2026年广东中考数学二轮复习 专题02 方程(组)与不等式(组)的应用(题型专练)(广东专用)

这是一份2026年广东中考数学二轮复习 专题02 方程(组)与不等式(组)的应用(题型专练)(广东专用)，共43页。
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一元一次方程的实际应用
题型02 二元一次方程组的实际应用
题型03 一元二次方程的实际应用
题型04 分式方程的实际应用
题型05 一元一次方程与不等式（组）的实际应用
题型06 二元一次方程组与不等式（组）的实际应用
题型07 一元二次方程与不等式（组）的实际应用
题型08 分式方程与不等式（组）的实际应用
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一元一次方程的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的标价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程．
【详解】解：设该服装每件的标价是x元，根据题意得：
，
故选：A．
【典例02】（2025·广东东莞·模拟预测）某种风衣每件按进价的1.8倍标价，再降价40元售出后，每件可以获得120元的利润，那么该种风衣每件的进价为____元．
【答案】200
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品每件的进价为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该商品每件的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
∴该商品每件的进价为200元．
故答案为：200．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东肇庆·二模）某商店销售某种商品可获利润40元，若打八折销售，每件商品所获利润比原来减少了20元，则该商品的进价是______元．
【答案】60
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该商品的进价为x元，则该商品打折后的售价为元，再根据每件商品所获利润比原来减少了20元建立方程求解即可．
【详解】解：设该商品的进价为x元，
由题意得，，
解得，
∴该商品的进价为60元，
故答案为：60．
【变式02】（2024·广东肇庆·二模）某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打_________折出售．
【答案】8
【分析】本题考查一元一次方程的应用．设打折，用含的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出方程求解即可．
【详解】解：设打折，根据题意得
解得
即打8折出售．
故答案为：８．
题型02 二元一次方程组的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？
【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价．
【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，
根据题意可得：
解方程组可得：，
答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元．
【典例02】（2025·广东清远·一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示：
(1)求这两种纪念品套装各自购进的套数；
(2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？
【答案】(1)A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套
(2)这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意可得方程组为，然后求解即可；
（2）根据（1）及题意可直接进行求解．
【详解】（1）解：设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意得：
，
解得：；
答：A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套．
（2）解：由题意得：
（元）；
答：这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东韶关·三模）“北风起，腊鸭香”，南雄板鸭已有千年历史，是广东人的年味密码．小美和小丽去某特产店购买了甲、乙两种不同包装的南雄板鸭产品，小美购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元；小丽购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元．这家特产店甲乙两种南雄板鸭产品的零售价分别是多少？
【答案】甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋，根据题意得，
解得：
答：甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋
【变式02】（2025·广东肇庆·一模）2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元．
(1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格；
(2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量．
【答案】(1)每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元
(2)购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解.
（1）设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元，根据“购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元”列方程组求解即可；
（2）设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件，根据“用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件”得到，再求正整数解即可．
【详解】（1）解：设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元，
根据题意得
解得
答：每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元．
（2）解：设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件，
根据题意得，
∴．
∵a，b是正整数，
∴，
答：购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件．
题型03 一元二次方程的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东佛山·模拟预测）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，某景区的游客人数三月份为5万人，五月份为万人．
(1)求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
(2)该景区的门票价格为100元/人，依据往年数据，六月份购票人数约2万，门票价格每降低2元，游客人数增加500人，问当票价定为多少元时，可以使得门票收入最高？
【答案】(1)四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为
(2)当票价定为90元时，可以使得门票收入最高
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；
（2）设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W元，由题意可得，然后根据二次函数的性质即可得结果．
【详解】（1）解：设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得，
解方程得，舍去，
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为；
（2）解：设门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W元，
由题意，得，
化简，得，
，
当时，W取最大值，为2025000元．
票价定为元时，可以使得门票收入最高．
答：当票价定为90元时，可以使得门票收入最高．
【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为．
(1)求这个花圃的长和宽．
(2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量．
【答案】(1)这个花圃的长为10米，宽为8米
(2)购进A种树苗棵， B种树苗棵
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论．
（2）设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
依题意，得：，
整理，得：
解得．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个花圃的长为10米，宽为8米．
（2）解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得：
，
解得，
答：购进A种树苗棵， B种树苗棵．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克．
(1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？
(2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？
【答案】(1)每千克售价为40元
(2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为44元
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，熟知二次函数的性质、一元二次方程的求解．
（1）设每千克降价为x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每天的利润为，根据题意列出函数关系式求解即可；
【详解】（1）解：设每千克降价为x元，
，
解得：或，
售价为元或元，
又为使顾客得到更大的优惠，
每千克售价为40元．
（2）解：设每天的利润为，
由题意，结合（1）可得，，
，
又，
当时，每天的利润取得最大值，最大值为49000元．
要使每天的利润取得最大值，每千克售价为元．
【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：该长方体盒子的高为；任务二：该长方体盒子的高为；任务三：每个有盖盒子应降价元或元.
