专题03 函数图象与性质以及探究9大解题技巧-2026年广东广州地区中考数学二轮专题复习试题（含答案）

这是一份专题03 函数图象与性质以及探究9大解题技巧-2026年广东广州地区中考数学二轮专题复习试题（含答案），共6页。

内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
►考向聚焦 ►考查形式 ►能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
►知识必备/二级结论 ►母题精讲&答题技法 ►变式应用
技法01函数图象和性质的综合应用 技法02函数字母参数的确定
技法03函数图象的综合判断 技法04 函数图象的平移问题
技法05 函数图象的对称（折叠）问题
技法06 函数图象的旋转问题 技法07 函数背景下的规律探究问题
技法08 函数背景下的整点问题 技法09函数背景下的几何问题
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
技●法●清●单
技法01 函数图象和性质的综合应用
知识必备
一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）、函数图象的交点问题。
答题技法
熟记各类函数图象特征（如抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点）是基础。解题时先根据解析式确定基本图象，再结合图象分析函数的增减区间和最值情况。对于综合题，要注意函数图象与方程、不等式的联系，利用图象法解不等式或求交点坐标。
母题精讲
【典例01】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（ ）
A．x大于0时y小于0B．图像不一定经过第四象限
C．图像是倾斜直线D．y的值随x的值增大而减小
变式应用
【变式01】（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标是B．的面积是4
C．随的增大而减小D．点在函数图象上
【变式03】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和．
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围．
母题精讲
【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点间的距离为3
D．当时，的值随值的增大而增大
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·湖北·期中）二次函数(a，b，c是常数，)的图象经过点，与y轴正半轴相交，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（）
A．
B．当时，
C．方程的两个根是
D．当时，
【变式02】（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
母题精讲
【典例01】（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ）
A．点在函数图象上B．函数图象位于第二、四象限
C．当时，D．函数值随的增大而增大
【变式02】（25-26九年级上·河南郑州·月考）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
技法02 函数字母参数的确定
知识必备
待定系数法、方程（组）的解法、不等式（组）的解法、函数图象上点的坐标特征、函数性质（对称轴、顶点）的代数表示。
答题技法
若已知函数经过的点，直接代入建立方程（组）求解；若已知图象特征（如对称轴、顶点位置），则利用顶点式或对称轴公式建立关系。对于含参函数，常需结合方程思想或不等式求解参数范围，注意分类讨论。母题精讲
【典例01】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
变式应用
【变式01】（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是_______．
【变式02】（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为______．
母题精讲
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是( )
A．或B．或
C．且D．或
变式应用
【变式01】（2025·四川广元·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为______．
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是____________
技法03 函数图象的综合判断
知识必备
动点问题、几何图形性质（三角形、四边形）、线段长度与面积的计算、分段函数、一次函数与二次函数的图象识别。
答题技法
先明确自变量和因变量，分析运动过程的分段情况（如点在不同线段上运动）。根据几何关系建立各段函数解析式，再结合解析式特征（一次函数、二次函数）判断图象形状，注意自变量的取值范围。
母题精讲
【典例01】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式应用
【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式03】（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
技法04 函数图象的平移问题
知识必备
函数图象的平移变换规律、二次函数的顶点式与一般式互化、点的坐标平移、待定系数法。
答题技法
牢记平移规律——“上加下减常数项，左加右减自变量”。将一般式化为顶点式后分析平移方向与距离更简便。注意平移不改变抛物线的开口形状和大小（即a不变），只改变顶点位置。
母题精讲
【典例01】（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解
阅读下列材料，并完成相应任务．
任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________：
任务二：请完成猜想2的证明；
任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长．
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值．
母题精讲
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
【变式02】（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围；
(3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离．
技法05 函数图象的对称（折叠）问题
知识必备
轴对称变换的性质、点的对称坐标变换、函数解析式的推导、折叠问题的几何背景。
答题技法
掌握对称变换下点的坐标变化规律：关于x轴对称（x不变，y变号），关于y轴对称（y不变，x变号），关于直线x=m对称（x→2m-x）。先设原函数上任一点，找出对称点坐标关系，代入原式推导新解析式。
母题精讲
【典例01】（2025·陕西·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
列表如下：
(1)填空：表中__________、__________；
(2)在图中描点并画出该函数的图象；
(3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，的值随的值增大而增大；
②当时，；
③该函数存在最小值，最小值为；
④该函数图象关于直线对称．
其中正确的是__________．（请写出所有正确命题的序号）
变式应用
【变式01】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、B．、C．、D．、
【典例02】（20-21九年级下·吉林·月考）（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D

①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
变式应用
【变式01】（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．或
技法06 函数图象的旋转问题
知识必备
旋转变换的性质、中心对称与坐标变换、二次函数的图象特征、点的旋转变换。
答题技法
旋转180°相当于中心对称变换。若绕原点旋转180°，点坐标变为(-x, -y)，代入原解析式可得新解析式。绕顶点旋转时，需结合顶点坐标进行变换。注意旋转不改变图象的形状，但可能改变开口方向（如抛物线旋转180°后开口方向相反）。
母题精讲
【典例01】（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
变式应用
【变式01】（2025·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后所得的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标；
(2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值．
【典例02】（（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为___________．
变式应用
【变式01】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
技法07 函数背景下的规律探究问题
知识必备
函数的概念与表示、列表法与图象法、从特殊到一般的数学思想、代数推理与验证、新定义函数的理解。答题技法
仔细阅读题意，理解新函数或新情景的规则。通过列表、描点、作图探索规律，结合已学基本函数的性质进行分析。注意从特殊到一般，猜想规律后尝试用代数方法验证。
母题精讲
【典例01】（2025·黑龙江牡丹江·二模）正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为___________．
【变式02】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是___________．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为______．
【变式01】（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式02】（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
技法08 函数背景下的整点问题
知识必备
整点的概念、一次函数图象上的整数点、反比例函数图象上的整数点、二次函数图象上的整数点、不等式组表示的区域、数形结合思想。
答题技法
结合函数图象进行分析。对于一次函数，常通过分析直线上的整数解得到；对于反比例函数，利用k的因数分解找整数对(x,y)；对于二次函数，代入整数x验证y是否为整数。区域整点问题需结合不等式组和图象边界分析，注意是否包含边界。
母题精讲
【典例01】（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______；
(2)当时，求抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
变式应用
【变式01】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线与轴，轴交于点，点，直线与轴，轴交于点，点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)点在直线上．
①直接写出直线的解析式；
②若点在内部（含边界），求的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有4个整点，直接写出的值．
【变式02】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值；
(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
【变式03】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．

