专题04 函数实际应用-2026年北京地区中考数学二轮专题复习试题（含答案）

这是一份专题04 函数实际应用-2026年北京地区中考数学二轮专题复习试题（含答案），共6页。

内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
►考向聚焦 ►考查形式 ►能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
►知识必备/二级结论 ►母题精讲&答题技法 ►变式应用
技法01 解决营销问题 技法02 函数方案问题 技法03 一次函数行程问题
技法04 一次函数其他应用问题 技法05 二次函数图形问题 技法06 二次函数实物建模问题
技法07 二次函数的其它应用问题 技法08 与反比例函数有关的跨学科问题
技法09 反比例函数与其它函数的实际应用
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
技●法●清●单
技法01 解决营销问题
知识必备
一次函数、二次函数的解析式与性质、一元一次不等式（组）、利润公式、最值问题、自变量取值范围的确定。
答题技法
牢记利润问题核心公式：总利润＝(售价－进价)×销售量。先根据“每涨价x元，销量减少y件”等条件确定销售量与售价的函数关系，再代入利润公式得到二次函数，最后在自变量取值范围内利用顶点坐标求最值（注意顶点是否在范围内）。
母题精讲
【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：
①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶
②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱．
③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示：
④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ．
(1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式．
(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由．
(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．
【答案】(1)；
(2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大
(3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元
【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题；
（1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解．
【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱
∴，，
根据信息③可得与售价的乘积相等，设，
代入得，，
∴，，
（2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下，
依题意，，
∴
∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大；
（3）解：依题意，
当该矿泉水需求量与供给量相等时，
解得：（舍去）
当时，，
，解得：，

总利润为（元）
答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元
【典例02】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)
(2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键．
（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可．
【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是，
把代入得，
，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
当时，设与之间的函数关系式是，
则，
解得，
当时，与之间的函数关系式是．
；
（2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，
，
解得，
，
，
随的增大而减小．
当时，W最小，最小值为（元），
种非遗文创用品：（件）．
答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元
【典例03】（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数．
(1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
(2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事．
北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表：
日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为．
请你根据以上材料，回答以下问题：
①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．
②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？
③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？
【答案】(1)；或；
(2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键．
（1）根据反比例函数的性质即可解答；
（2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解；
②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解；
③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可．
【详解】（1）解：反比例函数 ，，
函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小，
当时，，
当时，y的取值范围是；
当时，，
当时，x的取值范围是或；
故答案为：；或；
（2）解：①设
将，代入，
得，
解得，
∴；
②设销售利润为，则
依题意得，，
∵，
∴在时，随着的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为元，
答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元．
③∵降雪量为毫米，
∴原售价为44元，
∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋，
∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋；
设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则
依题意得，，
解得，
答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价y（元）与月销量x（件）之间的函数表达式为，每件成本为20元，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润＝销售额成本广告费）．若只在线下销售，每件售价为150元，受各种不确定因素影响，每件成本为a元（a为常数，且），当月销量为x件时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元）（利润＝销售额成本附加费）．
(1)当件时，_____ ；_____；
(2)分别求出、与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围）；
(3)当x为何值时，的值最大？若的最大值与的最大值相同，求a的值；
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？
【答案】(1)140元，57500元
(2)，
(3)当时，取得最大值，
(4)见解析
【分析】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）将代入得，将代入解析式，即可求解；
（2）根据题中给出的线上和线下销售的利润构成关系，分别列出函数表达式即可；
（3）根据二次函数的最值求法求解即可；
（4）当时，（元），故当时，，然后进行比较即可．
【详解】（1）
解：将代入，
得（元），
，
故，
当时，（元）．
（2）解：根据题意，得，
，其中．
（3）解：根据题意，得
，
故当时，取得最大值，且为360000元，
由，得其最大值为
又的最大值与的最大值相同，
故，
整理得，
故或，
解得或，
又，
则舍去，
故．
（4）解：根据题意，得
，
故当时，
（元），
故当时，，
当时，则，
解得，
当时，则，
解得，
当时，则，
解得，
又，
故当时，在线下和线上销售都一样；
当时，选择线下销售获利更多；
当时，选择线上销售获利更多．
【变式02】（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人．
材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆．
材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折．
材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆．
任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
任务二：求m的取值范围；
任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人
任务二：m的取值范围是，且m为整数
任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元
【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键．
任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答；
任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答；
