2026年广东省肇庆市封开县中考数学一模试卷（含答案+解析）

这是一份2026年广东省肇庆市封开县中考数学一模试卷（含答案+解析），文件包含第4章三角形测试卷docx、答题卡docx、答题卡pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
1.在下列选项中，具有相反意义的量是( )
A. 收入13元与支出35元B. 12个大学生和7个小学生
C. 走了120米和跑了120米D. 向西行75米和向北行75米
2.据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1000万种左右，数字1000万用科学记数法表示为( )
A. 1×103B. 1×106C. 1×107D. 10×106
3.已知直角三角形的两条直角边的长分别为 8和4 6，则这个直角三角形的面积为( )
A. 16B. 8C. 163D. 8 3
4.如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E,F分别为AC，AB的中点).若支撑杆EF=36cm，则点C距离地面的最大高度BC为( )
A. 84cmB. 72cmC. 60cmD. 55cm
6.某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表：
则第4组数据的频率为( )
A. 0.15B. 0.13C. 0.12D. 0.18
7.现已知某药品原售价为每盒121元，经过连续两次降价后，现在售价为每盒81元，若根据题意所列的方程为121(1−x)2=81，则x表示的实际意义是( )
A. 该药品平均每次降价的百分率B. 该药品第一次降价的百分率
C. 该药品第二次降价的百分率D. 该药品平均每次涨价的百分率
8.暑假期间，小明一家从昆明自驾去大理旅游，途中在楚雄停留休息.如图反应的是他们离家的距离y(单位：km)与汽车行驶时间x(单位：ℎ)之间的函数图象.下列说法错误的是( )
A. 昆明到楚雄路程为150km
B. 小明家在楚雄休息了半小时
C. 楚雄距离大理270kmn
D. 小明休息前后车速不变
9.天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示.则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是( )
A. 周一B. 周二C. 周四D. 周五
10.学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度.如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米(即PE=20米)的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡(即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线).已知电线杆A，B之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，则这条河的宽度为( )
A. 25米B. 30米C. 45米D. 50米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：mn−m=______.
12.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为CD中点，连接AE，则AE的长为 .
13.命题“方程x(x−1)=1−x有两个不相等的实数根”是______(填“真”或“假”)命题.
14.cs30∘的值等于______.
15.请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为−1，且经过点(1,3)的抛物线的解析式 .(答案不唯一)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.
3x−12>x−23−12
解：3(3x−1)>2(x−2)−3…第一步
9x−3>4x−4−3…第二步
9x−4x>−4−3−3…第三步
5x>−10…第四步
x>−2…第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______(运算律)进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二；请写出求该不等式解集的正确计算过程.
17.(本小题7分)
如图，一块直角三角板形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大
(1)请你试着用直尺和圆规画出此圆(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
(2)若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．
18.(本小题7分)
如图1，是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度.
19.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O是BD的中点，AD//BC.
(1)请你从以下条件①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD；④AO=BO中，选择一个使得四边形ABCD是菱形的条件______(填序号)；
(2)根据(1)中所选择的条件，求证：四边形ABCD是菱形.
20.(本小题9分)
第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量.某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅统计图.
根据调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了______名学生， m的值为______；
(2)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
(3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议.
21.(本小题9分)
综合与实践
【主题】卷筒纸的设计与测量
【素材】某品牌卷筒纸，直尺
【实践操作】
步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图1所示；
步骤2：如图2，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米.
【实践探索】
(1)制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？(结果保留π)
(2)根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度.(π的值取3.14)
22.(本小题13分)
综合探究
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.
如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推…
(1)根据图形写出图1中阴影面积是：______；
(2)计算：12+14+18+⋯+126；(请写出计算过程)
(3)类比：小华在计算13+132+133+⋯+13100时利用了如图2所示的正方形模型.
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为23+232+233；
…
问第n次分割后，空白部分的面积是多少？请求出13+132+133+⋯+13100的值.
