（广东专用）中考数学一轮复习分项汇编专题02 方程与不等式（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·广东佛山·统考一模）已知，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据作差法和不等式的性质逐项求解判断即可．
【详解】解：A、，
∵，∴，
当即时，，则，故A选项计算错误，不符合题意；
B、，
∵，∴，，
∴，则，故B选项正确，符合题意；
C、当时，和无意义，故C选项错误，不符合题意；
D、当时，同选项A不一定成立，故选项D错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质、分式的加减运算，解答的关键是利用作差法比较式子的大小关系．
2．（2023·广东中山·统考一模）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先解不等式，再在数轴上表示其解集．
【详解】解：，解不等式得到：，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示如图：，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，关键是要掌握解不等式，先将不等式的解集求出来，再在数轴上表示解集．
3．（2023·广东佛山·统考一模）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
【详解】．
故选B．
【点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（2023·广东东莞·统考一模）在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而用数轴表示出解集即可．
【详解】解：解不等式，得：，
不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
5．（2023·广东广州·统考一模）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
经验：当时，，
∴原方程的解为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
6．（2023·广东中山·统考一模）关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．9B．6C．D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
7．（2023·广东茂名·统考一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的根，，一元二次方程没有根，，一元二次方程有两个相等的根．
8．（2023·广东深圳·统考一模）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别计算的值，并判断结果与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：A．∵，
∴没有实数根，故选项不符合题意；
B．∵，
∴有两个相等实数根，故选项符合题意；
C．∵，
∴有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
D．∵，
∴有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，准确计算并作出判断是解题的关键．
9．（2023·广东肇庆·统考一模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】根据判别式的值确定根的情况即可．
【详解】解：，
∴有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
10．（2023·广东佛山·统考一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．9C．6D．
【答案】B
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立方程，再解方程即可．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故选B
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，解题的关键是掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（2023·广东茂名·统考一模）关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数根，可知根的判别式，即可求解的取值范围．
【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题目考查一元二次方程，难度不大，是中考的常考点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是顺利解题的关键．
12．（2023·广东深圳·统考一模）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上买菜，某买菜今年一月份新进册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设每月的平均增长率为x，根据题意列出方程200 (1+x)2=338求解即可．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，由题意，得
200 (1+x)2=338，
1+x=+1.3，
x=0.3或x=-2.3 (舍去) .
所以二、三两个月新注册用户每月平均增长率是0.3即30%，
故答案选：D．
【点睛】本题考查的是列一元二次方程解增长率的数学实际问题，关键清楚增长前为200元，两个月后为338元，从而求出解．
二、填空题
13．（2023·广东茂名·统考一模）不等式组的解集为_______．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集．
【详解】由得
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（2023·广东佛山·统考一模）一元二次方程的解是______．
【答案】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（2023·广东广州·统考一模）若x＝1是方程x2﹣3x+a＝0的解，则a的值为_________________ ．
【答案】a＝2
【分析】将x=1代入题目中的方程，即可求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：∵x=1是方程x2﹣3x+a＝0的解，
∴12-3×1+a=0，
解得，a=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值.