任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可．
【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y．
根据题意得
解得
答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人
任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，
则即
解得
因为租车公司最多提供6辆A型客车，
所以m的取值范围是，且m为整数；
任务三：根据题意得
即
函数图像开口向下，关于对称，
因为
所以当时取最小值
答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元．
【变式03】（2024·湖北·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
【素材1】某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
【素材2】据调查，该商品的网上销售价为 60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出件．
【素材3】该公司在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件．
问题解决：
【任务1】确定函数模型：
求网上每天销售该商品的毛利润y（单位：元）关于x的函数关系式；
求该公司每天销售该商品的总毛利润W（单位：元）关于x的函数关系式．（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）
【任务2】探究函数最值：当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？最大总毛利润是多少？
【任务3】拟定价格方案：经综合分析，该公司认为总毛利润在元时，是每天销售这种商品的最佳方案．请求出该商品在网上销售的价格，并指出相应的总毛利润．
【答案】任务1：①；②；任务2：当该小商品的网上销售价是每件元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是元；任务3：当符合均可，例如网上销售价为元，总毛利润为元
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键．
任务1：①根据毛利润单件利润销售量，计算即可得解；②根据总毛利润网上毛利润实体店毛利润，计算即可得解；
任务2：根据二次函数的性质求解即可；
任务3：由题意可得：，求出，由此即可得解．
【详解】任务1：解：①由题意可得：；
②由题意可得：；
任务2：，
∵，
∴当时，最大为元，
∴（元），
故当该小商品的网上销售价是每件元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是元；
任务3：由题意可得：，
∴，
∴当符合均可，例如网上销售价为元，总毛利润为元．
技法02 函数方案问题
知识必备
一次函数解析式与性质、一元一次不等式（组）、整数解的实际意义、方案设计、最优化选择。
答题技法
第一步设未知数并表示相关量；第二步根据“总费用不超过…”等限制条件列出不等式组，求出整数解得到方案数；第三步列出总利润（或总费用）与变量的函数关系式；第四步利用一次函数的增减性确定最大值（或最小值）对应的方案。
母题精讲
【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？
(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？
【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元
(2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键．
（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，
可得，解得：，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元．
（2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个，
根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为，
所以购买费用为：，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，最少费用2712元．
∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元．
【典例02】（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，
试销情况如下：
(1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）;
(2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？
【答案】(1)
(2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可．
【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为．
把代入，得．
关于的函数表达式为．
（2）试销6天共销售苹果千克
苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克，
销售10天后，还剩下苹果（千克）．
由，得．
把代入中得，
，随的增大而减小，
当时，，
新的售价最高可以定为6元/千克，
答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完．
【典例03】（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现：
发现：候车总人数（人）；
发现：已检票人数（人）；
发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数．
（其中，且为整数）
请你结合调配团队的发现，完成下面问题：
(1)当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ；
(2)在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？
(3)若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？
【答案】(1)；
(2)排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是；
(3)至少应打开条检票通道．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意即可求解；
（）由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为，然后通过二次函数的性质即可求解；
（）根据题意可得，，因为要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，所以当，即，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）解：由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：，
∴，
∵，
∴当时，排队人数达到最大值，最大值是，
∴排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是；
（3）解：根据题意可得，，
∵要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，
∴当，即，
整理得：，
解得：，
∵为正整数，
∴，
∴至少应打开条检票通道．
变式应用
【变式01】（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．
活动一：所购商品均按原价八折出售；
活动二：所购商品按原价每满200元减50元．
(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．
(2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．
【答案】(1)256，270
(2)活动一：；活动二：
当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱．
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额．
（2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱．
【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元），
，
则选择活动二时需付（元），
故答案为：256，270；
（2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为，
活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为，
当时，得，解得500，
当时，得，解得500，
当时，得，解得500，
∴当时，选择活动一更省钱；
当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；
当时，选择活动二更省钱．
【变式02】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系．
(1)求与的函数关系式；
(2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
(3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字）
【答案】(1)
(2)用桶装纯净水花钱少
(3)元，感想见解析
【分析】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力．
（1）设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式．
（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得．
（3）设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解．
【详解】（1）解：设，
时，；时，．
解之，得
与的函数关系式为．
