甘肃省兰州市第五十九中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题（含答案解析）

这是一份甘肃省兰州市第五十九中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
3. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
4. 已知平面向量，，若，则=（ ）
5. 已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据，）
7. 已知函数在上单调，则的最大值为（ ）
8. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ）
二、多选题
9. 某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ）
10. 记为等差数列的前项和，为的公差，若，则（ ）
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题
12. 在的展开式中常数项是______．（用数字作答）
13. 已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的通项______．
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______．
四、解答题
15. 已知向量，函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长.
16. 已知四棱锥，平面，，，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数在处有极值.
(1)求的值；
(2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围.
18. 某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）．
方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）；
方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
(1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理．
19. 已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；
(3)点为坐标原点，求面积的最大值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．4
A．8
B．5
C．2
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．3
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.2
C．估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25
D．估计这200名学生的平均体重为54.75千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
A．
B．
C．当或6时，取得最小值
D．当时，的最小值为11
A．三棱锥体积为
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若，则点的轨迹长度为
D．的最小值为