初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）本章综合与测试复习ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）本章综合与测试复习ppt课件，共61页。PPT课件主要包含了学习内容导览，单元知识图谱，单元复习目标，考点串讲，针对训练，题型剖析，课堂总结，图形的判定，图形中的计算，复习题等内容，欢迎下载使用。
1.掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，能准确区分三者与平行四边形的从属关系，熟练运用性质进行边长、角度、对角线及面积的计算。
3.提升几何直观、逻辑推理及综合应用能力，能结合勾股定理、全等三角形等知识解决中考高频题型，培养分类讨论、转化化归的数学思想，规避常见易错点。
2.理解矩形、菱形、正方形之间的内在联系（一般到特殊），掌握折叠、动点等几何变换中的图形性质转化，能规范完成几何证明的逻辑推导。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1. 矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形两个关键条件：① 是平行四边形； ② 有一个角是直角
1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
2.矩形的性质（平行四边形性质+自身特殊性质）边：与平行四边形一致，对边平行且相等角：自身特殊性质——四个角都是直角对角线：自身特殊性质——对角线相等且互相平分对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点O），也是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分。
AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC=BD，OA=OC，OB=OD
3. 矩形的判定方法定义法（最基础）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。步骤：先证明是平行四边形，再证明一个角为90°对角线法（最常用）：对角线相等的平行四边形是矩形。步骤：先证明是平行四边形，再证明对角线相等；注意：对角线相等的四边形不是矩形，直角法：有三个角是直角的四边形是矩形。（无需先证明平行四边形）
1.菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形两个关键条件：① 是平行四边形；② 有一组邻边相等
2.菱形性质说明（平行四边形性质+自身特殊性质）边：自身特殊性质——四条边都相等角：与平行四边形一致，对角相等、邻角互补对角线：自身特殊性质——互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
区别于其他平行四边形的关键
对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点O），也是轴对称图形，有2条对称轴（对角线所在直线）。
1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
①菱形的面积=底×高， 即： S=a•h
适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算
3.判定方法定义法（最基础）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。步骤：先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等对角线法（最常用）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。步骤：先证明是平行四边形，再证明对角线互相垂直；注意：单独“对角线互相垂直的四边形”不是菱形， 如筝形对角线互相垂直，但不是菱形边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。（无需先证明平行四边形）
1.正方形定义：正方形是最特殊的平行四边形，
① 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
2.正方形性质（矩形性质+菱形性质）边：四条边都相等（菱形性质）， 对边平行（平行四边形性质）。角：四个角都是直角（矩形性质）， 对角相等、邻角互补（平行四边形性质）。对角线：相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（矩形对角线相等+菱形对角线垂直平分、平分对角），对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点O），也是轴对称图形，有4条对称轴（过对边中点的直线、对角线所在直线）
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
3.判定方法定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。步骤：先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等+一个角是直角矩形推导法：有一组邻边相等的矩形是正方形。步骤：先证明是矩形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂直菱形推导法：有一个角是直角的菱形是正方形。步骤：先证明是菱形，再证明一个角是直角或对角线相等对角线法：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。步骤：先证明是平行四边形，再证明对角线相等+互相垂直； 或直接证明：对角线相等、互相垂直、互相平分的四边形是正方形
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
本章知识点的综合应用，核心是“区分性质与判定、灵活转化图形关系”，常结合以下知识点考查：图形转化：矩形、菱形、正方形与平行四边形的转化，正方形与矩形、菱形的转化，解题时需明确“已知图形→可运用的性质”“求证图形→需满足的判定条件”。与三角形结合：对角线将矩形、菱形、正方形分成全等三角形（如矩形对角线分成两个全等的直角三角形，菱形对角线分成四个全等的直角三角形，正方形对角线分成四个全等的等腰直角三角形），常结合勾股定理求边长、对角线长、面积。折叠问题：矩形、正方形的折叠是中考高频题型，折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，解题关键是利用折叠性质找到相等关系，结合勾股定理列方程求解。
易错点提醒：① 混淆性质与判定（性质是“已知图形→推结论”，判定是“已知条件→推图形”）；② 忽略平行四边形的前提，直接用“对角线相等”“对角线垂直”判定矩形、菱形；③ 菱形面积公式记错，忘记“对角线乘积的一半”；④ 正方形的对称轴数量记错（4条，不是2条）。
多图形综合： 矩形、菱形、正方形与三角形、平行四边形的组合证明、计算，核心是提炼图形中的特殊条件（直角、相等的边、垂直的对角线），灵活运用性质和判定。动点问题： 分析动点运动过程中图形形状变化，结合性质求最值或特殊位置；中点四边形：任意四边形中点连线为平行四边形；对角线相等→矩形；对角线垂直→菱形；对角线垂直且相等→正方形；
题型一、图形性质的运用
∵AF⊥BC，AC⊥BD，∴CG⊥AB，∴∠AGE=∠BGE=90°∵△ABC是等边三角形，∴AG=BG，在△BEG和△AEG中，
∴△BEG≌△AEG(SAS)．
题型一、图形的性质运用
例8（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）
题型三、图形中的规律探究
题型四、图形的性质与判定综合
（2）AH与EF垂直，理由如下．连接GC交EF于点O．∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ADG=∠CDG=45°，又∵DG=DG,AD=CD，∴△ADG≌△CDG，∴∠DAG=∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF=90°，又∵GE⊥CD,GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形，∴OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠DAG=∠OEC．又∵∠DAG=∠EGH，∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH =∠GEC=90°，∴∠GHE=90°，∴AH⊥EF．
题型五、图形中的翻折与旋转
1. 在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.（1）如果∠ABO + ∠ADO = 90°，那么 □ ABCD 一定是_____形；（2）如果∠AOB = ∠AOD，那么 □ ABCD 一定是____形；（3）如果 AB = BC， AC = BD，那么 □ ABCD 一定是______形.