（2）解：该班学生买饮料每年总费用为元，
当时，，得．
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元．
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）解：设该班每年购买纯净水的费用为元，则
，
当时，，
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则，
即，
解之，得元．
所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
【变式03】（2025·广东深圳·三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
【答案】问题1：；问题2：；W的最大值为208；问题3：当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同
【分析】本题主要考查了不等式的应用，求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数解析式．
问题1：根据信息一写出y关于x的函数解析式即可；
问题2：根据日租借率最高不超过，求出，列出函数解析式，然后根据二次函数性质进行求解即可；
问题3：分别求出当时，，当时，，当时，，然后进行回答即可．
【详解】解：问题1：调配这些滑板车的总成本为：；
问题2：∵日租借率最高不超过，
∴，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为：
；
问题3：当时，，
当时，，
调配数量不能超过20辆，
∴这种情况不存在；
当时，，
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同．
技法03 一次函数行程问题
知识必备
一次函数图象与性质、待定系数法、行程问题中的路程＝速度×时间、相遇与追及问题、分段函数。
答题技法
遵循“识图→析图→用图”三步。先明确横纵轴意义（如距离与时间），注意图象的起点、终点、拐点含义；再根据图象上的点用待定系数法求解析式；最后将行程问题中的等量关系（相遇：路程和＝总距离；追及：路程差＝初始距离）转化为方程求解。
母题精讲
【典例01】（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象．
(1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式；
(2)求途中甲乙相遇时的时间；
(3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______．
【答案】(1)甲的行驶路程与时间的函数表达式为：；乙的行驶路程与时间的函数表达式为
(2)分
(3)1850，
【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的实际应用，根据图象得出未知的条件是解题的关键．
（1）根据图1得出甲行驶的时间和路程，计算出甲行驶的速度，即可得到甲的行驶路程与时间的函数表达式，再分别求得乙行驶两段的时间和路程，计算两段路程的速度，即可得到乙的行驶路程与时间的函数表达式；
（2）根据图1得出当甲、乙行驶的路程一样的时候是甲乙两人相遇的时候，即与相交时，求得交点的坐标即为甲乙相遇时的时间；
（3）先根据图2得出a，b两点表示的意义，再结合图1对应的最远距离和相遇时间求解即可．
【详解】（1）解：由题意，∵乙比甲晚4分钟到校，再结合乙所用时间24分钟，
∴甲所用时间为20分钟，
∴甲的速度（米／分），
∴甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，
由图1知，乙的行程分成、两段，
当时，乙的速度（米／分），
∴此时表达式为，
当时，乙的速度（米／分），
∴此时可设表达式为：，
将点代入表达式，即，
∴乙的行驶路程与时间的函数表达式为，
故：甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，乙的行驶路程与时间的函数表达式为；
（2）解：由题意，设甲行驶了分钟后与乙相遇，
∴，
∴（分）；
（3）解：根据图2得，5分钟时两人相距最大，当时，两人相遇，
∴当时，根据乙的行程减去甲的行程可以得；
∵当甲到达图1中时，两人相遇，
∴，
故答案为：1850，．
变式应用
【变式01】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：
①图中_______，_______；
②甲出发离A地的距离是______；
③乙骑行的速度为______．
(2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围；
(3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值；
②根据“路程＝速度×时间”计算即可；
③根据“路程＝速度×时间”计算即可；
（2）分段用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可．
【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地，
；
∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为，
∴．
故答案为：40，5．
②甲骑行的速度为，
甲出发离A地的距离是，
故答案为：7.5；
③乙骑行的速度为，
故答案为：0.2；
（2）解：当时，设函数解析式为，
将代入得：，求得，
当时，函数解析式为；
当时，函数解析式为；
当时，设函数解析式为，
将代入得：
，解得，
当时，
综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为；
（3）解：设乙的解析式为，把代入，得，
解得，
∴，
乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为．
根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示：
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得（舍去）或（舍去）；
综上，或70．
∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或．
【变式02】（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
(1)点的坐标是______；
(2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；
(3)直接写出为何值时，两人相距米．
【答案】(1)
(2)，图象见解答
(3)分钟或分钟或分钟
【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可；
（2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可；
（3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可．
本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟，
妈妈到家所用时间为分钟，
妈妈在家停留的时间为分钟，
分钟，
点的坐标为，
米，
点的纵坐标为．
点的横坐标是．
故答案为：．
（2）解：，
米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为．
当时，，
当时，，
当时，，
与的函数关系式为，
在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示：
（3）解：当时，两人相距米时，得，
解得或，
当时，两人相距米时，得，
解得舍去或舍去，
当时，两人相距米时，得，
解得．
答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键．
技法04 一次函数其他应用问题
知识必备
一次函数解析式、分段函数、待定系数法、方程（组）与不等式（组）、方案比较。
答题技法
对于分段函数，关键找准分界点对应的函数值。方案比较问题，先列出两种方案的函数解析式，再通过解方程求临界值，最后结合图象或不等式确定不同范围内的最优选择。
母题精讲
【典例01】（2026·陕西·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．
数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到下表：
(1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数关系式；
(2)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米）
【答案】(1)
(2)下午点
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键．
（）用待定系数法求解即可；
（）把代入（）中所求解析式，求出x值即可求解．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式，
由，得，
解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴，
则，
∴下午点．
变式应用
【变式01】（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度(千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？
【答案】(1)
(2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施．
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．
（1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可；
（2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入y关于x的函数解析式，
得，
解得，
关于x的函数解析式为；
（2）解：①当时，得，
解得，
答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆；
②当时，得，
解得，
（分钟），
答：最晚10分钟需启动限流措施．
【变式02】（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象；
(1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？
