2025--2026学年广东省江门市外海中学高二下册开学数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年广东省江门市外海中学高二下册开学数学试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，则平面β的法向量可以是( )
A. (1,12,14)B. (2,−1,0)C. (1,2,0)D. (12,1,2)
2.不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是( )
A. 1225B. 25C. 1325D. 35
3.直线(m+2)x+(m−2)y−2m=0，无论m取何值，该直线恒过定点( )
A. (1,−1)B. (1,1)C. (−2,2)D. (2,−2)
4.已知m为实数，直线l1：(m+2)x+y−2=0，l2：5x+(m−2)y+1=0，则“l1//l2”是“m=−3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆C1：(x+1)2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−4x+6y−a2=0外切，则a=( )
A. ±1B. ± 2C. ± 3D. ± 5
6.如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1交点，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则BM的长为( )
A. 54
B. 34
C. 52
D. 32
7.已知P(x0,y0)是圆C：x2+y2−2x−2y+1=0上任意一点，则y0+1x0−3的最小值为( )
A. 4+ 73B. −4− 73C. 4− 73D. −4+ 73
8.棱长为 6的正四面体A−BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足AM= 5，则直线AM与直线BD所成的角的余弦值的取值范围为( )
A. [0, 55]B. [0, 22]C. [0, 32]D. [0, 53]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l： 3x+y−2=0，则下列选项中正确的有( )
A. 直线l的倾斜角为5π6B. 直线l的斜率为 3
C. 直线l不经过第三象限D. 直线l的一个方向向量为v=(− 3,3)
10.已知A，B为随机事件，P(A)=0.3，P(B)=0.2，则下列结论正确的有( )
A. 若A，B为互斥事件，则P(A+B)=0.5
B. 若A，B为互斥事件，则P(A−+B−)=0.5
C. 若A，B相互独立，则P(AB−)=0.24
D. 若A，B相互独立，则P(A+B)=0.44
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，P为正方形A1B1C1D1内(包括边界)一动点，F为CC1的中点，则( )
A. 三棱锥P−ABC的体积为定值
B. 存在点P，使得CP⊥A1B
C. 若AP=3，则cs∠PAB的最大值为 53
D. 满足BP⊥AF的点P的轨迹长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线6x+8y−2=0与3x+4y−3=0间的距离为______．
13.在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为13，34，23，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ．
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点，Q是线段A1N上的一点，且满足PQ//平面A1CM，则A1QA1N=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，Q为B1C1的中点，点P在棱AA1上，AP：AA1=1：3．
(1)求点D到平面BPQ的距离；
(2)求平面ABCD与平面BPQ的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知点P(1,3)，点N(−3,−1)，直线l1过点(−2,4)且与直线PN垂直．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：2x+y−5=0关于直线l1的对称直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.(本小题15分)
甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是34，乙每次击中目标的概率都是23，假设每人每次射击的结果相互独立．
(1)若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；
(2)若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率．
18.(本小题17分)
已知圆M与直线3x− 7y+4=0相切于点(1, 7)，圆心M在x轴上．
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点(1,1)的直线l与圆M交于P，Q两点，当|PQ|=2 7时，求直线l的一般式方程；
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线x=8相交于C，D两点，记△OAB，△OCD的面积为S1，S2，求S1S2的最大值．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，AD⊥AB，AB⊥BC．
(1)证明：AD/​/平面PBC；
(2)若PA⊥面ABC，且AP=2，AB=BC=1，三棱锥P−ABC外接球的球心为O，求直线AO与平面PBC所成角正弦值；
(3)若平面PAD⊥平面PBC，PD⊥PB，且AB=BC=1，AD=2，求BP的取值范围．
答案
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.A 9.CD 10.ACD 11.AD
12.25 13.1136 14.23
15.(1)如图建系，根据已知条件可得：B(1,1,0),P(1,0,13),Q(12,1,1)，
因此BP=(0,−1,13),PQ=(−12,1,23)，DB=(1,1,0)，
设平面BPQ的法向量为n=(x,y,z)，
