2026年深圳市中考数学终极押题模拟卷二（含答案）

这是一份2026年深圳市中考数学终极押题模拟卷二（含答案），共14页。
A．﹣3kmB．﹣5kmC．3kmD．5km
2．（3分）在下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）数学的英语单词为“math”．现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，背面朝上洗匀．小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“a”的概率是（ ）
A．34B．12C．13D．14
4．（3分）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（ ）
A．6cs52°米B．6sin52°米C．6cs52°米D．6sin52°米
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6D．4a2﹣2a2＝2
6．（3分）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74°B．72°C．70°D．68°
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ）
A．6210x=x+13B．6210x=3(x−1)
C．6210x=3(x+1)D．6210x=x−13
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB边的中点，连接MC，将△CBM沿直线CM向正方形内翻折，点B的对应点为点N，连接DN，AN，则NDNC等于（ ）
A．12B．22C．64D．105
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）如果x＝1是关于x的方程2x﹣3a＝14的解，那么a的值是 ．
10．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点P1的坐标为 ．
11．（3分）计算x2+1x−1−2xx−1的结果是 ．
12．（3分）函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y=1x的图象交于点（m，n），则1m+1n的值为 ．
13．（3分）如图，E是矩形ABCD的中心，点F在线段CD上运动，连接EF，将线段EF绕E顺时针旋转90°得到线段EG，连接CG，GF．若AB＝8，BC＝6，则△GFC面积的最大值是 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：−12024+9−|−2|+(−8)÷4．
15．（7分）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
2x+3＞3x−74x−23≤2x−5．
16．（8分）海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为 分、中位数为 分；
（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
17．（8分）为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进A、B两种瓶装饮品共300箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
（1）若该超市花了10000元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？
（2）设购进A种饮料a箱（80≤a≤100），300箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系式，并求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
18．（10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝8，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
19．（10分）综合与实践
玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究，综合实践小组的同学收集相关数据，运用数学知识探究玉米种植、销售过程中的实际问题，活动报告如下：
根据活动报告中的信息解决下列问题：
（1）根据活动报告中的信息可知，玉米每亩销售收入y1（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的关系之间的变化规律可用我们学习过二次函数刻画，则其函数表达式为 ；
（2）当m＝150时，解决下列问题：
①请直接写出玉米每亩种植成本y2（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的函数表达式为 ；
②若玉米每亩的利润为678元，求每亩钾肥的施用量；
（3）若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大．请通过计算确定相应的m的值．
20．（12分）折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达“三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的变换问题．
【操作发现】
如图1，在矩形ABCD中，按如下步骤操作：
①如图1﹣a，第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，C与D重合，展平纸片得到折痕MN；
②如图1﹣b，第二次折叠，点C落在MN上，折痕与MN交于点F；
③如图1﹣c，第三次折叠，点D与点E重合；
⑤如图1﹣d，展平纸片；
（1）判断△DEH的形状，并说明理由；
【初步探究】
（2）在（1）的基础上，如图2，作∠BCD的平分线交HF于点P，连接PE，求证：∠PEH＝∠CPF；
【深入探究】（3）在图2上补全图形，过点P作CD的平行线，分别交HE，BC，HD于点Q，R，S，试判断SP，PQ，QR的数量关系，并说明理由．
2026年 深圳中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若把向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作（ ）
A．﹣3kmB．﹣5kmC．3kmD．5km
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作﹣3km，
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）在下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．
【解答】解：A、俯视图是圆，故不符合题意；
B、俯视图是矩形，故不符合题意；
C、俯视图是三角形，故符合题意；
