专题06图形的变化-2026年北京地区中考数学二轮专题复习试题（含答案）

这是一份专题06图形的变化-2026年北京地区中考数学二轮专题复习试题（含答案），共6页。
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
►考向聚焦 ►考查形式 ►能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
►知识必备/二级结论 ►母题精讲&答题技法 ►变式应用
技法01 三角形的平移问题 技法02 四边形的平移问题 技法03 圆的平移
技法04 三角形的折叠问题 技法05 四边形的折叠问题 技法06 圆的折叠问题
技法07 三角形的旋转问题 技法08 四边形的旋转问题 技法09 圆的旋转问题
技法10 位似与相似变换 技法11 网格中的变换作图
技法12 用图形的变化解决最短路径问题
技法13 解直角三角形的应用
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
技●法●清●单
技法01 三角形的平移问题
知识必备
平移的性质、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等三角形的性质、平行四边形的判定。
答题技法
坐标系中点的平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。平移前后的三角形全等，对应边平行且相等。利用平移构造平行四边形是常见辅助线思路。
母题精讲
【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式应用
【变式01】（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____．
【变式02】（2025·陕西延安·一模）如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______．
技法02 四边形的平移问题
知识必备
平移的性质、平行四边形的性质与判定、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等图形的性质。
答题技法
平移前后的四边形全等，对应边平行且相等。利用平移可构造平行四边形，解决线段相等或平行的问题。坐标系中点的平移规律同样适用。
母题精讲
【典例01】（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（ ）

A．B．C．D．
变式应用
【变式01】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【变式02】（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的与的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
技法03 圆的平移
知识必备
平移的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。
答题技法
圆的平移即圆心的平移，半径不变。平移后圆与直线（圆）的位置关系取决于圆心到直线（圆心距）与半径的比较。
母题精讲
【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1C．1或3D．3
变式应用
【变式01】（23-24九年级上·河北廊坊·月考）如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为．
(1)在图1中，劣弧的长为________；
(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．
①求x的值；
②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；
(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．
【变式02】（2023·河北石家庄·一模）如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．

(1)若的边经过点D，则平移的距离______；
(2)如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数；
(3)当的边与半圆E相切时，直接写出x的值．
技法04 三角形的折叠问题
知识必备
轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。
答题技法
折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上等）。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______．
变式应用
【变式01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________．
【变式02】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，、是边、上的点，且，将沿翻折至，与交于点．如果的面积是面积的，那么线段的长是______．
技法05 四边形的折叠问题
知识必备
轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。
答题技法
折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上等）。
母题精讲
【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式应用
【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示）
【变式02】（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________．
技法06 圆的折叠问题
知识必备
圆的轴对称性、垂径定理、勾股定理、切线的性质和判定、弧长的计算。
答题技法
圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴。折叠问题中，折痕若过圆心，则折叠前后弧完全重合。利用垂径定理可求弦长、半径等。
母题精讲
【典例01】（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式应用
【变式01】（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______．
【变式02】（2025·广东惠州·二模）综合探究：
(1)如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形．
(2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度．
(3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度．
技法07 三角形的旋转问题
知识必备
旋转的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、分类讨论思想。
答题技法
遇共顶点等线段（如等腰三角形顶点）常考虑旋转构造全等。旋转前后对应边相等、对应角相等。注意旋转中心的确定，以及旋转角与图中角的关系。
母题精讲
【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（ ）
A．B．C．D．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A．B．4C．D．6
【变式02】（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
技法08 四边形的旋转问题
知识必备
旋转的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定、手拉手模型。
答题技法
正方形绕中心旋转90°后与自身重合，是旋转问题的常见素材。遇共顶点等线段（如正方形顶点）常考虑旋转构造全等。旋转前后对应边相等，可利用此性质证明线段相等或垂直。
母题精讲
【典例01】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
变式应用
【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ______．
【变式02】（2025·天津·一模）已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M．
(1)如图①，求的大小及的长；
(2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设．
①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值；
②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．
技法09 圆的旋转问题
知识必备
圆的旋转对称性、圆心角、弧长公式、扇形面积公式。
答题技法
圆绕圆心旋转α角度，圆上各点绕圆心旋转相同角度。旋转前后弧长、弦长不变，圆心角变化。利用旋转角等于对应点与圆心连线夹角可求相关量。
母题精讲
【典例01】（23-24九年级下·浙江杭州·月考）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此．
【问题情境】如图1，，将绕点O顺时针旋转 成扇形，点C是延长线上一点，，过点C作射线，求弧的长．
【问题解决】如图2，将上题中的扇形绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线相切与点D，求的长．
【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点落在射线上，弧与射线交于另一点E，求的长．
变式应用
【变式01】（2023·四川广元·二模）平面上，与直径为的半圆O如图1摆放，，，，半圆O交边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且始终等于，旋转角记为