23.(本小题14分)
阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数y=1x的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心、以2OP为半径作弧，交函数y=1x的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接OM，得到∠MOB.则∠MOB=13∠AOB.
思考问题：
(1)设P(a,1a)，R(b,1b)，求直线OM的函数解析式(用含a，b的代数式表示)，并说明Q点在直线OM上；
(2)证明：∠MOB=13∠AOB.
(3)如图2，若直线y=x与反比例函数y=4x(x≠0)交于点C，D为反比例函数y=4x(x≠0)第一象限上的一个动点，使得∠COD=30∘.求用材料中的方法求出满足条件D点坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A 收入与支出相反，收入13元与支出35元，是表示相反意义的量，故A的说法正确；
B 大学生和小学生没有相反意义，12个大学生和7个小学生不是相反意义的量，故B的说法错误；
C 走和跑说的是动作，没有相反意义，走了120米和跑了120米不是相反意义的量，故C的说法错误；
D 北和西不相反，向西行75米和向北行75米不是相反意义的量，故D的说法错误；
故选A.
根据正数和负数表示相反意义的量．
本题考查了正数和负数表示相反意义的量，找相反意义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：将1000万用科学记数法表示为：1×107.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|20%>10%，
∴最有可能带雨具的是周二．
故选：B.
根据概率的意义判断即可得出答案．
本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率的意义是关键．
10.【答案】B
【解析】解：延长PE交AB于点F，如解图所示．
∵PE⊥CD，AB//CD，
∴PF⊥AB，
设这条河的宽度为x米．
∵AB//CD，
∴△PBA∽△PDC，
∴PFPE=ABCD，
依题意得，CD=30米，AB=75米，
∴20+x20=7530，
解得x=30，
即这条河的宽度为30米，
故选：B.
延长PE交AB于点F，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到PFPE=ABCD，代入有关数据列方程求解方程，即可得解．
本题考查相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】m(n−1)
【解析】解：原式=m(n−1).
故答案为：m(n−1).
直接提取公因式m，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB=10，BC=12，
∴CD=AB=10，AD=BC=12，∠D=90∘，
∵点E为CD中点，
∴DE=12CD=5，△ADE是直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= AD2+DE2= 122+52=13.
∴AE的长为13.
故答案为：13.
由矩形性质得CD=AB=10，AD=BC=12，∠D=90∘，再由点E为CD中点得DE=12CD=5，△ADE是直角三角形，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可求出AE的长．
此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
13.【答案】真
【解析】解：方程x(x−1)=1−x可化为x2=1，
∴x=±1，即方程x(x−1)=1−x有两个不相等的实数根，
故该命题是真命题．
故答案为：真．
根据一元二次方程的解的情况即可判断．
本题考查了命题与定理，解决本题的关键是正确解方程．
14.【答案】 32
【解析】解：cs30∘= 32，
故答案为： 32.
利用特殊角的三角函数值可得答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握cs30∘= 32.
15.【答案】y=x2+3x−1
【解析】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵开口向上，
∴a>0
∵y轴交点纵坐标为−1，
∴c=−1
∵经过点(1,3)，
∴a+b+c=3
写一个满足条件的函数解析式即可
如y=x2+3x−1.答案不唯一．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由此函数图象与y轴交点纵坐标为−1，得出c=−1；把(1,3)代入y=ax2+bx+c，得出a+b+c=3；由开口向上，知a>0.据此答题．本题答案不唯一．
此题是一个开放题，考查了二次函数的性质．解题时注意别漏条件．此题考查了学生的发散思维和综合应用能力．
16.【答案】乘法分配律 二 不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2
【解析】解：任务一：①由题意得，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
故答案为：乘法分配律；
②第二步开始出现错误，错误原因是不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
故答案为：二，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
任务二：原不等式整理得：
3(3x−1)>2(x−2)−3，
9x−3>2x−4−3，
9x−2x>−4−3+3，
7x>−4，
x>−47.