D、俯视图是圆，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
3．（3分）数学的英语单词为“math”．现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，背面朝上洗匀．小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“a”的概率是（ ）
A．34B．12C．13D．14
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵数学的英语单词为“math”，现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，
∴小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“a”的概率是14，
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
4．（3分）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（ ）
A．6cs52°米B．6sin52°米C．6cs52°米D．6sin52°米
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的定义得sin∠ACB=ABAC，由此可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6米，∠ACB＝52°，
∵sin∠ACB=ABAC，
∴AB＝AC•sin∠ACB＝6sin52°（米）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6D．4a2﹣2a2＝2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则进行计算．
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，原式计算正确，符合题意；
D、4a2﹣2a2＝2a2，原式计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．（3分）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74°B．72°C．70°D．68°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，∠CPM＝∠HPM，据此可得∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，再根据HP∥GM得∠HPM+∠GMP＝180°，根据CP∥BM得∠CPM＝∠AMP＝2∠1，据此可求出∠1＝36°，进而可求出∠CPM的度数．
【解答】解：由翻折的性质得：∠AMN＝∠NMP，∠CPM＝∠HPM，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB∥CD，
∴∠AMN＝∠1，
∴∠NMP＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，
∴∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，
∵HP∥GM，
∴∠HPM+∠GMP＝180°，
即：∠HPM+3∠1＝180°，
∵CP∥BM，
∴∠CPM＝∠AMP＝2∠1，
∴∠HPM＝∠CPM＝2∠1，
∴2∠1+3∠1＝180°，
∴∠1＝36°，
∴∠CPM＝2∠1＝72°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，长方形的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ）
A．6210x=x+13B．6210x=3(x−1)
C．6210x=3(x+1)D．6210x=x−13
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为3（x﹣1）文，结合单价＝总价÷数量，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为x株，
∴每株椽的价钱为3（x﹣1）文．
根据题意得：6210x=3（x﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB边的中点，连接MC，将△CBM沿直线CM向正方形内翻折，点B的对应点为点N，连接DN，AN，则NDNC等于（ ）
A．12B．22C．64D．105
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】延长MN交AD于点E，可证明Rt△NCE≌Rt△DCE，得NE＝DE，则CE垂直平分DN，设正方形ABCD的边长为6m，NE＝DE＝x，则MN＝BM＝AM＝3m，由勾股定理得（3m）2+（6m﹣x）2＝（3m+x）2，求得x＝2m，则CE＝210m，由S四边形CDEN=12×210m•ND＝2×12×6m×2m，求得ND=6105m，进而求得NDNC=105，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长MN交AD于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝DC，
由翻折得∠MNC＝∠B＝90°，NC＝BC＝DC，
∴∠ENC＝∠EDC＝90°，
∵CE＝CE，NC＝DC，
∴Rt△NCE≌Rt△DCE（HL），
∴NE＝DE，S△NCE＝S△DCE，
∴CE垂直平分DN，
设正方形ABCD的边长为6m，NE＝DE＝x，则AB＝AD＝BC＝NC＝DC＝6m，
∵点M是边AB的中点，
∴MN＝BM＝AM＝3m，
∵AM2+AE2＝ME2，且AE＝6m﹣x，ME＝3m+x，
∴（3m）2+（6m﹣x）2＝（3m+x）2，
∴x＝2m，
∴CE=(2m)2+(6m)2=210m，
∵S四边形CDEN=12×210m•ND＝2×12×6m×2m，
∴ND=6105m，
∴NDNC=6105m6m=105，
故选：D．
【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）如果x＝1是关于x的方程2x﹣3a＝14的解，那么a的值是 ﹣4 ．
【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】将x＝1代入方程可得一个关于a的一元一次方程，解方程即可得．
【解答】解：由题意可得：2×1﹣3a＝14，
解得a＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
10．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点P1的坐标为 （2，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（2，1）．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点P′的坐标为（﹣1+3，﹣3+4），再计算即可．
