辽宁省普通高中2025^2026学年高二上学期期初开学考试模拟[2]数学试题[有解析]

展开

这是一份辽宁省普通高中2025^2026学年高二上学期期初开学考试模拟[2]数学试题[有解析]，共22页。
命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题，命题 : 复数为纯虚数，则命题是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，且
3．已知函数（,,）的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称轴可能为
A．B．C．D．
4．如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是
A．B．C．D．
5．如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为
A．B．C．D．

（第3题图）（第4题图）（第5题图）
6．已知向量，，，，，则一定共线的三点是
A．B．C．D．
7．已知，，，，则
A．B．C．D．或
8．在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．复数的共轭复数的虚部为1
B．已知复数为纯虚数，则
C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若，则
10．已知函数，则下列正确的是
A．的最大值是
B．若是偶函数，则
C．在上单调递增
D．若在区间上恰有2个零点，则
11．在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．不存在实数对，使得平面EFP
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则．
13．已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则．
14．已知函数，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
如图，四边形与都是边长为的正方形，点是的中点，平面
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
16．（本小题满分15分）
在中，，，分别为，，所对的边，已知．
（1）求的大小；
（2）若且，求的长．
17．（本小题满分15分）
已知函数，．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）证明：的图像关于直线对称．
（2）求的单调递减区间．
（3）若，求的值．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面．
（3）设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
1．C
【详解】因为是纯虚数，所以，所以．
故命题是命题的充要条件
故选：C．
2．B
【详解】对于A，有可能m，n异面，故A错误；
对于B，如下图所示，满足，，，
则，所以，即．故B正确；
对于C，如下图所示，
满足，，，但不满足，故C错误；
对于D，若，，，则n有可能在或内，故D错误．
故选：B．
3．D
【详解】解：由函数（，，）的部分图象，
可得，，．
再结合图象可得，求得．
．
则函数．
令，求得，，
当时，．
故函数的一条对称轴为．
故选：D．
4．A
【详解】由已知得：，设，所以，
又点C、O、E三点共线，所以，解得，所以，
又，
所以，
所以，即，所以．
故选：A．
5．B
【详解】设圆锥底面圆半径为，则，解得，
∴圆锥的表面积，
故选：B．
6．A
【详解】因为，故三点共线, A正确；
因为，，
故不存在任何的使得，所以不共线，B错误；
因为，，
故不存在任何的使得，所以不共线，C错误；
因为，，
故不存在任何的使得，所以不共线，D错误；
故选：A
7．B
【详解】因为，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
又由知
又因为，所以．
故选：B．
8．A
本题的解答关键在于得知C为90°，进而求出最值，与2025年全国一卷11题所用二级结论相同。
【详解】第一步：证明∠C为90°，
[法一]：依题意，，
由得，
即，
，
由于是锐角，所以，
与一正一负，或，
若，即，
由于，
所以，所以，
，此不等式组无解，所以不成立．
同理可得不成立．
所以，
所以，所以，．
[法二]：
第二步：求出最值，
【证明】（1）第一步：检验必要性．
如果是直角，那么．
此时，等式可变为，这是成立的，
因此，如果是直角，等式成立；
第二步：验证充分性．
若，
构造函数,其中．
则
,
记以,,则，
因为,所以,,
令,得,
令,解得,
列表如下：
,,
,
当时，，故存在使得，
而，且，从而函数在上有3个零点，
每个零点都可以作为角的值，
所以的值有三个，存在不是直角的情况，
即存在角不是直角的情况，所以充分性不成立．
综上所述，“”是“为直角”必要不充分条件．
故选：B．
9．ABD
根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可.
【详解】复数的共轭复数为，其虚部为1，所以A正确；
由且，得，所以B正确；
由且，得，所以C错误；
设，则，所以z在复平面内对应的点到点的距离为3，所以z在复平面内对应的点到点的距离范围为，D正确．
故选：ABD
10．AD
【详解】对于A，因为，
所以由二倍角公式得，
结合辅助角公式可得，
由正弦函数性质得，
得到，即的最大值是，故A正确，
对于B，由题意得，
