2026年杭州市中考数学终极押题模拟卷二（含答案）

这是一份2026年杭州市中考数学终极押题模拟卷二（含答案），共7页。
A．2024B．12024
C．−12024D．以上都不是
2．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣xB．90°+xC．90°﹣xD．180°﹣2x
3．（3分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.244×1010B．2.44×109
C．2.44×1010D．244×108
4．（3分）如图几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）关于反比例函数y=5x，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象位于第一、三象限
B．当1＜x＜5时，1＜y＜5
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜﹣2时，y＜﹣2.5
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的12，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣12，﹣8）B．（﹣12，﹣8）或（12，8）
C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）或（3，2）
7．（3分）工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9名工人参与制作，每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．x+y=920x=50yB．x+y=920x=2×50y
C．x+y=92×20x=50yD．x+y=92×50x=20y
8．（3分）某校为了解七年级900名学生在本次体育测试的成绩情况，现随机抽取若干名学生的体育测试成绩进行统计．并绘制了如下两幅统计图．则下列结论不正确的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是100
B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的10%
C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为90°
D．若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格人数约630人
9．（3分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC于点D，若csA=35，则CD的长为（ ）
A．6B．254C．203D．5
10．（3分）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点P处抛出，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）．建立如图所示的坐标系（正方形ABCD为箱子主视图，其边长为2m，x轴经过箱子底面中心），点P的坐标为（0，4），点B的坐标为（8，0），若要使得沙包能落入箱内，则a的取值范围是（ ）
A．−18＜a＜−120B．−18＜a＜−116
C．−18＜a＜−112D．−38＜a＜−18
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算3−8+(−2)2−19的结果为 ．
12．（3分）不等式组x−3≤0x+1＞0的解集为 ．
13．（3分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 米．
14．（3分）有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率为 ．
15．（3分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
则32022+32021+32020+⋯+32+3+1的结果为 ．
16．（3分）在边长为24的正方形ABCD中，E在AB上，AE=14AB，P在BC边上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于Q，则CQ的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出a＝﹣2，b＝4时，求出解密后明文mn的值．
18．（8分）解方程：6xx2−9+xx+3=2．
19．（8分）如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E．
（1）求证：∠ABE＝∠GFD；
（2）在EF上截取EH＝BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明．
20．（8分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
分析数据：
解决问题：
（1）求a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜67＜9，
则67可以设成以下两种形式：
①67=8+s，其中0＜s＜1；
②67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求67的近似值的过程如表．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求BD的长．
23．（10分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为(1m，0)，且m为整数，就称这样的点为x轴上的“单位长度等分点”．已知函数y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2（实数a为常数）．
（1）若该函数的图象过点（1，3），求a的值；
（2）当该函数图象与x轴只有一个交点时，求函数的解析式；
（3）无论a取任何实数，该函数图象与x轴的公共点中都有单位长度等分点吗？若有，求出单位长度等分点；若没有，请说明理由．
24．（12分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在对角线AC上，AG＝CH．
（1）求证EH＝FG；
（2）若AB＝4，BC＝6，四边形EGFH为矩形．
①当∠B＝90°时，AG的长为 ；
②直接写出该矩形为正方形时AG的长．
2026年杭州中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．12024
C．−12024D．以上都不是
【考点】相反数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣xB．90°+xC．90°﹣xD．180°﹣2x
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过点G作GH∥AB，先证AB∥GH∥CD，则∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，进而得∠EGF＝∠BEG+∠DFG，再根据∠EGF＝90°，∠BEG＝x得∠DFG＝90°﹣x，然后根据∠CFG+∠DFG＝180°即可得出∠CFG的度数．
【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，
∴∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，
即∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，
∴90°＝x+∠DFG，
∴∠DFG＝90°﹣x，
∵∠CFG+∠DFG＝180°，
∴∠CFG＝180°﹣∠DFG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
3．（3分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.244×1010B．2.44×109
C．2.44×1010D．244×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：244亿＝24400000000＝2.44×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
【解答】解：A．主视图是矩形，故本选项符合题意；
B．主视图是圆，故本选项不合题意；
C．主视图是三角形，故本选项不合题意；