【答案】(1)与之间的函数表达式为
(2)作图见解析，与之间的函数表达式为
(3)当为或时，号杯和号杯中水的体积相差
【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数图像绘制以及一元一次方程的应用，掌握一次函数的性质与方程分类讨论思想是解题的关键．
（1）通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出与的函数表达式；
（2）根据表格数据判断与的函数类型，代入数据求出表达式并绘制图像；
（3）分“”和“”两种情况，列方程求解满足体积差为时的值．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且），
将和分别代入，
得，
得，
解得：，
把代入①得，
解得：，
二元一次方程组的解为，
与h之间的函数表达式为；
（2）解：描点并连线如图所示：
与之间的函数表达式为；
（3）解：根据题意：，
①当时，
，，
②当时，，，，
答：当为或时，号杯和号杯中水的体积相差．
技法05 二次函数图形问题
知识必备
几何图形周长、面积公式、二次函数的解析式与最值、自变量取值范围的确定、数形结合思想。
答题技法
先用变量表示相关边长（注意利用围墙等条件简化表达式），再列出面积与变量的二次函数关系式，化为顶点式，结合自变量取值范围（通常由几何边长非负确定）求最值。
母题精讲
【典例01】（2024·湖北·模拟预测）问题探究：
（1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________；
（2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大．
问题解决：
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？
【答案】（1）（2）（3）绿化改造所需费用至少为
【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．
（1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；
（2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题；
（3）由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵
∴，
∴和的相似比是，
∴与的高之比等于相似比是．
故答案为：．
（2）作于N，交于M，
∵，
∴，
∴，
∵的面积，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的面积，
∴当时，矩形的面积最大；
（3）延长交于E，作于F，交于点G，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形的面积
当矩形的面积最大时，费用最小，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
矩形的面积，
∴当时，矩形的面积最大，最大值为，则花卉的面积最小值为，
所以，绿化改造所需费用至少为元
变式应用
【变式01】（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹；
第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；
(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长．
【答案】(1)
(2)的长为4米，的长为2米
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图②，
所在直线是的垂直平分线，且，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
点在抛物线上，
解得：
抛物线的函数表达式为；
（2）解：点在抛物线上，
设点的坐标为，
，交轴于点，
，
，
在中，，
，
.，根据题意，得，
，
解得：(不符合题意，舍去)，
，
答：的长为4米，的长为2米．
【变式02】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为．
(1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________；
(2)求菜园面积的最大值，并求此时的长；
(3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)菜园面积的最大值为，此时的长为
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
（1）设，则，根据可得解析式，根据可得的取值范围；
（2）将（1）中解析式化为顶点式，结合的取值范围求最值；
（3）设，则，用含a的式子表示出矩形和矩形的面积，再根据，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意知，，且，
解得，
，
故答案为：，；
（2）解：，
对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
，
当时，取最大值，最大值为：，
此时，
即菜园面积的最大值为，此时的长为；
（3）解：设，则，
矩形的面积为，矩形的面积为，
，
，
由题意得：，
即，
化简得，
解得，
乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍，
，
解得，
的取值范围为．
技法06 二次函数实物建模问题
知识必备
二次函数的图象与性质、待定系数法、点的坐标、实际问题的数学建模。
答题技法
根据题意合理建立平面直角坐标系（常以顶点为原点或对称轴为y轴），设出合适的解析式形式（顶点式或一般式），代入已知点坐标求待定系数。注意检查实际意义（如高度为正、宽度为正）。
母题精讲
【典例01】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3）
【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可，
（2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可；
（3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为，
可设抛物线的函数表达式为，
把代入，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
选图3，则，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：选择图2，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
选择图3，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
（3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得：，，
把代入，得：，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得，
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则，
设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得，，
把代入，得，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得；
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与探究
【问题情境】
甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间近似满足函数关系．
【问题解决】
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表：
根据以上数据，回答下列问题：
①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________；
②在水平距离5处放置一个高1.55的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网；
【综合应用】
（2）根据表格数据，求出二次函数的解析式；
（3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②能（2）（3），理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．
（1）①利用二次函数的对称性求出其对称轴，即可解题；
②根据图象和二次函数性质推出，再结合题干条件分析，即可解题；
（2）由（1）得到的顶点，再选择表格中的一组数据代入解析式求解，即可解题；
（3）当时，分别代入（2）、（3）中的解析式中求出和，再进行比较，即可解题．
【详解】解：（1）①由表格可知，当和时，，
二次函数对称轴为直线，
当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是，
故答案为：；
②当时，，当时，，
当时，，
，
羽毛球能过网；
故答案为：能；
（2）解：当时，，
，
，
过点，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（3）解：当时，有，
解得，
乙同学在函数对称轴右侧，
；
当时，有，
解得，
乙同学在函数对称轴右侧，
；
，
．
【变式02】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务：
【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究．
【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型．
【项目任务】
如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题：
任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象；
任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值；
任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围．
【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可．
（2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解．