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，再解方程并检验即可；
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，再解方程并检验即可；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，再解方程即可.
【详解】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【变式03】（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值．
【答案】12.5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
设，
则原方程可化为：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去，
，
即，
答：的值为
题型04 分式方程的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分．
【答案】所用时间为分秒，能拿到满分
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该女生的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程求出速度，进而求出跑步时间，并与满分标准比较做出判断，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该女生的平均速度为米/秒，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∵(秒)分秒分秒，
∴这名女生本次测试能拿到满分，
答：该女生本次测试所用时间为分秒，本次测试能拿到满分．
【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度．
【答案】“创新号”的平均速度为．
【分析】本题考查了分式方程的应用，设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合实际意义，
答：“创新号”的平均速度为．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东韶关·二模）每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？
【答案】改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克
【分析】设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，依题意得：，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
答：改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克．
【变式02】（2025·广东江门·三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？
【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨．
【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条．
(1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条；
(2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？
【答案】(1)A制程生产线有25条，B制程生产线有15条；
(2)完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，根据完成升级后该企业共获145万元补贴，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即有A制程生产线的数量），再将其代入中，即可求出有B制程生产线的数量；
（2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，根据用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，
根据题意得：，
解得：，
∴（条）．
答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条；
（2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，
根据题意得：，
解得：，
∴（万元）．
答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金．
题型05 一元一次方程与不等式（组）的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东深圳·二模）冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
(1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个
(2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，
对于（1），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可；
对于（2），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
【典例02】（2025·广东韶关·模拟预测）某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．
(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？
(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
【答案】(1)甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元
(2)甜柿的售价最少应为12.5元
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键：
（1）设甜柿的进价是每千克x元，根据用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元，列出方程进行求解即可；
（2）设甜柿的售价为a元，根据此次销售获利不少于2100元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设甜柿的进价是每千克x元，则三华李的进价是每千克元，依题意，得
解得
此时；
答：甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元．
（2）解：设甜柿的售价为a元，依题意，得
，
解得；
答：甜柿的售价最少应为12.5元．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东河源·模拟预测）某社区组织垃圾分类活动，准备购置两种不同规格的垃圾桶．大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个元．已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元．
(1)求大垃圾桶每个的进价；
(2)若社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克．设购置大垃圾桶m个，总可装垃圾量为Q千克，写出Q与m的函数关系式，并求出在资金允许的范围内Q的最大值．
【答案】(1)62元
(2)；900千克
【分析】本题考查一元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程和不等式以及一次函数解析式，是解题的关键：
（1）根据购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元，列出方程进行求解即可；