D．主视图是等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
5．（3分）关于反比例函数y=5x，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象位于第一、三象限
B．当1＜x＜5时，1＜y＜5
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜﹣2时，y＜﹣2.5
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据k＝5＞0可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小逐项判断即可．
【解答】解：A、∵k＝5＞0，
∴图象位于第一、三象限，不符合题意；
B、当 x＝1 时，y＝5；当 x＝5 时，y＝1；
∵x＞0时，y随x增大而减小，
∴当 1＜x＜5时，1＜y＜5，不符合题意；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、∵当 x＝﹣2 时，y＝﹣2.5，
∴当x＜﹣2时，﹣2.5＜y＜0，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的12，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣12，﹣8）B．（﹣12，﹣8）或（12，8）
C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）或（3，2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的12，
点B'的对应点A'的坐标为（﹣6×12，﹣4×12）或（﹣6×（−12），﹣4×（−12）），即点B'的坐标为（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（3分）工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9名工人参与制作，每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．x+y=920x=50yB．x+y=920x=2×50y
C．x+y=92×20x=50yD．x+y=92×50x=20y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，且每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，
由题意得：x+y=92×20x=50y．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）某校为了解七年级900名学生在本次体育测试的成绩情况，现随机抽取若干名学生的体育测试成绩进行统计．并绘制了如下两幅统计图．则下列结论不正确的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是100
B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的10%
C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为90°
D．若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格人数约630人
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据两幅统计图分别进行判断即可．
【解答】解：本次抽样调查的样本容量是46÷46%＝100，故A选项不符合题意；
体育测试成绩在40分以下占抽取人数的100−20−46−24100×100%＝10%，故B选项不符合题意；
在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为360°×24100=86.4°，故C选项符合题意；
若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校初三学生体育成绩合格人数约900×46+24100=630（人），故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
9．（3分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC于点D，若csA=35，则CD的长为（ ）
A．6B．254C．203D．5
【考点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据斜边上的中线的性质，得到OC=12AB=OA，进而得到∠A＝∠OCA，同角的余角相等，得到∠CDO＝∠ACO＝∠A，进而得到cs∠CDO=35，设OD＝3x，CD＝5x，勾股定理求出x的值，即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，
∴OC=12AB=OA=5，
∴∠A＝∠OCA，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°＝∠ACB，
∴∠CDO＝∠ACO＝90°﹣∠OCD，
∴∠CDO＝∠ACO＝∠A，
∴cs∠CDO=csA=ODCD=35，
设OD＝3x，CD＝5x，则：OC=CD2−OD2=4x=5，
∴x=54，
∴CD=254；
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，正确记忆相关知识点是解题关键．
10．（3分）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点P处抛出，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）．建立如图所示的坐标系（正方形ABCD为箱子主视图，其边长为2m，x轴经过箱子底面中心），点P的坐标为（0，4），点B的坐标为（8，0），若要使得沙包能落入箱内，则a的取值范围是（ ）
A．−18＜a＜−120B．−18＜a＜−116
C．−18＜a＜−112D．−38＜a＜−18
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】由题意得，A（8，2），D（10，2），然后将点P（0，4），A（8，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）求出此时的a，再将点P（0，4），D（10，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）求出此时的a，即可求解范围．
【解答】解：由题意得，D（10，2），A（8，2），
将点P（0，4），A（8，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0），
则9a+k=425a+k=2，
解得a=−18；
将点P（0，4），D（10，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0），
则9a+k=449a+k=2，
解得a=−120；
∴−18＜a＜−120，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算3−8+(−2)2−19的结果为 −13 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】−13．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：3−8+(−2)2−19
＝﹣2+2−13
=−13，
故答案为：−13．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（3分）不等式组x−3≤0x+1＞0的解集为 ﹣1＜x≤3 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3≤0得：x≤3，
由x+1＞0得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 （103+1.5） 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（103+1.5）．
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在Rt△ABE中，tanα=BEAE=tan30°=33，
∴BE=33AE=33×30＝103（米），
∴BC＝BE+CE＝（103+1.5）米，