（3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解．
【详解】解：任务一：
当时，，
令，
解得（舍去），，
∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示；
任务二：
令，
则，
即v随t的增大而增大，
∴当时，；
任务三：
∵，
∵，
当最大高度为米时，有，
解得（不合题意，舍去）或；
当最大高度为米时，有，
解得：（不合题意，舍去）或；
故水流速度的取值范围为．
技法07 二次函数的其它应用问题
知识必备
二次函数的图象与性质、一元二次方程与不等式、实际问题建模、数形结合思想。
答题技法
审题时抽象出变量间的等量关系，建立二次函数模型。若涉及“利润不低于某值”等问题，需解一元二次不等式或利用函数图象求解。注意检查解的合理性。
母题精讲
【典例01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围；
(2)当汽车刹车后行驶了时，求的值；
(3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由．
【答案】(1)
(2)当汽车刹车后行驶了时，
(3)该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；
（2）求出时，t的值即可得到答案；
（3）利用二次函数的性质求出s的最大值即可得到结论．
【详解】（1）解：设，
则，
解得，
∴．
（2）解：由题意可得，，
解得，
∵，
∴，
∴．
答：当汽车刹车后行驶了时，．
（3）解：该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由如下：
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车．
变式应用
【变式01】阅读下列材料：
实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．
小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）．
下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（）的变化情况．
下面是小带的探究过程，请补充完整：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；
(2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；
(3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，；当时，
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握函数图象的画法及待定系数法求函数解析式的能力．
（1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得；
（2）由图象知左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得；
（3）求出反比例函数中时x的值，据此可判断．
【详解】（1）解：图象如图所示，
（2）解：根据题意得：当时，y与x成二次函数关系；当时，y与x成反比例函数关系，
当时，此时二次函数的图象的对称轴为直线，
∴二次函数的图象的顶点坐标为，
设y与x的函数关系式为，
把点代入得：，
解得：，
此时的函数解析式为；
当时，设y与x的函数关系式为，
将点代入，得：，
∴此时的函数解析式为；
（3）解：不能．理由如下：
把代入反比例函数得．
∵晚上经过小时为第二天早上，
∴第二天早上以后才可以驾车上路，
∴第二天早上不能驾车去上班．
【变式02】（2025九年级下·广东佛山·学业考试）综合与实践
【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
(3)杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．
【答案】(1)
(2)第一层杯子的个数为7个
(3)杯子最多能叠放9层和此时杯子的总数为45个；杯子叠放达到的最大高度是
【分析】（1）将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式；
（2）将代入（1）中的解析，即可求解；
（3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子9个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，；
（2）解：当时，，
解得：（舍去），
答：第一层杯子的个数为7个；
（3）解：∵，
解得：；
∵第一层摆放杯子的总长度不超过，
设第一层杯子的个数为个，则，
解得：取最大值为9，
即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9，
∴杯子的总数为（个），
在图4中，，
∵，
，
，
在中，，
，
，
∴最大高度为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
技法08 与反比例函数有关的跨学科问题
知识必备
反比例函数的图象与性质、跨学科公式（物理、化学）、待定系数法、实际意义检验。
答题技法
理解跨学科背景中的公式（如压强P＝F/S、欧姆定律I＝U/R），将其转化为反比例函数关系。根据已知条件代入求k值，再解决相关问题。注意单位统一。
母题精讲
【典例01】（2025·宁夏·模拟预测）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体．
(1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N．
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则：
①关于的函数解析式是____________．
②完成下表：
_______；______．
③在图的直角坐标系中画出该函数的图象．
【答案】(1)
(2)
①；
②，；
③见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．
()根据公式进行计算即可；
()①根据公式即可得到；
②根据①所求求出的值即可；
③先描点，再连线，画出函数图象即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴重物所受拉力为，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，即，
故答案：，
②由①得：当时，；
当时，，
答案：，．
③函数图象如图所示：
变式应用
【变式01】（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题．
(1)该容器内氧气的质量为______．
(2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式．
(3)若该容器的体积为，求氧气的密度．
【答案】(1)8
(2)
(3)氧气的密度为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）根据代入，可求m；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入（2）中解析式可求结果．
【详解】（1）解：，
故答案为：8；
（2）根据题意，设所求的函数解析式为，
由图可知，该函数过点，
．
所求函数的解析式为．
（3）
该容器的体积V为，．
答：氧气的密度为．
【变式02】（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．
（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值．
（2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积．
【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
将代入，得，
地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
（2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，，
答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米．
【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理
素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．
素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．
(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数表达式；
(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式．
（1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值；
（2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可；
（3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解．
【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式，
设，
将，代入解析式，得：，
解得，
，
当时，，
此时，
即总电阻的值为；
（2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为，
由（1）知时，，
，
关于总电阻的函数表达式为；
（3）解：，
，
随的增大而减小，
，
当时，取最小值，最小值为：，
此时取最小值，最小值为：，
，
随x的增大而减小，
取最小值2时，x取最大值，
令，解得，
即该电子秤所称物品质量的最大值为．
技法09 反比例函数与其它函数的实际应用
知识必备
反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、方程组求交点、实际问题的数学建模。
答题技法
先根据题意判断是反比例关系（积为定值）还是一次关系（差为定值）。用待定系数法分别求出解析式，联立方程组求交点坐标，理解交点在实际问题中的含义（如两人完成任务时间相等时）。
母题精讲
【典例01】（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.