（2）根据每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃圾桶的可装垃圾量为10千克，列出函数关系式，根据社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，列出不等式，求出的范围，再根据一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：由题意，可列方程：，
解得．
答：大垃圾桶每个的进价为62元．
（2）已知购置大垃圾桶m个，则购置小垃圾桶个．
总可装垃圾量，
购置资金不超过3000元，由（1）知小垃圾桶每个的进价为（元），
，解得，
在中，，
随m的增大而增大，
当时，Q有最大值为．
答：Q与m的函数关系式为，在资金允许的范围内Q的最大值为900千克．
【变式02】（2025·广东揭阳·三模）某销售公司员工每月的工资由基本工资和业务计单提成组成，其中每月基本工资为元，每单提成为元．已知员工小王月份做了单业务，该月的工资为元．若小王想让每月的工资超过元，则他每月最少要做多少单业务？
【答案】小王每月至少要做 单业务，才能使工资超过 元
【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据题意先求得，设他每月做单业务，根据题意列出不等式求得最小整数解，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
设他每月做单业务，根据题意得，
解得：
∵为整数
∴最小整数解：
答：小王每月至少要做 单业务，才能使工资超过 元．
【变式03】（2025·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（任务1）A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元；（任务2）购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元．
【分析】本题考查一元一次方程解应用题，一次函数择优方案选择，解题的关键是找到等量关系式．
（1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购列式求解即可得到答案；
（2）根据A种笔记本m本可得B种笔记本本，根据费用单价数量列函数，结合函数性质求解即可得到答案；
【详解】（任务1）解：设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据题意，
得：，
解得，
，
答：A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元；
（任务2）解：准备购买A种笔记本本，则B种笔记本本，购买100本的总费用为元，
，
又，
，且m为整数，
又，
W随m的增大而减小，
当时，W取最小值，最小值为元，
购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元．
题型06 二元一次方程组与不等式（组）的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？
【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元
(2)至少买乙种快餐20份
【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元；
（2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，
依题意得：，
解得：．
答：至少买乙种快餐20份．
【典例02】（2025·广东汕尾·模拟预测）某公司计划购买普通医用口罩和专业口罩捐赠给湖北，已知专业口罩的单价是普通医用口罩的单价的4倍，用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只．
(1)请问普通医用口罩和专业口罩的单价各为多少？
(2)如果该公司计划购买普通医用口罩和专业口罩共5万只，总费用不超过12万元，通过计算说明最多可以购买专业口罩多少万只？
【答案】(1)普通医用口罩的单价为元，专业口罩的单价为6元；
(2)最多可以购买专业口罩1万只．
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设普通医用口罩的单价为x元，则专业口罩的单价为元，根据数量总价单价，结合用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买专业口罩m万只，则购买普通医用口罩万只，根据总价单价数量，结合总价不超过12万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设普通医用口罩的单价为x元，则专业口罩的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：普通医用口罩的单价为元，专业口罩的单价为6元．
（2）解：设可以购买专业口罩m万只，则购买普通医用口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：最多可以购买专业口罩1万只．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【答案】(1)型设备单价是元，型设备单价是元．
(2)，最少购买费用是元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用．熟练掌握根据实际问题列方程组以及利用一次函数的性质解决最值问题是解题的关键．
（1）设型设备单价为元，型设备单价为元，根据“购进台型设备和台型设备需共用元；购进台型设备和台型设备需共用元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组，进而求解和的值．
（2）已知购买型设备台，因为两种设备共买台，所以型设备买了台．根据总费用 型设备费用 型设备费用，可得到与的函数关系式．再根据型设备数量不少于型设备数量的一半这一条件，确定的取值范围，最后根据函数的性质求出最少购买费用．
【详解】（1）解：设型设备单价为元，型设备单价为元，由题意得
解得，
答：型设备单价是元，型设备单价是元．
（2）解：由购买型设备台得购买型设备台．
由型设备数量不少于型设备数量的一半，得
解得，
∵，
∴．
在中，，随的增大而增大．
∴当时，有最小值， （元）
综上，与的函数关系式为，最少购买费用是元．
【变式02】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表：
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？
【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元
(2)为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元
【分析】设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，根据，两种组合的进价，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过件，列出关于的一元一次不等式，解之得出的取值范围，再设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件组合的销售利润准备数量每件组合的销售利润准备数量，列出关于的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元；
（2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，
根据题意得：，
解得：，
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元．
【变式03】（2024·广东深圳·三模）
【答案】任务1：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元
任务2：①，②
任务3：当时，使用无人机配送商品更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组、代数式的应用及一元一次不等式的解法，涉及知识点包括方程组的建立与求解、代数式的化简与应用、不等式的性质及其应用；解题的关键在于准确建立数学模型，通过方程组求解商品单价，利用代数式表达不同促销方案下的总费用，并通过不等式确定最优选择，整个过程需注重逻辑推理与数学运算的准确性．