(1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围；
(4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值
技法09 函数背景下的几何问题
知识必备
几何图形性质（三角形相似与全等、勾股定理、平行四边形判定、圆的性质）、函数图象上点的坐标特征、方程（组）与不等式、分类讨论思想。
答题技法
设出动点坐标（常用参数表示），利用几何性质（勾股定理、相似、全等、锐角三角函数等）建立方程或函数关系。注意多情况讨论（如等腰三角形需分腰相等的情况），利用数形结合思想简化运算，做到“多思少算”。
母题精讲
【典例01】（2025·青海西宁·一模）如图，直线 与轴、轴分别交于，两点， ．
(1)求点坐标和的值；
(2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式；
(3)探索：
①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由；
②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接．
①当为直角三角形时，求抛物线的解析式；
②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围．
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【变式03】（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【变式04】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例03】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
【变式01】（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
巩固提升
1．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；
②方程没有实数根；
③；
④．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______．
5．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象：
①如果，那么；
②如果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么．则（ ）
A．正确的命题只有①B．正确的命题有①②④
C．错误的命题有②③D．错误的命题是③④
6．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是______．
7．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________．
8．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形中，点，点，点，，且，沿折叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F．
（1）__________；
（2）当时，m的值为__________；
（3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为__________．
9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
10．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
冲刺突破
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
4．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
7．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
9．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
(1)求点的坐标及的值．
(2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
(3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
考向聚焦
技法01函数图象和性质的综合应用：主要考查对一次、反比例、二次函数图象和增减性、对称性、最值等性质的深刻理解，以及数形结合思想的运用。常以选择题或压轴题形式，考查函数图象在同一坐标系下的综合呈现。
技法02函数字母参数的确定：常以待定系数法为核心，考查根据已知条件（如经过的点、图象特征、函数值范围）确定函数解析式中参数的值或取值范围。
技法03函数图象的综合判断：多与实际情景或几何动点问题结合，考查从实际问题中抽象出函数关系并判断其大致图象的能力。常见题型为分析几何图形中动点运动时，相关线段长度、面积等随运动时间变化的函数图象。
技法04 函数图象的平移问题：重点考查函数图象平移变换的规律，特别是二次函数的平移。常考题型包括求平移后的函数解析式、根据平移前后图象关系求参数值或点的坐标。
技法05 函数图象的对称（折叠）问题：考查函数图象关于坐标轴、某直线（如x=m，y=n）对称（或折叠）后的图象性质。常结合折叠问题，求对称后的函数解析式或研究对称后图象与原图象的关系。
技法06 函数图象的旋转问题：主要涉及函数图象绕某点（常为原点或顶点）旋转特定角度（如180°）后的图象性质。考查旋转前后图象的关联及解析式的变化。
技法07 函数背景下的规律探究问题：以函数为载体，考查学生发现、提出、分析、解决问题的能力（“四能”）。常以新定义函数、操作探究、项目式学习等形式出现，要求学生通过观察、归纳发现函数图象或性质中的规律。
技法08 函数背景下的整点问题：考查在函数图象上或函数图象与坐标轴围成区域内，寻找横纵坐标均为整数的点（整点）的问题。常涉及求整点个数、根据整点个数求参数范围等。
技法09函数背景下的几何问题：函数与几何的综合压轴题，考查将几何问题代数化的能力。常见类型包括：函数图象上的动点与三角形、四边形、圆等几何图形结合，求面积、线段长、特殊图形存在性等问题。
考查形式
函数是中考数学的核心内容，考查呈现“基础+综合+探究”的层次。基础题直接考查函数概念、图象与性质（技法01、03）；中等题以平移、对称、旋转等图象变换（技法04-06）和字母参数确定（技法02）为主；压轴题则常以函数为背景，综合几何图形（技法09）、动点问题（技法03）、整点问题（技法08）或规律探究（技法07），考查学生综合运用知识解决问题的能力。命题趋势上，越来越注重真实情境、过程性学习（探究）和创新意识（新函数）。
能力清单
直观想象能力：能根据解析式想象图象，根据图象分析函数性质，以及将几何图形与函数图象结合分析。
数学抽象与建模能力：从实际问题或几何图形中抽象出函数关系，建立数学模型。
逻辑推理与运算求解能力：准确进行代数运算，严谨推导函数解析式，分类讨论各种可能情况。
数形结合思想：将数量关系与图形特征相互转化，利用图象辅助解题。
探究与创新能力：在新定义、新情境下发现规律、提出猜想并加以验证的能力。
分类讨论意识：在动点问题、含参问题、整点问题中，能根据条件变化进行分类讨论。
函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征．
一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为．
猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：．
证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上．
结论1：猜想正确．
二次函数图象的平移：
猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为：
证明2：．．．
反比例函数图象的平移：
．．．
…

0
1
2
3
4
…
…
4
2
1
0
2
5
…
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．
小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ．
小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”