【解答】解：点P（﹣1，﹣3）先向右平移3个单位，再向上平移4个单位后得到点P1，
则点P1的坐标为（﹣1+3，﹣3+4），
即（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是掌握点的坐标平移后的变化规律．
11．（3分）计算x2+1x−1−2xx−1的结果是 x﹣1 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣1．
【分析】同分母相加，分母不变，分子相加即可．
【解答】解：原式=x2+1−2xx−1=(x−1)2x−1=x−1．
故答案为：x﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
12．（3分）函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y=1x的图象交于点（m，n），则1m+1n的值为 5 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】本题可先根据交点同时在两个函数图象上，得到关于m、n的等式，再对所求式子进行变形，最后代入计算．
【解答】解：函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y=1x的图象交于点（m，n），
把（m，n）代入y＝﹣x+5，得m+n＝5，
把（m，n）代入y=1x，得mn＝1，
1m+1n
=m+nmn
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的是根据交点同时在两个函数图象上，得到关于m、n的等式．
13．（3分）如图，E是矩形ABCD的中心，点F在线段CD上运动，连接EF，将线段EF绕E顺时针旋转90°得到线段EG，连接CG，GF．若AB＝8，BC＝6，则△GFC面积的最大值是 498 ．
【考点】旋转的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】498．
【分析】过点E作DC的垂线段于点N，过点G作EN的垂线段于点M，证明△NFE≌△MEG（AAS），设FC＝x，分类讨论表示出△GFC的高，利用二次函数的性质即可解答．
【解答】解：如图1，E是矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，过点E作DC的垂线段于点N，过点G作EN的垂线段于点M，
∴DC＝8，AD＝6，
∴NC=12DC=4，EN=12AD=3，
∵将线段EF绕E顺时针旋转90°得到线段EG，
∴∠FEG＝90°，EF＝EG，
∴∠NEF+∠GEM＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠GEM＝∠EFN，
在△NFE和△MEG中，
∠FNE=∠EMG=90°∠EFN=∠GEMEF=GE，
∴△NFE≌△MEG（AAS），
∴NF＝EM，NE＝MG，
当点F在线段NC上运动时，点G在点E下方，
设FC＝x，则此时0≤x＜4，
∴NF＝NC﹣FC＝4﹣x，
∴NM＝NE+EM＝3+4﹣x＝7﹣x，
∴S△GFC=FC⋅NM2=x(7−x)2=−12x2+72x=−12(x−72)2+498，
当x=72时，S△GFC有最大值为498；
当点G在DC上时，如图2，
∵将线段EF绕E顺时针旋转90°得到线段EG，
∴∠FEG＝90°，EF＝EG，
∴∠GFE＝45°，
∵EN⊥DC，
∴∠NEF＝45°，
∴FN＝EN＝3，
此时CF＝FN+NC＝7；
当4≤x≤7时，点G在点E和线段DC之间，如图3，
∴∠NEF+∠GEM＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠GEM＝∠EFN，
在△NFE和△MEG中，
∠FNE=∠EMG=90°∠EFN=∠GEMEF=GE，
∴△NFE≌△MEG（AAS），
∴NF＝EM，NE＝MG，
∴NM＝NE﹣EM＝3﹣（x﹣4）＝7﹣x，
∴S△GFC=FC⋅NM2=x(7−x)2=−12x2+72x=−12(x−72)2+498，
当x＝4时，S△GFC有最大值为6；
当7＜x≤8时，点G在线段DC之上，如图4，
同理可得△NFE≌△MEG（AAS），
∴NF＝EM，NE＝MG，
∴NM＝EM﹣EN＝x﹣4﹣3＝x﹣7，
∴S△GFC=FC⋅NM2=x(x−7)2=12x2−72x=12(x−72)2−498，
当x＝8时，S△GFC有最大值为4；
综上，△GFC面积的最大值是498，
故答案为：498．
【点评】本题考查了二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：−12024+9−|−2|+(−8)÷4．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：−12024+9−|−2|+(−8)÷4
＝﹣1+3﹣2+（﹣2）
＝﹣1+3﹣2﹣2
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（7分）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
2x+3＞3x−74x−23≤2x−5．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】7，8，9．
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再确定整数解即可．
【解答】解：2x+3＞3x−7①4x−23≤2x−5②
解不等式①得：x＜10，
解不等式②得：x≥132，
所以不等式组的解为：132≤x＜10，
所以整数解为：7，8，9．
【点评】本题考查的是求解不等式组的整数解，通过解不等式组求得x的取值范围是解题的关键．
16．（8分）海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为 50 ，图2中m的值为 28 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为 12 分、中位数为 11 分；
（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
【考点】条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）50，28；
（2）12，11；
（3）600．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据众数和中位数；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16＝50（人），
m%=1450×100%=28%，
故答案为：50，28；
（2）由条形统计图可得众数是12分，
由题意得，中位数是第25，26个数据的平均数，
∴由条形统计图可得，（11+11）÷2＝11（分），
故答案为：12，11；