(1)当时，连接，则____________°，_____；
(2)试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
(3)若，，当半圆O旋转至与的边相切时，直接写出线段的长．
【变式02】（2025·湖南永州·模拟预测）如图1，在中，是的中点，以为圆心在的右侧作半径为3的半圆，分别交于点，交于点．
(1)求及的长；
(2)如图2，将线段连同半圆绕点旋转．
①在旋转过程中，求点到距离的最小值；
②若半圆与的直角边相切时，设切点为，连接，写出的长．
技法10 位似与相似变换
知识必备
位似的性质、相似三角形的判定与性质、比例线段、位似中心的确定。
答题技法
位似是特殊的相似，对应边平行或共线。利用位似比等于相似比建立比例式，结合已知条件列方程求解。注意位似中心可能在图形内部或外部。
母题精讲
【典例01】（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ）
A．B．4C．D．5
变式应用
【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（ ）
如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，
A．3B．4C．5D．6
【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______．
【变式03】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2，并写出点的坐标；
(3)仅利用无刻度直尺在线段上找一点P，使得．
技法11 网格中的变换作图
知识必备
网格作图的关键是找准关键点（三角形顶点）。平移时按向量移动各点；旋转时以旋转中心为圆心，将关键点沿指定方向旋转相同角度；位似时先确定位似中心，将关键点连线并延长至指定倍数。
答题技法
网格作图的关键是找准关键点（三角形顶点）。平移时按向量移动各点；旋转时以旋转中心为圆心，将关键点沿指定方向旋转相同角度；位似时先确定位似中心，将关键点连线并延长至指定倍数。
母题精讲
【典例01】（2024·安徽·模拟预测）点如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点(网格线的交点)
(1)画出线段关于直线对称的线段 (点A，B的对应点分别为，)；
(2)将线段先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到线段 (点A，B的对应点分别为，)，画出线段；
(3)描出线段上的点P，使得，此时的值为_______．
变式应用
【变式01】（2024·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，网格中每一个正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点均在格点上．
(1)画出向左平移3个单位，再向下平移2个单位的图形．
(2)画出绕点逆时针旋转的图形．
(3)在轴上找一点，使得的值最大，请求出点的坐标．
【变式02】（2026·安徽·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点，，是小正方形的顶点，点在线段上．
(1)将线段向上平移得到线段，使得线段经过点，在图中画出线段；
(2)在图中画出线段，使得与关于点中心对称，并在线段上找一点，使得．
技法12 用图形的变化解决最短路径问题
知识必备
轴对称变换、旋转变换、两点之间线段最短、三角形三边关系、勾股定理。
答题技法
确定动点所在直线（对称轴）和两个定点。作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，所得线段与直线的交点即为所求点，线段长即为最小值。
母题精讲
【典例01】（2023·河南南阳·二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；

思维转换
（2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；

拓展应用
（3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．

变式应用
【变式01】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接．
(1)连接是等边三角形吗？为什么？
(2)求证：；
(3)①当M点在何处时，的值最小；
②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由．
【变式02】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题．
问题提出
（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．
的度数是 ；
周长的最小值是 ．
问题探究
（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值．
问题解决
（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值．
技法13 解直角三角形的应用
知识必备
锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理、直角三角形的边角关系、解直角三角形的四种基本类型（已知两边、已知一边一角等）。
答题技法
解直角三角形的基本策略是“知二求三”（已知两边或一边一角）。熟记特殊角的三角函数值，在非直角三角形中通过作高构造直角三角形，利用等角转化或方程思想求解。
母题精讲
【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________．
变式应用
【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A．B．C．D．2
【变式02】（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．

【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）

【变式03】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
巩固提升
1．（2025·上海·一模）如图，将平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置，其中点、、分别落在点、、处，且点、、、在一直线上．如果点恰好是对角线的中点，那么的值______．
2．（2025·福建泉州·二模）在等腰中，，点O是的角平分线上的一点，半径为1的经过点B，将沿方向平移，当与的边相切时，平移的距离是___________．
3．（2026·全国·模拟预测）如图，将绕点A逆时针旋转得到，使点E恰好落在边的中点，且点D落在上．已知，则的值为_______．
4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹）______．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为______．
5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．

(1)当点N与点B重合，且时，如图1．
①求劣弧的长；
②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）；
(2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值；
(3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长；
(4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围．
6．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点．
【发现】所在圆的半径为_____；
【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式．
淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可．
嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求．
淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动．
嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____；
【拓展】
（1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长；
（2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值．
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）

(1)直接写出C、F两点的坐标．
(2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式．
(3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值．