因此BP⋅n=−y+13z=0PQ⋅n=−12x+y+23z=0，令z=3，因此y=1，x=6，
因此n=(6,1,3)，
因此点D到平面BPQ的距离d=|DB⋅n|n||=|(1,1,0)⋅(6,1,3)|(6,1,3)||=7 4646；
(2)由平面ABCD的法向量为m=(0,0,1)，平面BPQ的法向量为n=(6,1,3)，
因此平面ABCD与平面BPQ的夹角的余弦值为：
|cs|=|m⋅n|m⋅n||=|(0,0,1)⋅(6,1,3)|(0,0,1)|⋅|(6,1,3)||=3 4646．
16.解：(1)因为kPN=3−(−1)1−(−3)=1，
直线l1与直线PN垂直，所以直线l1的斜率为−1，
又直线l1过点(−2,4)，
所以由直线方程的点斜式可得直线l1的方程为y−4=−(x+2)，
即直线l1的方程为x+y−2=0；
(2)由x+y−2=02x+y−5=0，
解得x=3y=−1，
可得l1和l2的交点坐标为(3,−1)，
取直线l2：2x+y−5=0上的点A(0,5)，
设A(0,5)关于l1对称的点为A1(m,n)，
则n−52=1m2+n+52−2=0，解得m=−3n=2，
所以直线l2关于直线l1对称的直线经过点(3,−1)，(−3,2)，
代入两点式方程得y+12+1=x=3−3−3，即x+2y−1=0，
所以直线l2：2x+y−5=0关于直线l1的对称直线的方程为x+2y−1=0．
17.(1)设Ai=“甲击中目标i(i=0,1)次”，Bj=“乙击中目标j(j=0,1)次”．
设M为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则M=(A0B0)∪(A1B1)，A0B0与A1B1互斥，
所以P(M)=P(A0B0∪A1B1)=P(A0)P(B0)+P(A1)P(B1)=(1−34)×(1−23)+34×23=712．
(2)设A2=“甲击中目标2次”，B2=“乙击中目标2次”．
设C=“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，D=“甲、乙两人都未击中目标2次”，C与D互为对立事件，
P(D)=P(A2−)P(B2−)=[1−(34)2]×[1−(23)2]=35144，
所以P(C)=1−P(D)=1−35144=109144．
18.解：(1)已知圆M与直线3x− 7y+4=0相切于点(1, 7)，圆心M在x轴上，
由题可知，设圆的方程为(x−a)2+y2=r2，r>0，圆心为(a,0)，
由直线3x− 7y+4=0与圆相切于点(1, 7)，
得(1−a)2+7=r2 71−a×3 7=−1，解得a=4，r=4，
所以圆M的标准方程为(x−4)2+y2=16；
(2)若过点(1,1)的直线l与圆M交于P，Q两点，当|PQ|=2 7时，
设圆心M(4,0)到直线l的距离为d，
∵|PQ|=2 r2−d2，∴2 7=2 16−d2，∴d=3．
①当直线l斜率不存在时，x=1，满足M(4,0)到直线x=1的距离d=3；
②当直线l斜率存在时：设l方程：y−1=k(x−1)，即kx−y+1−k=0，
∴d=|4k+1−k| k2+1=3，整理得(3k+1)2=9(k2+1)，解得k=43，
∴l：y−1=43(x−1)，即4x−3y−1=0，
综上：直线l的一般式方程为x=1或4x−3y−1=0；
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，
直线OA，OB分别与直线x=8相交于C，D两点，记△OAB，△OCD的面积为S1，S2，
由题意知，∠AOB=π2，

设直线OA的斜率为k(k≠0)，则直线OA的方程为y=kx，
由y=kxx2+y2−8x=0，得(1+k2)x2−8x=0，
解得x=0y=0或x=81+k2y=8k1+k2，则点A的坐标为(81+k2,8k1+k2)，
又直线OB的斜率为−1k，同理可得：点B的坐标为(8k21+k2,−8k1+k2)，
由题可知：C(8,8k),D(8,−8k)，
∴S1S2=|OA||OB||OD||OC|=|OA||OC|⋅|OB||OD|，
又∵|OA||OC|=xAxC=81+k28=11+k2，同理|OB||OD|=k21+k2，
∴S1S2=k2(k2+1)2=k2k4+2k2+1=1k2+1k2+2≤12 k2⋅1k2+2=14，
当且仅当|k|=1时等号成立，
∴S1S2的最大值为14．
19.(1)证明：在平面ABCD中，因为AD⊥AB，AB⊥BC，
所以AD//BC，
又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD/​/平面PBC．
(2)因为PA⊥平面ABC，AB，AD⊂平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为AD⊥AB，
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,2)，
因为△ABC中，AB⊥BC，所以△ABC外心为AC中点M(12,12,0)，
故三棱锥P−ABC外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设O(12,12,h)，
又因为|OP|=|OA|，所以 14+14+(2−h)2= 14+14+h2，
故h=1，所以O(12,12,1)，
所以AO=(12,12,1)，又因为PB=(1,0,−2)，BC=(0,1,0)，
设平面PBC的一个法向量为a=(x,y,z)，
则PB⊥nBC⊥n，于是PB⋅a=0BC⋅a=0⇒x−2z=0y=0，
令x=2，得y=0，z=1，
所以平面PBC的一个法向量为a=(2,0,1)，
设直线AO与平面PBC所成角为α，
则sinα=|cs〈AO,a〉|=|AO⋅a||AO|⋅|a|=2 32⋅ 5=2 3015．
(3)以B为原点，以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，以过点B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,1,0)，C(1,0,0)，D(2,1,0)，设P(a,b,c)，
所以AD=(2,0,0)，AP=(a,b−1,c)，设平面PAD的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则AD⊥mAP⊥m，于是AD⋅m=0AP⋅m=0⇒2x1=0ax1+(b−1)y1+cz1=0，
令y1=c，得x1=0，z1=1−b，
所以平面PAD的一个法向量为m=(0,c,1−b)，
同理平面PBC的一个法向量为n=(0,c,−b)，
又因为平面PAD⊥平面PBC，
所以m⋅n=c2+b2−b=0，所以b2−b=−c2