（3）我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1000×14+1650=600（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（8分）为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进A、B两种瓶装饮品共300箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
（1）若该超市花了10000元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？
（2）设购进A种饮料a箱（80≤a≤100），300箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系式，并求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）购进A种饮料200箱，B种饮料100箱；
（2）当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元．
【分析】（1）设购进A种饮料x箱，B种饮料y箱，根据购进饮料的总数和进货的费用列方程组求解；
（2）根据两种饮料的单件利润和进货的数量，可得W＝﹣5a+6000，根据一次函数的性质可知，当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元．
【解答】解：（1）设购进A种饮料x箱，B种饮料y箱，
由题意得30x+40y=10000x+y=300，
解得x=200y=100，
答：购进A种饮料200箱，B种饮料100箱．
（2）由题意得W＝（45﹣30）a+（60﹣40）（300﹣a）＝﹣5a+6000，
∵﹣5＜0，
∴W随a的增大而减小，
又∵80≤a≤100，
∴当a＝80时，W有最大值，为﹣5×80+6000＝5600元，
答：当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，掌握以上知识点是解题的关键．
18．（10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝8，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质求得AC的长度，利用勾股定理解答即可得出结论；
（3）利用圆的直径的性质和等边三角形的判定与性质球儿∠AOC的度数，再利用图中阴影部分的面积＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠B+∠OAC＝90°，
∴∠OCA+∠B＝90°．
∵∠ACD＝∠B，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥EF，
∵OC为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD，
∴△ACB∽△ADC，
∴ABAC=ACAD，
∴AC2＝AB•AD＝8×2＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
∴CD=AC2−AD2=42−22=23；
（3）解：∵直径AB＝8，
∴OC＝OA＝4．
由（2）知：AC＝4，
∴OC＝AC＝OA，
∴△OCA为等边三角形，
∴∠AOC＝60°．
∵OC⊥EF，AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴四边形ADCO为梯形，
∴图中阴影部分的面积＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC
=12（AD+OC）•CD−60π×42360
=12（4+2）×23−83π
＝63−83π．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，梯形，扇形的面积公式，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
19．（10分）综合与实践
玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究，综合实践小组的同学收集相关数据，运用数学知识探究玉米种植、销售过程中的实际问题，活动报告如下：
根据活动报告中的信息解决下列问题：
（1）根据活动报告中的信息可知，玉米每亩销售收入y1（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的关系之间的变化规律可用我们学习过二次函数刻画，则其函数表达式为 y1=−2x2+60x+600 ；
（2）当m＝150时，解决下列问题：
①请直接写出玉米每亩种植成本y2（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的函数表达式为y2＝10x+150 ；
②若玉米每亩的利润为678元，求每亩钾肥的施用量；
（3）若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大．请通过计算确定相应的m的值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y1=−2x2+60x+600；
（2）①y2＝10x+150；
②每亩钾肥的施用量6公斤；
（3）120．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解二次函数解析式即可；
（2）①利用待定系数法进行求解一次函数解析式即可；
②利用W＝y1﹣y2，得出W＝﹣2x2+50x+450，将W＝678代入求解，并验根即可；
（3）先利用待定系数法进行求出y2与x的函数表达式为y2=300−m15x+m，那么可得W=−2x2+600+m15x+600−m，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意设y1=ax2+bx+c(a≠0)，
将（0，600），（5，850），（10，1000）代入，
得c=60052a+5b+c=850102a+10b+c=1000，
解得a=−2b=60c=600，
∴其函数表达式为y1=−2x2+60x+600；
故答案为：y1=−2x2+60x+600；
（2）①由题意设y2＝kx+n（k≠0），
因为如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为m元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩种植成本为300元，m＝150，
∴y2＝kx+n（k≠0）的图象过点（0，150），（15，300），
代入y2＝kx+n（k≠0），得n=15015k+n=300，
解得k=10n=150，
∴y2＝10x+150；
故答案为：y2＝10x+150；
②由题可知W＝y1﹣y2，
即W＝﹣2x2+60x+600﹣10x﹣150＝﹣2x2+50x+450，
将W＝678代入W＝﹣2x2+50x+450中，
得﹣2x2+50x+450＝678，