答：铁塔的高BC为（103+1.5）米，
故选：（103+1.5）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．（3分）有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率为 16 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】16．
【分析】先画出树状图，找出前两个出场的所有等可能的结果，再找出前两个出场的都是男生的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【解答】解：画出树状图如图所示：
由树状图可知，前两个出场的所有等可能的结果共有12种，前两个出场的都是男生的结果有2种，
则P=212=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法是解题关键．
15．（3分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
则32022+32021+32020+⋯+32+3+1的结果为 32023−12 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】猜想归纳；运算能力．
【答案】32023−12．
【分析】将原式变形后根据规律计算即可．
【解答】解：原式=12×（3﹣1）×（32022+32021+32020+⋯+32+3+1）
=12×（32023﹣1）
=32023−12，
故答案为：32023−12．
【点评】本题考查数式规律问题，将原式进行正确地变形是解题的关键．
16．（3分）在边长为24的正方形ABCD中，E在AB上，AE=14AB，P在BC边上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于Q，则CQ的最大值为 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝24﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥EP，
∴∠B＝∠C＝90°，∠EPQ＝90°，
∴∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴BEPC=BPCQ，
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝24﹣x．
∴24−624−x=xy，化简得y=−118（x2﹣24x），
整理得y=−118（x﹣12）2+8，
所以当x＝12时，y有最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出a＝﹣2，b＝4时，求出解密后明文mn的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣120．
【分析】先化简n＝（4a2b﹣2a3）÷（﹣2a）2，再将a＝﹣2，b＝4，代入计算求出m、n的值，再计算mn的值即可．
【解答】解：n＝（4a2b﹣2a3）÷（﹣2a）2
＝（4a2b﹣2a3）÷（4a2）
＝b−12a，
将a＝﹣2，b＝4代入：
m=a2+ab2+14b2
=(−2)2−2×42+14×42
＝4﹣2×16+14×16
＝4﹣32+4
＝﹣24，
n＝b−12a
＝4−12×（﹣2）
＝4+1
＝5，
∴mn＝﹣24×5＝﹣120，
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出m、n的值．
18．（8分）解方程：6xx2−9+xx+3=2．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝6．
【分析】方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得出6x+x（x﹣3）＝2（x+3）（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：6xx2−9+xx+3=2，
6x(x+3)(x−3)+xx+3=2，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3），得6x+x（x﹣3）＝2（x+3）（x﹣3），
整理得：x2﹣3x﹣18＝0，
（x﹣6）（x+3）＝0，
x1＝6，x2＝﹣3，
检验：当x＝6时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以x＝6是分式方程的解；
当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
所以x＝﹣3是增根，
所以分式方程的解是x＝6．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．（8分）如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E．
（1）求证：∠ABE＝∠GFD；
（2）在EF上截取EH＝BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）AE=2AO，证明见解答过程．
【分析】（1）根据正方形性质得AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC∥AD，由此得∠BGF＝∠GFD，再证∠ABE＝∠BGF即可；
（2）①依题意补全图形即可
②连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，先证△HEO和△DMO全等得OE＝OM，EH＝MD，再证△ABE和△ADM全等得∠BAE＝∠DAM，AE＝AM，进而可证∠EAM＝90°，则△AEM为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出线段AO和AE的数量关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC∥AD，
∴∠GBE+∠ABE＝90°，∠BGF＝∠GFD，
∵BE⊥GF，
∴∠BGF+∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BGF
∴∠ABE＝∠GFD；
（2）①依题意补全图形如图1所示：
②线段AO和AE的数量关系是：AE=2AO，证明如下：
连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，如图2所示：
则∠HEO＝∠M，∠ADM＝∠GFD，
∵O为DH的中点，
∴OH＝OD，
在△HEO和△DMO中，
∠HEO=∠M∠HOE=∠DOMOH=OD，
∴△HEO≌△DMO（AAS），
∴OE＝OM，EH＝MD，
∵EH＝BE，
∴BE＝MD，
由①可知：∠ABE＝∠GFD，
∴∠ABE＝∠ADM，
在△ABE和△ADM中，
AB=AD∠ABE=∠ADMBE=MD，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE＝∠DAM，AE＝AM，
∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠EAD＝90°，
∴∠EAM＝90°，
即△AEM为等腰直角三角形，
又∵OE＝OM，
∴AO⊥EM，AO＝OE＝OM，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝2AO2，
∴AE=2AO．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
20．（8分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
分析数据：
解决问题：
（1）求a＝ 9 ，b＝ 91 ，c＝ 90 ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）9、91、90；
（2）182名．
【分析】（1）根据各分数人数之和等于总人数求出a，再根据众数和中位数的定义可得b、c的值；
（2）总人数乘以样本中成绩达到“优秀”的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣（2+2+2+4+1+3+2+1）＝3，
b＝91，c=89+912=90，
故答案为：9、91、90；
（2）260×20−2−2−220=182（名），
答：估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数为182名．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、中位数的定义及样本估计总体的应用．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜67＜9，
