a>0,b>0 ， 则 a−2ab+b=(a−b)2≥0 ． 由此得出以下不等式： a+b≥2ab ， 当且仅当 a=b时 a+b有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】
已知 x>0,y=x+4x ， 求 y的最小值．
解：令 a=x,b=4x ， 则由 a+b≥2ab ， 得 y=x+4x≥2x⋅4x=2×4=4 ， 当且仅当 x=4x ， 即 x=2时， y有最小值，最小值为4．
【材料二】
分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】
如： 3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式； x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式．
假分数 74可以化成 1+34（即 134）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如： x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1;x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+1x−1=x+1+1x−1.
【初步尝试】
（1）已知 x>0 ， 当 x为____________时，式于 x+16x的最小值为____________；
【类比运用】
（2）已知 x−2>0 ， 且y=x2x−2
①将 y化为带分数形式．
②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？
【拓展提升】
（3）已知 x>0 ． 当 x取何值时，分式 x+1x2+x+9取到最大值，最大值为多少？
2.已知b=2a≠0，计算12a−1a+b·(a+b2a−a+b)
3.通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： 83=6+23=2+23=223 ． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 x−1x+1 ， x2x−1这样的分式就是假分式； 3x+1 ， 2xx2+1这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1；x2x−1=xx−1+x−1+1x−1=x+1+1x−1 ．
解决下列问题：
（1） 分式 2024x是_____分式（填“真”或“假”）；
（2） 将假分式 x+3x+2化为带分式；
（3） 求所有符合条件的整数x的值，使得 3x+7x+1−x−1x÷x2−1x2+3x的值为整数．
六、阅读理解
1.阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如 x2−2x+3x−1=x−12+2x−1=x−1+2x−1这样分式就拆分成整式 x−1和分式 2x−1和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1） 分式 a+5a+2用分离整式法可化为_____________形式．
（2） 已知 y=2a2+8a2+2 ， 利用分离整式法求y的取值范围？
（3） 若分式 5a2+9a−3a+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为： 5x−11+1y−6 ， 求代数式 x2+y2+xy的最小值？
2.阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数 a ， b ， 即 a>0 ， b>0 ， 则有下面的不等式： a+b≥2ab ， 当且仅当 a=b时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知 x>0 ， 求式子 y=x+4x的最小值．
解：令 a=x ， b=4x ， 则由 a+b≥2ab ， 得 y=x+4x=2x⋅4x=2×4=4 ， 当且仅当 x=4x时，即 x=2时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如： x−1x+1 ， x2x−1这样的分式就是假分式；如： 3x+1 ， 2xx2+1这样的分式就是真分式，假分数 74可以化成 1+34（即 134）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1； x2x−1=x2−1+1x−1=x−1x+1x−1+1x−1=x+1+1x−1 ．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1） 已知 x>0 ， 则当 x= 时，式子 x+9x取到最小值，最小值为 ；
（2） 假分式 x+6x+4可化为带分式形式 ；如果分式 x+6x+4的值为整数，则满足条件的整数 x的值有 个；
（3） 已知 x>0 ， 当 x取何值时，分式 x+2x2+2x+9取到最大值，最大值为多少？
3.阅读下列解题过程：
已知 xx2+1=13 ，求 x2x4+1 的值.
解：由 xx2+1=13 ，知 x≠0 ，所以 x2+1x=3 ，即 x+1x=3 .
∴x4+1x2=x2+1x2=(x+1x)2−2=32−2=7
∴ x2x4+1 的值为7的倒数，即 17 .
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1） 已知 xx2+1=12 ，求 x2x4+1 的值.
（2） 已知 xx2−x+1=17 ，求 x2x4−x2+1 的值.
（3） 已知 xyx+y=2 ， yzy+z=43 ， zxz+x=43 ，求 xyzxy+yz+zx 的值.