8．（2025·陕西·一模）【问题提出】
（1）如图1，在中，，点A在外，连接，若，，点O是上的一个动点，连接、，当最小时，的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，，点D在边上，点F是延长线上一点，且，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形（即）的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点F处向点A铺设一条灯光地板．已知，，若在线段上找一点P修建游客休息亭，，当点B到点P的距离与的长度之和最小（即最小）时，求此时铺设灯光地板的长度．

9．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：
将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为．
请结合以上两材料求出的最小值

10．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且为上靠近点的三等分点，是上的动点．
(1)的最小值为______，的最大值为______；
(2)沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长度，求点在的区域内部（包括边界）的时长；
(3)过点作于点，且，沿直线向右平移半圆．
①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长；
②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留）
冲刺突破
1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．
2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________．
4．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限．
(1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________；
(2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为．
①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
5．（2025·山东东营·中考真题）

（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
6．（2025·吉林·一模）【驱动背景】
在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
【前情感知】
（1）如图1，连接，，的度数为 ；
【问题探究】
（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，．
①的度数为 ；猜想与的数量关系 ；
②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】
（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长．
7．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由．
9．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
10．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形．
（1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．
考向聚焦
技法01 三角形的平移问题：考查三角形沿指定方向平移后，对应点坐标变化、对应线段平行且相等等性质，常结合坐标系求平移后的点坐标或面积变化。
技法02 四边形的平移问题：考查平行四边形及特殊平行四边形沿指定方向平移后，对应点坐标变化、对应边平行且相等等性质，常结合面积计算或点的坐标求解。
技法03 圆的平移：圆沿某方向平移，考查圆心坐标变化、平移前后圆与直线或圆的位置关系。
技法04 三角形的折叠问题：以三角形为背景，通过折叠构造轴对称，考查对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线等性质，求线段长度、角度大小或点的位置。常作为填空压轴题出现。
技法05 四边形的折叠问题：考查矩形、菱形、正方形的轴对称性，常与折叠结合，或判断四边形是否为轴对称图形、中心对称图形。
技法06 圆的折叠问题：将圆或圆弧沿某直线折叠，考查折痕过圆心、折叠后弧重合等性质，常结合垂径定理求弦长或弧长。
技法07 三角形的旋转问题：旋转是中考命题的热点，常将旋转后得到的图形设计为直角三角形和等腰三角形，考查旋转前后图形的全等关系、对应点连线相等、旋转角相等等性质。
技法08 四边形的旋转问题：以正方形、菱形为中心对称图形为背景，考查旋转前后图形的全等关系，常与手拉手模型结合，证明线段相等或求角度。
技法09 圆的旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，常结合扇形、弧长、圆心角等考查旋转角度的计算。
技法10 位似与相似变换：考查位似图形的性质（位似比等于相似比，对应点连线交于位似中心），常结合相似三角形性质求边长或面积。
技法11 网格中的变换作图：在正方形网格中按要求完成三角形的平移、旋转、轴对称或位似作图，并写出相应点的坐标或变换后三角形的特征。
技法12 用图形的变化解决最短路径问题：利用轴对称将折线段和转化为两点间线段最短的问题，常以三角形一边为对称轴，求两定点到边上动点距离和的最小值。
技法13 解直角三角形的应用：考查锐角三角函数的定义、特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值及解直角三角形的基本方法。题型以选择题、填空题为主，常与勾股定理、等腰三角形性质结合，求三角形中的边长或角度。
考查形式
·基础层次：图形的平移、旋转、轴对称、位似的基本性质，以及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，以选择题、填空题为主。
·模型层次：折叠问题、旋转模型（手拉手）、一线三垂直模型、半角模型、倍长中线模型等，要求学生能在复杂图形中识别并应用模型快速解题。
·综合层次：与三角形、四边形、圆结合的动态探究题，以及解直角三角形的实际应用（仰俯角、坡度、方向角、跨学科问题），常作为解答题或压轴题出现。
能力清单
空间观念与几何直观：能想象图形运动前后的位置关系，识别常见变换模型（手拉手、一线三垂直、倍长中线等）。
模型识别与应用能力：在复杂图形中识别出基本几何模型，并运用模型结论快速解题。
逻辑推理能力：能根据变换性质进行严密的推理论证，尤其是在折叠、旋转问题中寻找不变量。
运算求解能力：准确进行线段长度、角度计算，运用勾股定理、方程思想、三角函数求解未知量。
数学建模能力：从实际问题中抽象出几何图形，选择恰当的三角函数关系建立数学模型。
分类讨论意识：在动点折叠、旋转中，根据点的不同落点位置进行分类讨论。
转化与化归思想：将复杂图形转化为基本图形，将非直角三角形转化为直角三角形求解。
跨学科综合能力：将物理、地理等学科知识与解直角三角形模型结合。