则67可以设成以下两种形式：
①67=8+s，其中0＜s＜1；
②67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求67的近似值的过程如表．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）8.22；
（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由见解析．
【分析】（1）设67=9−t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81﹣18t+t2，t2比较小，将t2忽略不计，则67≈81﹣18t，据此可得t≈79，则67≈9−79≈8.22；
（2）可求出8.18＜67＜8.19＜8.22，据此可得结论．
【解答】解：（1）设67=9−t，其中0＜t＜1，
∴(67)2=(9−t)2，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
∴t≈81−6718=79，
∴67≈9−79≈8.22；
（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由如下：
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，66.9124＜67＜67.0761，
∴8.18＜67＜8.19＜8.22，
∴用①的形式得出的67的近似值的精确度更高．
【点评】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求BD的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）BD的长为907．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠BCD＝∠BOE；
（2）过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到BC＝6，根据平行线的性质得到∠BOE＝∠CAB，根据三角函数的定义得到BH=185，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD＝∠BOE；
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠CAB=BCAB=35，AB＝10，
∴BC＝6，
∵OF⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠BOE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠BOE，
∴∠BAC＝∠BCD，
∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BHBC=35，
∴BH=185，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH∥OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴BHOC=BDOD，
∴1855=BDBD+5，
解得BD=907，
故BD的长为907．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为(1m，0)，且m为整数，就称这样的点为x轴上的“单位长度等分点”．已知函数y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2（实数a为常数）．
（1）若该函数的图象过点（1，3），求a的值；
（2）当该函数图象与x轴只有一个交点时，求函数的解析式；
（3）无论a取任何实数，该函数图象与x轴的公共点中都有单位长度等分点吗？若有，求出单位长度等分点；若没有，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；新定义；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣2；
（2）y=327x2+327x+87或y=163x+83；
（3）存在，单位长度等分点为：（−12，0）．
【分析】（1）将（1，3）代入函数表达式，即可求解；
（2）分类讨论，即可求解；
（3）分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2＝（6a+2）+（5﹣a）﹣2a+2＝3，
解得：a＝﹣2；
（2）6a+2≠0时，
由题意得：Δ＝（5﹣a）2﹣4（6a+2）（2﹣2a）＝0，
解得：a=37，
则抛物线的表达式为：y=327x2+327x+87；
当6a+2＝0时，
函数为一次函数y=163x+83，此时与x轴也只有一个交点（−12，0），
综上，函数的表达式为：y=37x2+37x+328或y=163x+83；
（3）存在，理由：
当6a+2≠0时，
y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2＝a（2x+1）（3x﹣2）+2x2+5x+2，
令（2x+1）（3x﹣2）＝0，
则x=−12或23，
当x=−12时，y＝a（2x+1）（3x﹣2）+2x2+5x+2＝0，
即点（−12，0）在抛物线上，且符合题意，
即单位长度等分点为：（−12，0）；
当6a+2＝0时，一次函数y=163x+83，此时与x轴也只有一个交点（−12，0），
综上，单位长度等分点为：（−12，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、函数过定点、根和系数判别式等，综合性强，难度适中．
24．（12分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在对角线AC上，AG＝CH．
（1）求证EH＝FG；
（2）若AB＝4，BC＝6，四边形EGFH为矩形．
①当∠B＝90°时，AG的长为 13−2 ；
②直接写出该矩形为正方形时AG的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①13−2．
②5−2．
【分析】（1）根据题意及平行四边形的性质，证明△AEH≌△CFG（SAS），即可得证；
（2）①证明四边形ABCD是矩形，利用勾股定理求出AC，连接EF，证明四边形ABFE为矩形，求出GH，即可解答；
②连接EF交GH于点O，利用正方形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAH＝∠FCG，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF，
∵AG＝CH，
∴AH＝CG，
∴△AEH≌△CFG（SAS），
∴EH＝FG．
（2）解：①∵∠B＝90°，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=42+62=213，
如图，连接EF，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE=12AD，BF=12BC，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴EF＝GH＝AB＝4，
∴AG=AC−GH2=213−42=13−2，
故答案为：13−2．
②如图，连接EF交GH于点O，
∵四边形EGFH为正方形，
∴OE＝OF＝OG＝OH=12EF=2，EF⊥GH，
在Rt△COF中，CF=12BC＝3，
∴OC=CF2−OF2=32−22=5，
∴AG＝HC＝CO﹣OH=5−2．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
a
3
2
1
平均数
众数
中位数
93
b
c
因为67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
得s≈67−6416=316，
故67≈8+316≈8.19．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A．
B
C．
A
D
D
C
C
B
A
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
a
3
2
1
平均数
众数
中位数
93
b
c
因为67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
得s≈67−6416=316，
故67≈8+316≈8.19．