任务一：①根据题意可得，第二步依据是乘法分配律；②第二步中，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
任务二：按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案．
本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示：
(2)设三角形内切圆半径为r，则
12⋅r⋅(50+40+30)=12×30×40，
解得：r=10(cm).
故此圆凳面的面积为：π×102=100π(cm2).
【解析】(1)可作出任意两个内角的平分线，交点即为所求的圆心，交点到任意边的距离为半径画圆即可．
(2)设三角形内切圆半径为r，由勾股定理得出AB=50，再根据三角形的面积等于周长乘以半径的一半，从而得出三角形内切圆半径．
本题考查了复杂作图以及三角形内切圆的半径求法；用到的知识点为：内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点．
18.【答案】解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系，
此时，抛物线与x轴的交点为C(−100,0)，D(100,0).
设这条抛物线的解析式为y=a(x−100)(x+100)，
∵抛物线经过点B(50,150)，
可得150=a(50−100)(50+100)，
解得a=−150，
∴抛物线的解析式为y=−150(x−100)(x+100)，
当x=0时，y=200，
∴拱门的最大高度为200米．
【解析】以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D坐标，设出抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令x=0，求出y的值即可．
本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题．
19.【答案】(1)①或②或③(答案不唯一)
(2)证明：∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DAO与△BCO中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCO(ASA)，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)解：使得四边形ABCD是菱形的条件为①②③，
故答案为：①或②或③；
(2)证明：∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DAO与△BCO中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCO(ASA)，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(1)根据题意和菱形的判定进行选择即可；
(2)先证△DAO≌△BCO(ASA)，得OA=OC，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
20.【答案】50;30 该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名 因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等
【解析】解：(1)这次调查的学生人数为：5÷10%=50(人)；
D类的人数为50−(5+10+15+5)=15(人).
15÷50=0.3=30%，
∴m=30，
故答案为：50；30；
(2)用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比可得：
2000×1050=400(名)，
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名；
(3)因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等．
(1)用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用A类的人数除以总人数，即可得出m的值；
(2)用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可．
(3)根据题意，写出建议即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵硬纸轴的直径为4厘米，硬纸轴的高为10厘米．
根据圆柱侧面积公式S=πdℎ，将d=4厘米，ℎ=10厘米代入可得：S=π×4×10=40π(平方厘米)，
所以制作这个中间的纸轴至少需要40π平方厘米的硬纸板．
(2)∵外层卷筒纸的半径R=122=6厘米，空心硬纸轴的半径r=42=2厘米，卷筒纸的高度ℎ=10厘米．
根据圆柱体积公式V=πR2ℎ−πr2ℎ=πℎ(R2−r2)，将R=6厘米，r=2厘米，ℎ=10厘米代入可得：
V=3.14×10×(62−22)
=3.14×10×(36−4)
=3.14×10×32
=1004.8(立方厘米)，
∵每层纸巾厚度a=0.02厘米，卷筒纸的高度ℎ=10厘米，
∴展开后纸的横截面积S横=10×0.02=0.2平方厘米．
∵卷筒纸展开前后体积不变，设展开后的总长度为L，
根据体积公式V=S横L，可得L=VS横，
将V=1004.8立方厘米，S横=0.2平方厘米代入可得：L=(厘米).
答：估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度为5024厘米．
【解析】(1)求制作中间纸轴所需硬纸板面积，实际就是求空心硬纸轴的侧面积，需要用到圆柱侧面积公式S=πdℎ(其中d为底面圆直径，h为圆柱的高)
(2)我们可以根据卷筒纸展开前后体积不变的原理，先算出卷筒纸的体积(大圆柱体积减去空心部分体积)，再结合展开后纸的厚度与宽度，从而计算出展开后的总长度．
本题考查立体图形，解题的关键是理解题意，正确计算．
22.【答案】164 6364 13n,12−12×3100
【解析】解：(1)由所给分割方式可知，
图①的面积为：1−12=12，
图②的面积为：1−12−122=14，
图③的面积为：1−12−122−123=18，
…，
所以图n的面积可表示为：1−12−122−123−⋯−12n=12n，
则图1中阴影部分的面积和图⑥的面积相等为：126=164.