任务1：通过设未知数，利用无促销活动时两种购买组合的总价建立二元一次方程组，求解得到A、B商品的销售单价；
任务2：先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示；
任务3：根据“使用无人机配送更合算”这一条件，建立一元一次不等式，求解不等式并结合的范围，确定购买A商品数量的范围．
【详解】解：任务１ 设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，依题意得
，解得,
答：A，B商品的销售单价分别是160元，200元；
任务2 A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元，
总费用为服务卡费用加上A、B商品的打折后总价，
，
A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元，
总费用为A、B商品的打折后总价，即： ．
故答案为：①，②；
任务3 依题意，，
解得，
，
，
当时，使用无人机配送商品更合算．
题型07 一元二次方程与不等式（组）的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东江门·一模）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆．
(1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率．
(2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？
【答案】(1)
(2)40辆
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设自行车销售的月平均增长率为x，根据该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆建立方程求解即可；
（2）设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，分别求出A型车和B型车的利润，再根据总利润不低于26000元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为；
（2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：，
答：该商场购进A型车不超过40辆．
【典例02】（2025·广东海珠·模拟预测）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可．
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：，
由题意得到
解得，
∴
（3）解：不能，理由如下：
由（1）可得：
，
即
整理得到，
∴
即或
解得，
当时，
∴机动车停车位向外移动1m；
答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东肇庆·三模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
(2)最多可购买电脑8台
【分析】（1）根据一月份投入经费三月份投入经费，列出方程，求解即可作答；
（2）根据购买电脑和实物投影仪的总费用不超过四月份投入经费的，建立一元一次不等式，求解即可作答．
【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；
（2）解：四月份投入图书购置经费为（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪台，
根据题意得：，
解得：．
答：最多可购买电脑8台．
【变式02】（2025·广东潮州·一模）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元．
(1)求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率；
(2)2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片?
【答案】(1)
(2)40万颗
【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键．
（1）根据题意，设每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为，列出方程并求解即可；
（2）根据题意，设购进万颗甲种芯片，则乙种芯片购进万颗，列出不等式，求解即可求出最多购进甲种芯片的数量．
【详解】（1）解：设每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为，
根据题意，可得方程，
解得或（舍去），
故每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为．
（2）解：假设购进万颗甲种芯片，则乙种芯片购进万颗，
得不等式，
解得，
故最多购进万颗甲种芯片．
题型08 分式方程与不等式（组）的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元
(2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少
【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键．
（1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可；
（2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案．
【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得
经检验，是原方程的解

跳绳和毽子的单价分别是8元，5元；
（2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，
由题意得，
跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，
，
，
，
随着的增大而增大，
当时，有最小值，
当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少．
【典例02】（2025·广东广州·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．
(1)求出A，B两种书架的单价；
(2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？
【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元；
(2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据用14400元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进个种书架，则购进个种书架，根据购进种书架数量不少于种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元；
（2）设购进个种书架，则购进个种书架，
由题意得：，
解得：，
设购买总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时，，
答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东东莞·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键：
（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元）．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元．
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
根据题意，得，
解得．
设共花费w元，
则，
∵，
∴w随m的减小而减小，
∵，
∴当时，w值最小．
，