(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；
(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？
【答案】(1)，
(2)有效制冷时间是9分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可；
（2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解．
【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为，
由图象可知，点在函数图象上，
，
解得，，
当时的反比例函数关系式为．
当时，，
解得，；
（2）解：当时，，
解得：，
设当时的一次函数关系式为，
由图象可知，点，点在函数图象上，
则，
解得：
当时的一次函数关系式为，
当时，，
解得，，
（分钟）．
答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟．
变式应用
【变式01】（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表：
(1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由．
(2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式．
(3)该小组查阅资料发现：
热身运动合适的心率范围是最大心率的；
减脂运动合适的心率范围是最大心率的；
有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的；
无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过．
根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可；
（2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果；
（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可．
【详解】（1）解：由表格数据可知：
当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数；
当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数；
当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）．
（2）解：设，
分别把，代入，得，，
解得：，
．
（3）解：．
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律．
方案设计如下：
连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动；
连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动．
从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键．
【变式02】（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．
抽象建模
如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分．
数据与定义
已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离．
问题解决
(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）；
(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）；
(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．
【答案】(1)②
(2)小
(3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分
【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解；
（2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小，
（3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解．
【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征，
∴降速部分是反比例函数图像的一部分，
故答案为：②．
（2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小，
故答案为：小．
（3）解：∵在上，
代入得，，
∴
∵“曲度相等”
∴
∵二次函数经过，，
∴
解得：
∴
当代入得，，
∴
当代入得，，
∴
∴
∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分．
【变式02】（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
(1)求材料加热到的时间．
(2)求材料自然降温时，关于的函数表达式．
(3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
【答案】(1)20分钟
(2)
(3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，计算见解析
【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解；
（）利用待定系数法即可求解；
（）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
∴可设解析式为，
将点，代入，得
，解得，
∴关于的函数解析式为，
当时，，解得，
∴第一次加热到时间为分钟；
（2）解：由题意可设加热后关于的表达式为，
将代入，得，
∴关于的表达式为；
（3）解：由题意可知，加热时长为分钟．
恒温阶段（分钟），
费用为：（元），
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟），
费用为：（元），
∵，
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
巩固提升
1．（2025·河南许昌·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的阻值为
B．当托盘上货物的质量为时，
C．在一定范围内，随的增大而减小
D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D．
【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确；
当托盘上货物的质量为时，令，，
观察图象可知当时，在和之间，
故选项B说法错误，符合题意；
在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确；
当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即，
解得：，
即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确；
故选：B．
2．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
【答案】(1)
(2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元，
∴
根据题意得：；
（2）解：设可获得利润为元．
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为2250，
答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元；
（3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．
∴该函数图象的对称轴为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，W取得最大值，
∴，
∴（不合题意舍去），
∴．
3．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)的值为______；甲车的速度为______千米时；
(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式．
【答案】(1)，；
(2)乙车减速前的速度为千米小时，．
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可；
（）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式．
【详解】（1）解：（小时），
∴，
甲车的速度为（千米小时），
故答案为：，；
（2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，
根据图象，得，
解得，
∴乙车减速前的速度为千米小时，
（千米），
∴，
∴，
乙车减速后的速度为（千米小时），
则，
∴线段所表示的与的函数关系式为．
4．（2025·辽宁沈阳·二模）某科技公司在专用测试场地的一段直路上对Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人进行测试，下表是此次测试的相关信息：
请结合上述测试相关信息，解决下列问题：
(1)求点的坐标，并解释点的实际意义；
(2)Ⅱ型机器人到达点比Ⅰ型机器人到达点少用时分钟，求，两个记录点间的距离；
(3)在Ⅱ型机器人到达点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围．
【答案】(1)；点的实际意义为当两款机器人出发分钟后，在离地米的位置相遇
(2)米
(3)
【分析】（1）通过分析图象得到Ⅰ型、Ⅱ型机器人离点距离与运动时间的函数表达式，联立方程求解交点的坐标，再结合实际运动解释其意义．
（2）设Ⅱ型机器人到达点时间，根据Ⅰ型、Ⅱ型机器人运动路程与、间距关系列方程，求出时间后计算、间距．
（3）根据“相距不超过米”建立不等式，结合Ⅱ型机器人到达点前的时间范围求解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，包括函数表达式的运用、方程与不等式的求解 ．熟练掌握一次函数的性质，以及利用函数关系解决行程问题中的数量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，．
联立
解得
∴．
∴点的实际意义为当两歙机器人出发分钟后，在离地米的位置相遇．
（2）解：设Ⅱ型机器人到达B点运动时间为分钟，根据题意得:
，解得，
∴（米），
∴，两个记录点间的距离为米．
（3）解：根据题意得，解得，
∴．
∴Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围为．
5．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台．
(1)求投放塑料的奖励积分；
(2)求的值；
(3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明．
【答案】(1)；
(2)；
(3)能，理由见解析．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系．
用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可；
根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知；
因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
当时，，
当时，，
，
解得：，
与的函数关系式为，
当时，，
答：投放塑料的奖励积分分；
（2）解：由图可知投放纸张奖励积分分，