解得x1＝6，x2＝19，
∵0≤x≤15，
∴x＝6．
答：利润为678元；
（3）由题可设y2＝px+q（p≠0），
将x＝0，y＝m和x＝15，y＝300分别代入y2＝px+q（p≠0）中，
得q=m15p+q=300，
解得p=300−m15q=m，
所以玉米每亩种植成本y2与每亩钾肥施用量x之间的函数表达式为y2=300−m15x+m，
那么W=−2x2+60x+600−300−m15x−m=−2x2+600+m15x+600−m，
对称轴为直线x=−600+m152×(−2)=600+m60=10+m60＞0，
∵0≤x≤15，
当10+m60≤15时，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x=10+m60时，W取最大值，
即10+m60=12，
解得m＝120；
当10+m60＞15时，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝15时，W取最大值，与题意x＝12时W取最大值不符；
综上，若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大，则m＝120．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．（12分）折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达“三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的变换问题．
【操作发现】
如图1，在矩形ABCD中，按如下步骤操作：
①如图1﹣a，第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，C与D重合，展平纸片得到折痕MN；
②如图1﹣b，第二次折叠，点C落在MN上，折痕与MN交于点F；
③如图1﹣c，第三次折叠，点D与点E重合；
⑤如图1﹣d，展平纸片；
（1）判断△DEH的形状，并说明理由；
【初步探究】
（2）在（1）的基础上，如图2，作∠BCD的平分线交HF于点P，连接PE，求证：∠PEH＝∠CPF；
【深入探究】（3）在图2上补全图形，过点P作CD的平行线，分别交HE，BC，HD于点Q，R，S，试判断SP，PQ，QR的数量关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）△DEH是等边三角形，理由见解答；
（2）证明见解答；
（3）PQ2＝QR2+PS2．
【分析】（1）连接DO，CO，根据折叠的性质，证得△DOC是等边三角形，根据矩形的性质求出∠HDE，即可解答；
（2）根据折叠的性质及角平分线的性质，求出∠FPC，连接PD，过P作PG⊥CD于G，PR⊥BC于R，证明△PGD≌△PRE（SAS），进而证明△PED是等腰直角三角形，求出∠HEP，即可得证；
（3）根据题意作图，得到四边形SDCR是矩形，四边形SPGD是矩形，四边形PRCG是正方形，进而得到SP＝RE，PQ＝QE，利用勾股定理即可解答．
【解答】（1）解：△DEH是等边三角形，理由如下：
由折叠知HE＝DH，
如图，连接DO，CO，
∵由折叠知MN垂直平分CD，
∴DO＝CO，
∵DC＝DO，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ODE＝∠CDE＝30°，
∵矩形ABCD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠HDE＝90°﹣∠CDE＝60°，
∴△DEH是等边三角形．
（2）证明：由折叠知∠DHF＝∠EHF＝30°，
∴∠HKD＝90°﹣∠DHF＝60°，
∵CP平分∠BCD，
∴∠DCP=12∠BCD=45°，
∴∠FPC＝∠DHF﹣∠DCP＝15°，
如图，连接PD，过P作PG⊥CD于G，PR⊥BC于R，
∴∠PGD＝∠PRE＝90°，
∵CP平分∠BCD，
∴PR＝PG，
又∵MN垂直平分CD，
∴PE＝PD，
∴△PGD≌△PRE（SAS），
∴∠RPE＝∠DPG，
∴∠DPG+∠GPE＝∠RPE+∠GPE＝90°，
即∠DPE＝90°，
∴△PED是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°，
∴∠HEP＝∠HED﹣∠PED＝60°﹣45°＝15°，
∴∠HEP＝∠FPC．
（3）解：PQ2＝QR2+PS2，理由如下：
如图，
∵PR∥CD，矩形ABCD，
∴∠DSR＝∠PRC＝∠SDC＝∠DCR＝90°，
∴四边形SDCR是矩形，四边形SPGD是矩形，四边形PRCG是正方形，
∴SP＝DG，
由（2）得△PGD≌△PRE，DG＝RE，
∴SP＝RE，
∵△DEH是等边三角形，
∴∠DHE＝60°，
∴∠HQS＝∠PSD﹣∠DHQ＝90°﹣60°＝30°，
由（2）得∠HEP＝15°，
∴∠EPQ＝∠PQH﹣∠QEP＝30°﹣15°＝15°，
∴PQ＝QE，
在Rt△QRE中，QE2＝QR2+ER2，
∴PQ2＝QR2+PS2．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键．饮料
成本（元/箱）
销售价（元/箱）
A
30
45
B
40
60
活动主题
探究玉米种植、销售过程中的实际问题
收集信息
信息1：该试验中每亩钾肥施用量x（公斤）的范围是0≤x≤15．
信息2：玉米每亩销售收入y1（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的关系如下表所示：
每亩钾肥施用量x（公斤）
0
5
10
15
20
25
玉米每亩销售收入y1（元）
600
850
1000
1050
1000
850
信息3：经市场调查，玉米每亩种植成本y2（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为m元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩种植成本为300元．
信息4：每亩玉米的利润为W（元），W＝y1﹣y2．
解决问题
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
C
B
B
D
饮料
成本（元/箱）
销售价（元/箱）
A
30
45
B
40
60
活动主题
探究玉米种植、销售过程中的实际问题
收集信息
信息1：该试验中每亩钾肥施用量x（公斤）的范围是0≤x≤15．
信息2：玉米每亩销售收入y1（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的关系如下表所示：
每亩钾肥施用量x（公斤）
0
5
10
15
20
25
玉米每亩销售收入y1（元）
600
850
1000
1050
1000
850
信息3：经市场调查，玉米每亩种植成本y2（元）与每亩钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为m元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩种植成本为300元．
信息4：每亩玉米的利润为W（元），W＝y1﹣y2．
解决问题
…