（台）．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）一方有难，八方支援．某县发生地震后，全国人民积极捐赠物资．某校701班捐赠了A类帐篷，702班捐赠了B类帐篷．已知A类帐篷的单价是B类帐篷单价的1.5倍，两个班分别用9000元购买这两类帐篷，发现购买到的A类帐篷比B类帐篷少10顶．
(1)求A，B两类帐篷的单价；
(2)为了更好地保障重建工作，该校师生计划再购买A，B两类帐篷共40顶，且A类帐篷的数量不低于B类帐篷数量的3倍，则该校师生至少需要准备多少钱？
【答案】(1)B类帐篷的单价为元，则A类帐篷的单价为元．
(2)该校师生至少需要准备元钱．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的解法和一次函数的性质是解题的关键．
（1）通过设B类帐篷单价为未知数，根据A、B类帐篷单价关系表示出A类单价，再结合购买数量差列分式方程求解．
（2）设购买A类帐篷数量，根据A、B类帐篷数量关系确定其取值范围，然后列出总费用的一次函数，根据函数单调性求最小值．
【详解】（1）解：设B类帐篷的单价为元，则A类帐篷的单价为元．
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
，
答：B类帐篷的单价为元，则A类帐篷的单价为元．
（2）解：设购买A类帐篷顶，则购买B类帐篷顶．
，
解得，
设购买帐篷的总费用为元，则，
，
因为，
所以随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为
（元），
答：该校师生至少需要准备元钱．
【变式03】（2025·广东阳江·你预测）某中学带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设购买A种菜苗m捆，求出m的范围．设本次购买共花费元．请找出关于m的代数式，并求出本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)元
(2)，最少花费元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，以“用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆”列分式方程即可解决；
（2）购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，根据“A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数”得出，列一次函数，根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得
检验：将代入，
是原方程的解，
菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元．
（2）解：由题，购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
，
，
又，
，
当时，花费最少，
此时
本次购买最少花费元．
题●型●训●练
1．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．
【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，
根据题意，得．
故选：A．
2．（2025·广东中山·二模）某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
故选：A．
3．（2025·广东深圳·二模）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校年给贫困学生每人元补贴，年给贫困学生每人元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每年发放的资助金额的平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为，
由题意得，，
故选：．
4．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可．
【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时，
根据题意得，即．
故答案为：．
5．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】(1)元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可；
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采摘的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
6．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元
(2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得：
或或，（三个方程组任选一个即可）
解得：；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
（2）设蓝球有个，则足球有个
，
解得：，
设购买的总费用是元，
，
，
随着的减小而减小；
∵且为整数，
当最小值为4时，最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
7．（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个．
(1)求这两次技术改造日产量的平均增长率；
(2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积．
【答案】(1)这两次技术改造日产量的平均增长率为
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、几何体的三视图，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，根据题意列出方程，求出x的值即可解答；
（2）由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为，据此求出盲盒的表面积即可．
【详解】（1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（舍去），
答：这两次技术改造日产量的平均增长率为．
（2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为，
∴盲盒的表面积，
答：此类盲盒的表面积为．
8．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量．
(1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？
(2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？
【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量
(2)9个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解；
（2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，
根据题意得：，
解得：
答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量；
（2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为9，
答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界．
9．（2025·广东深圳·模拟预测）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫200件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件
(2)学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
