湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 若复数z满足则的虚部为（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 直线和直线，则“”是“”的（ ）
4. 已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
5. 已知则的最小值为（ ）
6. 设且则（ ）
7. 定义在上的奇函数满足，且时，则=（ ）
8. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ）
11. 双曲线的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ）
三、填空题
12. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________.
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14. 已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________.
四、解答题
15. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计
(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关？
(2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望.
参考公式与数据：其中.
16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，M是的中点，平面.
(1)证明：
(2)若点P是棱上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为求的值.
17. 已知椭圆的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，的最小值是.
(1)求椭圆M的方程.
(2)直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值.
18. 设数列的前n项和为已知
(1)求的通项公式.
(2)在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中m，k，p成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
(3)已知函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为求除以16的余数.
19. 已知函数
(1)当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(2)当在有解，求实数k的取值范围.
(3)当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
A．1
B．
C．-1
D．
A．-2
B．
C．
D．1
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．800年
B．810年
C．900年
D．920年
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为7，中位数为6
B．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等
C．若随机变量满足则
D．一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
A．若PI的延长线交x轴于点N，则
B．点D的轨迹在圆上
C．若则
D．若，则
性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828