若是偶函数，则，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，则，
令，由正弦函数性质得在上单调递增，
在上单调递减，故不可能在上单调递增，故C错误，
对于D，由题意得，
因为，所以，
由正弦函数性质得，解得，故D正确．
故选：AD．
11．ABD
【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面，
则当在线段上移动时，其到平面的距离不变，
三棱锥的体积为定值，A正确；
对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥，
平面，
设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，
，，，即，
解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确；
对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值，
作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示，
，（当且仅当与重合时取等号），
，
，
，，
即的最小值为，C错误；
对于D，连接交于点，连接，如下所示：
因为面面，故，又，
又面，故面；
又平面与平面是同一个平面，且过点作平面的垂线只有一条，
故只有当点重合时，才有面，而显然不可能与点重合，故D错误．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
【详解】因为，
则．
故．
13．
【详解】如图所示，设的中点为，连接，则，
所以．
故．
14．
先对的解析式化简变形，再求出其值域，求出的值域，由题意可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求出实数的取值范围
【详解】，
因为，所以，
令，则，
因为，所以在上单调递增，
所以，即
所以函数的值域为，
因为在上为增函数，
所以的值域为
根据题意可得函数的值域是函数的值域的子集，即，
所以，解得，
所以有实数的取值范围是．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1）见解析；（2）见解析
（1）可以通过中位线找到线线平行，再进一步证明线面平行．
（2）要证明平面平面平面．可以通过平面来进行转化，即可求证．
【详解】证明：（1）设交于，连接．
∵为正方形，所以为中点，
又∵为的中点∴为的中位线
∴又∵平面，平面BDE
∴平面； …7分
（2）∵为正方形∴
∵平面,平面∴．
又，平面, 平面
∴平面，∵平面
∴平面平面． …13分
16．（本小题满分15分）
（1）；（2）
（1）运用正弦定理边角互化即可；
（2）用余弦定理，结合已知式子求出，再结合面积公式，可以求出,最后代入已知的式子可以求出．
【详解】（1）由和正弦定理得，，
则，即，则，
即，由于，则，则． …7分
（2）由余弦定理得，．
又，则，求的．
由，即，即，则．
代入得，，解得． …8分
17．（本小题满分15分）
（1），；（2）．
（1）利用辅助角公式将函数化简可得，利用正弦函数的单调性得到在递增，在递减，进而求出最值；
（2）根据题意得到，然后利用正弦定理得到，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解．
【详解】（1），
由，，得
的单调递减区间为，，
故在递增，在递减，
故，． …7分
（2），则，
，，所以，
所以，， …10分
因为，所以由正弦定理得，①
由余弦定理得，即，②
由①②解得：，．
故． …15分
18．（本小题满分17分）
（1）证明见详解；（2）；（3）
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用三角函数的性质即可求解；
（2）令解析式中的三角函数的角属于正弦函数的单调递减区间，解出自变量的取值范围即为函数单调递减区间；
（3）代入函数解析式求得的值，通过判断的取值范围结合“平方和为1”求得的值，利用正弦函数的和差角公式求得的值．
【详解】（1），
，
， …4分
令，解得，令，则，
即的图像关于直线对称． …7分
（2）令，
解得，
的单调递减区间： …10分
（3）由题意知，
∵，∴
∴，
∴
∴ …17分
19．（本小题满分17分）
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】（1）过作交于点，连接．
，，平面，．
，为的中点．
在梯形中，，∴梯形为等腰梯形．
又，为线段的中点． …4分
（2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接．
在等腰梯形中，，．
．又，∴四边形为平行四边形，
．
为直线与所成角（或补角），
，．
在中，，．
由余弦定理得：，得：
，解得，或（舍），
在中，，，，．
．
二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角，
平面平面． …9分
（3）设在底面的投影分别为，，N到平面的距离为，
则，则为直线与平面所成角，．
，，．
为钝角时，在的外部，，
，
．
当为锐角时，在的内部，
，．
．
当为直角时，也符合，
综上，．
设是（上半圆，不包括与轴的交点）上任意一点，
则可看作是半圆上一点与点连线的斜率．
直线与半圆相切时，直线的斜率最小值为．
与连线的斜率的取值范围为，
的取值范围为． …17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
B
A
B
A
题号
9
10
11
答案
ABD
AD
ABD
0
减
增
减
增