（1）设学校购进x件红色文化衫，y件蓝色文化衫，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校再次购买a件红色文化衫，件蓝色文化衫，全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件红色文化衫的销售利润×购进红色文化衫的数量+每件蓝色文化衫的销售利润×购进蓝色文化衫的数量，可找出w关于a的函数关系式，由学校再次购进红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件；
（2）解：设学校再次购进红文化衫a件，则蓝文化衫件，获得的利润为w元，
则，
由题意得，
解得，
∵，，
∴w随a的增大而增大．
当时，最大利润为3750元．
答：学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元．
10．（2025·广东佛山·三模）某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售．经过市场调研，、两种品牌粽子销售较好．已知种品牌粽子的单价比种品牌粽子的单价便宜2元，用480元购买种粽子的数量是用360元购买种粽子数量的2倍．
(1)求品牌粽子的单价为多少元？
(2)如果该超市将种品牌粽子的售价定为6元，种品牌粽子的售价定为10元．超市准备购进两种品牌的粽子共500个进行销售，总利润不低于1800元，问超市至多购进种品牌粽子多少个？
【答案】(1)4
(2)100
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用；
（1）设A品牌粽子的单价为x元，则B品牌粽子的单价为元，根据用480元购买A种粽子的数量是用360元购买B种粽子数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设超市购进A品牌粽子a个，则购进B品牌粽子个，根据总利润不低于1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A品牌粽子的单价为x元，则B品牌粽子的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A品牌粽子的单价为4元．
（2）解：由（1）可得，即B种粽子的单价为6元，
设超市购进A种品牌粽子a个，则购进B种品牌粽子个，
由题意得：，
解得，
答：超市至多购进A种品牌粽子100个．
11．（2025·广东珠海·三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下．
(1)若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
(2)若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
【答案】(1)应选用A种食品2包，B种食品4包
(2)应选用6包A种食品，2包B种食品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确理解题意即可；
（1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意得：，即可求解；
（2）设选用m包A种食品，则选用包B种食品，根据题意得：，
解得：，设摄入的总热量为w KJ，则，即可求解；
【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：，
答：应选用A种食品2包，B种食品4包；
（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，
根据题意得：，
解得：，
设摄入的总热量为w KJ，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
此时，
答：应选用6包A种食品，2包B种食品．
12．（2025·广东广州·三模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：
(1)若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？
(2)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；
(2)租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键．
（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得，然后解方程即可；
（）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值即可．
【详解】（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
答：租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；
（2）解：租用乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
∴，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，为，
答：当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．
13．（2025·广东东莞·三模）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？
【答案】(1)米
(2)当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键
（1）设通道的宽是米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设通道的宽是米，
由题意得：，
整理得：，
解得： (舍去)，
∴通道的宽是米；
（2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元，
由题意得：
，
，，
∴150，
当时，(元)，
∴当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元．
14．（2025·广东湛江·模拟预测）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
【答案】问题1：；问题2：；W的最大值为208；问题3：当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同
【分析】本题主要考查了不等式的应用，求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数解析式．
问题1：根据信息一写出y关于x的函数解析式即可；
问题2：根据日租借率最高不超过，求出，列出函数解析式，然后根据二次函数性质进行求解即可；
问题3：分别求出当时，，当时，，当时，，然后进行回答即可．
【详解】解：问题1：调配这些滑板车的总成本为：；
问题2：∵日租借率最高不超过，
∴，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为：
；
问题3：当时，，
当时，，
调配数量不能超过20辆，
∴这种情况不存在；
当时，，
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同．
15．（2025·广东广州·二模）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务．
【答案】任务1：红粉西红柿进价为每千克5元，有机西红柿进价为每千克7.5元；任务2：每千克10元；任务3：
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元，根据同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多建立方程求解即可；
任务2；设标价（白天的售价）为每千克元，分别求出白天和晚上的销售额，再根据利润不低于建立不等式求解即可；
任务3：可计算得到九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱，那么在八折时刚好卖完即可或者最大利润，据此求解即可．
【详解】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元
由题意可得：，
解得：
经检验，是方程的根，且符合题意