投放纸张超过后，奖励积分为分，
，
；
（3）解：当时，
投放的塑料的积分为分，
投放的纸张的积分为分，
，
不符合题意；
当时，
投放的塑料的积分为分，
投放的纸张的积分为分，
塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，
，
解得：，
此时，分，
，
不能兑换扫地机器人；
当时，
投放的塑料的积分为分，
投放的纸张的积分为分，
塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，
，
解得：，
此时，分，
，
能兑换智能扫地机器人．
6．（25-26九年级上·山西太原·期末）综合与实践
问题情境：
某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线：
测量数据：
篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为．
数学建模：
如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点．
（1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：
已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变；
（2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长；
（3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可直接得出二次函数的顶点为，出手点为，再用待定系数法即可求出解析式；
（2）设新抛物线的表达式为，再把点代入得到新抛物线的表达式为，令，解方程即可；
（3）根据题意设新抛物线为，把篮筐坐标代入即可得到新抛物线的表达式，令，再解方程即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，最高点，设抛物线表达式为，
又出手点距地面，即出手点坐标为，
，解得，
即抛物线表达式为，
所以顶点，抛物线表达式为；
（2）由题意可知，设新抛物线的表达式为，
又过点，
，解得，
即新抛物线的表达式为，
令，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，水平距离的长为；
（3）由（2）知起跳后的抛物线的表达式为
则可设运球后起跳投篮的新抛物线为，
篮筐在距点O水平距离，垂直高度处，
即新抛物线过，
代入得：，
整理得：，
解得或（舍去），
即新抛物线的表达式为，
令，，
整理得，
解得或（舍去），
该球员向篮筐方向沿直线运球．
7．（2025·湖北·一模）某农庄计划在亩空地上全部种植蔬菜和水果，种植蔬菜面积大于种植水果面积，且均为正整数，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系为；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系为．
(1)若小张种植蔬菜为亩，用含的代数式表示下列各量：
①小李种植水果的面积为 亩；
②小张种植蔬菜所得的总工资为 元；
③小李种植水果所得的报酬为 元；
(2)若农庄支付小张和小李的总费用为元，求小张与小李种植的面积各为多少亩？
(3)直接写出农庄支付给小张和小李的总费用的最大值．
【答案】(1)，，；
(2)小张种植的面积为18亩，小李种植的面积为12亩；
(3)当时，农庄支付给小张和小李的总费用的最大，最大值为4348元．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数关系式．
（1）根据题意列式即可得到结论；
（2）根据小张和小李的总费用为元列方程，解方程即可得到结论；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：①小李种植水果的面积为亩；
②小张种植蔬菜所得的总工资为元；
③小李种植水果所得的报酬为元；
故答案为：，，；
（2）解：根据题意得，，
解得，，
∵种植蔬菜面积大于种植水果面积，即，即，
∴不符合题意，舍去；
小张种植蔬菜面积为18亩，小李种植的水果面积为亩；
答：小张种植蔬菜面积为18亩，小李种植的水果面积为12亩；
（3）解：设农庄支付给小张和小李的总费用为w元，
根据题意得，，
∵，且均为整数，
∴当时，农庄支付给小张和小李的总费用的最大，最大值为元．
8．（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：．
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口．
任务二数学计算
（1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________；
（2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________．
【答案】（1），；（2）汽车可以连续通过第二个绿灯；（3）
【分析】本题主要考查了函数关系式、二次函数的实际应用等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题意结合图2很容易得解；
（2）分别在加速阶段和减速阶段计算s，进而得到时间，分析求解即可；
（3）由题易知在加速阶段，进而代入即可得解，在减速阶段，进而代入求解．
【详解】解：（1）当时，，
∴汽车在加速行驶过程中的加速度为；
由题可知在减速行驶过程中的加速度为；
故答案为：，；
（2）∵匀速行驶的最大时间为秒，
由，
∴汽车可以连续通过第二个绿灯；
（3）在加速阶段，，则，
∴，
在减速阶段，，则，
∴，
在加速阶段，当时，，
在减速阶段，当时，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（2025·广东东莞·二模）综合与实践：生物生长规律的模型研究．
如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表：
【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为
（1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄．
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为
（2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式．
【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低．
（3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算．
【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天
【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式；
（3）依据题意，根据函数的性质解答即可．
本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）由题意，将，代入，
该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁．
（2）由题意，当，，
（3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律，
选择模型当时，
答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天．
10．（2025·广东佛山·二模）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
【问题解决】
(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
【答案】(1)
(2)①现有装置不能产生推力，详见解析；②当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力
【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程，
（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60，
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
冲刺突破
1．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为
【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键：
猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可；
检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可；
应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可．
【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示；
故答案为：一次，二次；
【检验】：设，把代入，得，
解得：，
∴，
验证：当时，，符合题意；
设，把点，代入，得，
解得，
∴，
验证：当时，，符合题意；
【应用】：∵，设，
由题意，得：，
∴，
∴当时，最大为；
故最大为．
2．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论；
（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．
【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________；
(2)当时，求关于的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为．
【答案】(1)90，3960
(2)
(3)当甲出发或时，两人之间的路程为
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程；
（2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可；
（3）分和两种情况，求出的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：，
设乙的速度为，由题意，得：，解得：，
故乙的速度为；
之间的路程为：；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知：点的纵坐标为，
∴，
当时，设，把，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）当时，令，解得：；
当时，，解得：；
综上：当甲出发或时，两人之间的路程为．
4．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）代入点，得到二元一次方程组求解即可；
（2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解；
（3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）解：由题意得，当时，，
∴，
∴击球点位置为，
将代入，
则，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
解得：，
故答案为：．
5．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中、的值： ， ；
(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
(3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
【答案】(1)；
(2)人
(3)身高为男生的臂展长度约为.
【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为，再乘以总人数即可；
（3）把代入即可得到答案.