故答案为：164；
(2)由(1)知，
1−12−122−123−⋯−126=126，
所以12+14+18+⋯+126
=1−126
=6364；
(3)由题知，
第1次分割后，空白部分的面积为：1−23=13，
第2次分割后，空白部分的面积为：1−23−232=19，
第3次分割后，空白部分的面积为：1−23−232−233=127，
…，
所以第n次分割后，空白部分的面积为：1−23−232−233−⋯−23n=13n.
由上述规律可知，
13+132+133+⋯+13100
=12×(23+232+233+⋯+23100)
=12×(1−13100)
=12−12×3100.
(1)根据所给分割方式，求出图1中阴影部分的面积即可；
(2)结合(1)中发现的规律进行计算即可；
(3)根据所给分割方式，发现空白部分面积的变化规律，并据此进行计算即可．
本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
23.【答案】(1)解：设直线OM的函数表达式为y=kx，
由题意得：∠PQR=∠QRM=∠PQR=90∘，
∴四边形PQRM为矩形，
∵P(a,1a)，R(b,1b)，
∴M(b,1a)，Q(a,1b)，
把点M(b,1a)代入y=kx得：k=1ab，
∴直线OM的函数表达式为y=1abx，
∵Q的坐标(a,1b)满足y=1abx，
∴点Q在直线OM上；
(2)证明：连接PR，交OM于点S，如图1，
由题意得四边形PQRM是矩形，
∴PR=QM，SP=12PR，SM=12QM，
∴SP=SM，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠2
∵PR=2PO，
∴PS=PO.
∴∠4=∠3=2∠2，
∵PM//x轴，
∴∠2=∠5，
∴∠AOB=∠4+∠5=3∠5，即∠MOB=13∠AOB.
(3)解：∵直线y=x与反比例函数y=4x(x≠0)交于点C，
∴x=4x，
解得：x=2或−2(舍去)，
∴C(2,2)，
∴OC=2 2，
当D点在OC下方时，如图2，以C为圆心，2OC为半径画弧，交反比例函数y=4x(x≠0)于点E，作EF//y轴，作CF//x轴，连接OF并延长交反比例与点F，作CG//EF，连接EG，CE与OF交于点H，∠COD=30∘，CE=2OC=4 2，GH=GE=2 2，
∴∠CHF=∠GHE=30∘，
作GI⊥EC于I，
在Rt△GIH中，GI=12GH= 2，HI= GH2−GI2− 6，
∴EI=2 2− 6，
∴GE= ( 2)2+(2 2− 6)2=2 3−2，
则yE=2−(2 3−2)=4−2 3，xE=44−2 3=4+2 3，
即D(4−2 3,4+2 3)，
∴G(4+2 3,2)，
设OG的解析式为y=kx，代入得：2=(4+2 3)k，
解得：k=.2− 3，
∴OG的解析式为：y=(2− 3)x，
联立得：y=(2− 3)xy=4x，
解得：x= 2+ 6y= 6− 2，
∴D点坐标为( 6+ 2, 6− 2)；
同理，当D点在OC上方时，有G(4−2 3,2)，
OG的解析式为：y=(2+ 3)x，
联立得：y=(2+ 3 3)xy=4x，
解得：x= 6− 2y= 6+ 2，
∴D点坐标为( 6− 2, 6+ 2)；
综上，点D的坐标为( 6+ 2, 6− 2)或( 6− 2, 6+ 2).
【解析】(1)由PM//x轴，MR//y轴，P(a,1a)，R(b,1b)，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；
(2)连接PR，交OM于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；
(3)先求出点C(2,2)，可得OC=2 2，然后分两种情况讨论：当D点在OC下方时，当D点在OC上方时，即可求解．
此题属于反比例函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．组号
1
2
3
4
5
6
频数
20
19
17
18
14