答：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元
任务2：设标价（白天的售价）为每千克元，
由题意可得：，
解得：，
标价（白天的售价）最低价为每千克10元；
任务3：
九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱
，
每天进货时利润最大．考向解读
基础必考题，侧重和、差、倍、分、行程（匀速）、工程（单工效）、计费、配套等基础实际问题，考查数量关系梳理能力，多为选择、填空、简单解答题。
方法技能
①找等量关系（关键词：共、比…多/少、是…几倍、刚好完成）；
②设未知量（直接设/间接设）；
③列一元一次方程求解，验证解的实际意义。
价格类型
A种
B种

进价（元/套）
60
100
标价（元/套）
100
160
考向解读
核心基础题，针对含两个未知量的实际问题，如购物（单价+数量）、工程（两人/两队工效）、行程（两个对象）、调配问题，考查多量关系拆解，以解答题为主。
方法技能
①识别两个独立等量关系；
②设两个未知量，列二元一次方程组；
③用代入消元/加减消元法求解，检验解是否符合实际场景。
考向解读
高频重难点，侧重增长率/下降率、面积/体积计算、销售利润（单价+销量联动）、数字问题，考查建模能力，多为中档解答题，需注意解的取舍。
方法技能
①牢记模型（增长率：a(1±x)2=b、面积：割补法找边长关系、利润：总利润=单利润×销量）；②列一元二次方程，用公式法/因式分解法求解；
③舍去负根、不合实际的根。
设计合适的盒子
素材1
我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2
把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3
如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1
根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2
根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3
已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
考向解读
易错必考题，针对含平均/速率/工效（含分式） 的问题，如行程（变速/相遇追及）、工程（合作+单独）、浓度、分配问题，核心考查验根，解答题为主。
方法技能
①找等量关系，设未知量后用分式表示相关量；
②列分式方程，两边同乘最简公分母化为整式方程求解；
③双重检验（检验整式方程的解是否使公分母为0、是否符合实际）。
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
考向解读
综合基础题，针对“求具体值+范围限制”的问题，如计费方案（临界值计算+方案选择）、配套（刚好配套+材料限制）、分配（刚好分完+数量约束），考查方程与不等式的结合应用。
方法技能
①先列一元一次方程求临界值/具体量；
②根据“至少/最多/不超过/不少于”列一元一次不等式（组） 求范围；
③结合实际取整数解（如人数、件数）。
如何购买奖品费用最少
素材1
以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生．
素材2
通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购．
素材3
根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的2倍．
问题解决
任务1
计算物品单价
请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？
任务2
确定最优方案
请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？
考向解读
高频综合题，针对含两个未知量+范围限制的优化问题，如购物方案（单价数量+总费用限制）、工程安排（两队工效+工期/费用限制）、运输调配（车辆数+运量限制），考查多量建模与方案筛选，解答题为主。
方法技能
①列二元一次方程组表示基础数量关系（或用一个量表示另一个量）；
②根据限制条件列一元一次不等式（组） 求未知量范围；
③枚举整数解，结合题意筛选最优方案。
价格
进价（元件）
售价（元件）
背景
【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能．
素材1
某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元．
素材2
该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1
在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元?
任务2
某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元；
②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）；
任务3
请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
考向解读
难点综合题，侧重利润最值、面积限制、增长率范围问题，如销售（利润达标+销量/单价限制）、几何（面积满足要求+边长取值范围）、增长问题（增长率区间+总量限制），考查二次建模与范围分析，多为压轴小问。
方法技能
①列一元二次方程求临界值（如利润为某值时的单价）；
②根据题意列一元二次不等式（组）（或转化为二次函数）求范围；
③结合二次函数图象/因式分解分析解的区间，舍去不合实际的部分。
考向解读
易错难点题，针对分式量+范围限制的问题，如行程（速率+时间/路程限制）、工程（工效+工期/工作量限制）、浓度（配比+溶质/溶液限制），核心考查“分式方程求量+不等式定范围+双重验根”，解答题中难度较高。
方法技能
①列分式方程求基础量（如速率、工效），严格验根；
②根据限制条件列一元一次不等式（组） 求未知量范围；
③结合验根结果与不等式解，确定最终符合实际的解/方案。
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
批发价（元）
零售价（元）
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35
甲型号大客车
乙型号大客车
满座载客量（人辆）
租车费用（元辆）
信息1
A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信息2
B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过
信息3
每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
问题1
在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围
问题2
在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
问题3
公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：
方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元．
方案二：一次性给予运维团队800元奖励．
请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
西红柿销售方案
素材1
“有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍．
素材2
同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多．
素材3
惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图．
素材4
在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克．
问题解决
任务1
两种西红柿每千克进价各是多少元？
任务2
若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
任务3
若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？