【详解】（1）解：由表格信息可得：；
；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
6．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可；
（3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
7．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴；
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
8．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【答案】(1)，，
(2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
(3)
【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得．
【详解】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
9．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：

(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
(3)①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
(4)4
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把代入中得：，
解得，
∴；
②∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）解：当时，则，
∴，
∴，
∴，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
10．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；
（3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可；
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；
（3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：，
∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：，
∴把代入，得：，解得：；
故设该平台的高度为．
考向聚焦
技法01 解决营销问题：主要考查将销售中的数量关系抽象为函数模型的能力。常以求一次函数或二次函数解析式为基础，结合不等式求自变量取值范围，最终利用函数性质求最大利润。
技法02 函数方案问题：重点考查方案设计与择优的建模能力。常以“租车方案”“进货方案”等形式出现，要求根据限制条件列出函数关系式，通过不等式组确定可行方案，并从中选择最优解。
技法03 一次函数行程问题：考查从函数图象中获取信息解决行程问题的能力。常以两车（或两人）运动为背景，图象表示距离与时间的关系，要求求速度、相遇时间、相距距离等。
技法04 一次函数其他应用问题：涉及用其它等实际情景。常考查分段函数的理解与应用，要求根据图象写出解析式，比较函数值。
技法05 二次函数图形问题：考查利用二次函数解决几何图形中的面积最值问题。常见类型：用篱笆围矩形场地、在三角形或矩形内截取图形等，要求确定边长使面积最大。
技法06 二次函数实物建模问题：以抛物线形实物（如拱桥、喷泉、投篮轨迹）为背景，考查建立坐标系求二次函数解析式的能力。常要求计算高度、宽度或判断是否通过某点。
技法07 二次函数的其它应用问题：包括二次函数运动轨迹综合问题等。常与方程、不等式结合，考查综合应用能力。
技法08 与反比例函数有关的跨学科问题：常与物理（压强与受力面积、电流与电阻）、化学等学科知识结合，考查反比例函数模型的跨学科应用。
技法09 反比例函数与其它函数的实际应用：考查反比例函数与一次函数综合的实际问题。如工程问题（工作量一定，人数与时间关系）、行程问题（路程一定，速度与时间关系），常要求比较两种函数的差异或求交点意义。
考查形式
函数应用是中考数学的核心应用板块，考查呈现“建模+计算+解释”的完整流程。
一次函数应用（技法01-04）侧重方案设计与行程问题，强调从图象获取信息；
二次函数应用（技法05-07）侧重最值问题与实物建模，强调顶点坐标的实际意义；
反比例函数应用（技法08-09）常与其他学科或函数综合，强调积为定值的模型特征。
命题趋势上，注重真实情境创设，考查学生将实际问题转化为函数模型并解释结果的能力。
能力清单
数学建模能力：从实际问题中抽象出函数关系，建立数学模型。
运算求解能力：准确求函数解析式，解方程（组）与不等式（组），计算最值。
数形结合能力：从函数图象中读取信息，利用图象分析问题。
逻辑推理能力：分析自变量取值范围，分类讨论不同方案，检验解的合理性。
跨学科综合能力：将物理、化学等学科知识与函数模型结合。
实际意义解释能力：将数学结果还原为实际问题的答案，判断解的合理性。
售价（元/瓶）

降雪量(毫米）
销售单价（元）
47
45
44
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
售价（元/千克）
18
15
12
10
9
销售量（千克）
50
60
75
90
100
信息1
A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信息2
B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过
信息3
每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
问题1
在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围
问题2
在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
问题3
公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：
方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元．
方案二：一次性给予运维团队800元奖励．
请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
供水时间x（小时）
箭尺读数y（厘米）
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
1
2.75
4
4.75
5
n
4
刹车后行驶的时间
0
1
2
4
刹车后行驶的距离s
0
27
48
72
饮酒后的时间x（小时）
…



1


2
3
4
5
6
…
血液中酒精含量y（毫克/百毫升）
…

150

200

150



45

…
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…
…
10
20
30
40
50
…
…
8
a

2
b
…
地面所受压强
……
……
接触面积
……
……
地面材质
玻璃
木地板
大理石
能承受的最大压强（）
跳绳持续时间（单位：秒）
0
30
60
90
140
…
平均相对心率（%）
40
60
70
76
82
…
方案
恒温工作
间歇加热工作
过程
①从加热到；
②保持进行加工．
①从加热到；
②自然降温到；
③再次加热到；
循环②③两个阶段．
加热成本
加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本）
测试场地信息
这段测试直路上依次有，，三个记录点，，两点相距米．
测试运动过程
Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人分别从，两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地，后停止运动．
测试图象信息
如图，，分别表示Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人离点的距离（米）与运动时间（分）的函数关系图象．与相交于点．
x
0
5
10
15
20
25
y
实验组
风速v（）
旋转角速度ω（）
推力F（N）
1
5
4
24
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…
（秒）
0
…
（米）
0
4
6
…
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
166
169
169
171
172
173
173
173
174
174
臂展
161
162
164
166
164
165
167
169
169
170
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
175
176
177
177
178
179
180
180
181
183
臂展
169
167
173
172
173
170
177
174
176
185
平均数
中位数
众数
身高
175
m
173
臂展
170
169
点与点的距离
1
2
3
拉力的大小
300
200
150
120
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下表：
单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园
第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：