16．（2023·广东佛山·统考一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】2
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个实数根，则，是解本题的关键．
三、解答题
17．（2023·广东广州·统考一模）解不等式：
【答案】
【分析】先移项，然后合并同类项，再将未知数系数化为1即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
将系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，注意不等式两边同除以一个相同的负数，不等号方向要发生改变．
18．（2023·广东肇庆·统考一模）解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
19．（2023·广东茂名·统考一模）解不等式组：
【答案】
【分析】分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可．
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20．（2023·广东深圳·统考一模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
在数轴上表示不等式的解集为：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
21．（2023·广东佛山·统考一模）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
22．（2023·广东佛山·统考一模）解方程：．
【答案】无解
【分析】根据解分式方程的解法步骤求解即可．
【详解】解：去分母，得，
移项，合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，即原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤，注意计算结果要检验．
23．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱，乙持钱
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲带钱，乙持钱；
（2）分开买：（本）；
合起来买：（本），
即：（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键．
24．（2023·广东茂名·统考一模）学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
(1)一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元
(2)当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元
【分析】（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元列二元一次方程组解答；
（2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅套．根据A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍列不等式求出m的取值范围，设总费用为w元，列出函数关系式，根据函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元．
依题意，得
解得
答：一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元．
（2）解：设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅套．
依题意，得，解得，
设总费用为w元．
依题意，得，
∵，
∴w值随着m值的增大而减小．
∴当时，w有最小值，最小值为，
∴当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程、不等式及函数关系式是解题的关键．
25．（2023·广东深圳·统考一模）某电商在抖音平台上对红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
(1)为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
(2)售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【答案】(1)11元
(2)售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元
【分析】（1）设每千克售价应为x元，根据“如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克”列出方程，即可求解；
（2）设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意，列出函数的关系式，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每千克售价应为x元，根据题意得：
，
解得：，
∵商家想尽快销售完库存，
∴，
答：每千克售价应为11元；
（2）解：设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，W的值最大，最大值为720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数的解析式，利用二次函数的性质求最值．
26．（2023·广东佛山·统考一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套
(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？
(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶套
(2)售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大
【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据题意，列出方程，即可；
（2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，
∵，
∴，
∴，
解得：，
答：该超市定制了这款垃圾桶套．
（2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，
∴，
，
∵且，
∴当时，有最大值，
答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．
【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式．
27．（2023·广东深圳·统考一模）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．
(1)求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．
(2)该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
【答案】(1)该商场购进每台型护眼灯的成本价为26元，购进每台型护眼灯的成本价为35元
(2)20元
【分析】（1）设该商场购进每台型护眼灯的成本价为元，则购进每台型护眼灯的成本价为元，根据“用3120元和 4200元购进型和型护眼灯的数量相同”建立方程，解方程即可得；
（2）设每台型护眼灯升价元时，销售利润为元，则每台型护眼灯的售价为元，每天可以售出型护眼灯台，根据“利润（售价成本价）销售数量”建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设该商场购进每台型护眼灯的成本价为元，则购进每台型护眼灯的成本价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：该商场购进每台型护眼灯的成本价为26元，购进每台型护眼灯的成本价为35元．
（2）解：设每台型护眼灯升价元时，销售利润为元，则每台型护眼灯的售价为元，每天可以售出型护眼灯台，
由题意得：，
，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
28．（2023·广东佛山·统考一模）某物流公司承接、两种抗疫物资的运输业务，已知2月份货物运费单价为70元/吨，货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：货物50元/吨，货物30元/吨；该物流公司3月承接的种货物和种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．
(1)该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且货物的数量不大于货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？
【答案】(1)运输货物1000吨，运输货物1500吨
(2)143000元
【分析】（1）设该物流公司2月份运输货物吨，运输货物吨，根据“该物流公司2月份共收取运费130000元，3月份共收取运费95000元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该物流公司预计4月份运输货物吨，则运输货物吨，根据货物的数量不大于货物的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该物流公司4月份共收到元运费，根据总运费每吨的运费运输货物的重量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该物流公司2月份运输货物吨，运输货物吨，
依题意，得：，
解得：．
答：该物流公司2月份运输货物1000吨，运输货物1500吨．
（2）设该物流公司预计4月份运输货物吨，则运输货物吨，
依题意，得：，
解得：．
设该物流公司4月份共收到元运费，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：该物流公司4月份最多将收到143000元运费．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用一次函数的性质，解决最值问题．
29．（2023·广东东莞·统考一模）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
(1)求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
(2)经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯？
【答案】(1)购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元
(2)公司最多可购买20个该品牌的台灯
【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元，根据用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，即可列出不等式．
【详解】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元，
根据题意得
解得
经检验，是原方程的解
所以
答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得：
解得
答：公司最多可购买20个该品牌的台灯．
【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．