2025--2026学年辽宁鞍山市海城市析木高级中学高二下册开学考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁鞍山市海城市析木高级中学高二下册开学考试数学试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了 请将答案正确填写在答题卡上， 若 PB=0，1 B， 已知点 M 是圆 C， 过双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 过点 1,−3 且与直线 x−2y+1=0 垂直的直线方程是( )
A. 2x+y+1=0 B. x+2y+5=0
C. x−2y−7=0 D. 2x−2y−5=0
2. 已知直线 1:x−my+2=0m>0 与圆 O:x2+y2=2 相交于 A,B 两点，若劣弧 AB 与弦 AB 围成的图形面积为 π2−1 ,则 m= ( )
A. 22 B. 6 C. 2 D. 3
3. 若 PB=0.3,PBA=0.1 ,则 PBA= ( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
4. 已知点 M 是圆 C:x2+y2−2y−31=0 上的动点, A0,−1 ,线段 AM 的垂直平分线与线段 CM 交于点 Q ,当点 M 在圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹方程是 ( )
A. x2+y2=2
B. x27+y28=1
C. x28+y27=1
D. x28+y29=1
5. 如图,在正方体 ABCD−AB1C1D1 中,平面 AB1D1 与平面 ABCD 的夹角的正切值为 ( )

A. 2 B. 1
C. 22 D. 3
6. 直三棱柱 ABC−AB1C1 中, AB=AC=AA,∠BAC=120∘ ,则异面直线 BA 与 AC1 所成角的余弦值为( )
A. 34 B. 134 C. 34 D. 74
7. 已知点 A,B,C,D,P,Q 都在同一个球面上, ABCD 为正方形,若直线 PQ 经过球心,且 PQ⊥ 平面 ABCD . 则异面直线 PA,QB 所成的角的最小值为 ( )
A. 60∘ B. 45∘ C. 30∘ D. 15∘
8. 过双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 左焦点 F 的直线 l 交 C 的左支于 A,B 两点,直线 AO (O是坐标原点) 交 C 的右支于点 D ,若 DF⊥AB ,且 BF=DF ,则 C 的离心率是 ( )
A. 52 B. 2 C. 5 D. 102
二、多选题
9. 一个笼子里关着 10 只猫, 其中有 4 只黑猫、6 只白猫. 把笼子打开一个小口, 使得每次只能钻出 1 只猫. 猫争先恐后地往外钻，如果 10 只猫都钻出了笼子，事件 A 表示“第 k 只出笼的猫是黑猫”， k=1,2,…,10 ，则()
A. PA,A2=23 B. PA+A2=23
C. PA2∣A1=13 D. PA10∣A1=13
10. 如图, VABC 中, BD=13BC ,点 E 在线段 AC 上, AD 与 BE 交于点 F,BF=12BE , 则下列说法正确的是( )

A. AD=23AB+13AC B. AE=23EC
C. AF+2BF+CF=0 D. S△BFD:S△AFB=1:3
11. 如图,四边形 ABCD 中, AB=BC=AC=2,DA=DC=2 ,将四边形沿对角线 AC 折起,使点 D 不在平面 ABC 内,则在翻折过程中,以下结论正确的是 ( )

A. 两条异面直线 AB 与 CD 所成角的范围是 π12,π2
B. P 为线段 CD 上一点 (包括端点),当 CD⊥AB 时， ∠APB≤π2
C. 三棱锥 D−ABC 的体积最大值为 33
D. 当二面角 D−AC−B 的大小为 π6 时,三棱锥 D−ABC 的外接球表面积为 28π3
三、填空题
12. 某校从 5 名同学中选择 3 人分别参加数学、物理、化学竞赛, 则不同的选法共有_____种.
13. 已知直线 l 的方向向量为 n=1,0,2 ，点 A0,1,1 在直线 l 上，若点 P1,a,2 到直线 l 的距离为 305 ，则 a= _____.
14. 如图,已知椭圆 C1 和双曲线 C2 具有相同的焦点 F1−c,0、F2c,0,A、B、C、D 是它们的公共点,且都在圆 x2+y2=c2 上,直线 AB 与 x 轴交于点 P ,直线 CP 与双曲线 C2 交于点 Q ,记直线 AC、AQ 的斜率分别为 k1、k2 ,若椭圆 C1 的离心率为 255 ,则 k1⋅k2 的值为_____.

四、解答题
15. 以 O 为原点, OF 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系. 设 OF⋅FG=1 ,点 F 的坐标为 t,0,t∈[3,+∞) ,点 G 的坐标为 x0,y0 .
(1)求 x0 关于 t 的函数 x0=ft 的表达式，判断函数 ft 的单调性 (不需要证明);
(2)设 △OFG 的面积 S=316t ，若以 O 为中心， F 为焦点的椭圆经过点 G ，求当 OG 取得最小值时椭圆的方程；
(3)在(2)的条件下，若点 P 的坐标为 0,92,C、D 是椭圆上的两点，且 PC=λPDλ≠1 ,求实数 λ 的取值范围.
16. 已知 An=1+xnn是正整数
(1)当 n≥7 时，若 A1 的展开式中第 3 项与第 8 项的系数相等，求展开式中 x3 的系数；
(2) 设 A1+A2+A3+⋯+An=a0x0+a1x1+⋯+anxn ，当 n=100 时，求 a2 的值.
17. 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下 2×2 列联表:
班级与成绩列联表
附
(参考公式: K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d )
(1)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩与学校有关系；
(2)采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的 320 名学生中抽取 16 名同学. 现从这
16 名同学中随机抽取 3 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验, 记这 3 名同学来自甲学校的人数为 X ,求 X 的分布列与数学期望.
18. 如图,在直四棱柱 ABCD−A1 B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠ADC=120∘,CC1=4,M,N 分别是线段 DD1,BD 上的动点,且 DN=λDB0