2. 如图，在矩形 ABCD 中，相邻两边 AB、AD 的长分别为 15 cm 和 25 cm，∠BAD 的平分线与边 BC 相交于点 E . 求 BE 和 CE 的长.
解: 在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∴ ∠DAE ＝∠AEB，BC ＝AD ＝25 cm.∵ AE 是∠BAD 的平分线，∴ ∠BAE ＝∠DAE，∴ ∠BAE ＝∠AEB，∴ BE ＝AB ＝15 cm，∴ CE ＝BC－BE ＝ 25－15 ＝10 (cm).
3. 已知正方形纸片 ABCD 的一条对角线 AC 的长为 4 cm， 求该正方形的边长和面积.（长度精确到 0.1 cm）
解:设正方形的边长为 x cm，则 x2 + x2 ＝ 42，
∴ S正方形 ＝x2 ＝ 8 (cm2).
即正方形的边长约为 2.8 cm，面积为 8 cm2 .
4. 已知菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度数之比 为 1 ∶ 2，求较短的对角线长.
解:如图，在菱形 ABCD 中，AB ＝BC，AD∥BC.∴ ∠BAD + ∠B ＝180°.又∵ ∠B ∶ ∠BAD ＝1 ∶ 2，∴ ∠B ＝ 60°，∠BAD ＝ 120°.连结 AC，则△ABC 为等边三角形，
即菱形较短的对角线长为 5 cm.
5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AB = CD. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明:如图，连结 AC.在 Rt△ABC 和 Rt△CDA中，∵ AC ＝CA，AB ＝ CD，∴ Rt△ABC ≌ Rt△CDA，∴ BC ＝ DA，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
又∵ ∠B ＝ 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为边 AD 的中点，菱形 ABCD 的周长为 28，求 OH 的长.
解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝BC ＝CD ＝AD，AC ⊥ BD.∵ 菱形 ABCD 的周长为 28，
∵ H 为边 AD 的中点，∴ OH 为 Rt△AOD 斜边上的中线，
7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，四边形 ABDE、 AGFC 都是正方形，求证：BG = EC.
证明: ∵ 四边形 ABDE、AGFC 都是正方形，∴ AB ＝AE，AG ＝AC，∠BAE ＝∠CAG ＝ 90°，∴ ∠CAE ＝ 90°－∠BAC，∠GAB ＝ 90°－∠BAC，∴ ∠CAE ＝∠GAB，∴ △ABG≌△AEC，∴ BG ＝ EC.
8. 如图，在 □ ABCD 中，∠DAB = 60°，AB = 2AD，点 E、 F 分别是 AB、CD 的中点. 求证：四边形 DEBF 是菱形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，AB ＝ CD.∵ 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，
又∵ BE∥DF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.∵ AB ＝ 2AD，∴ AD ＝ AE.又∵ ∠DAB ＝60°，∴ △ADE 是等边三角形，∴ DE ＝ AE.
∴ DE ＝BE，∴ 四边形 DEBF 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
9. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点，以 BD 为边作等边三角形 BDE，连结点 A、E，求证：四边形 AEBF 是矩形.
证明:在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点，∴ AF 和 BD 是等边三角形 ABC 的两条高，∠ABC ＝ 60°，∴ AF ＝ BD，且 AF ⊥ BC，BD平分∠ABC，∠CBD ＝ 30°.
又∵ △BDE 是等边三角形，∴ BE ＝ BD，∠DBE ＝ 60°，∴ BE ＝ AF，∠EBF ＝∠DBF + ∠CBD ＝ 60°+ 30° ＝ 90°，∴ EB ⊥ BC.又∵ AF ⊥ BC，∴ BE∥AF，∴ 四边形 AEBF 是平行四边形.又∵ ∠EBF ＝ 90°，
∴ 四边形 AEBF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为边 AB 的中点，AE//CD，CE//AB，试判断四边形 ADCE 的形状， 并证明你的结论.
解:四边形 ADCE 是菱形. 证明如下:∵ AE∥CD，CE∥AB，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，点 D 为边 AB 的中点，
∴ AD ＝ CD. ∴ 四边形 ADCE 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
11. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE//CA，AE//BD.（1）求证：四边形 AODE 是菱形；（2）若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改为“菱形 ABCD”，其余条件不变，则四边形 AODE 是怎样的四边形？请给出证明.
（1）证明:∵ DE∥CA，AE∥BD，∴ 四边形 AODE 是平行四边形.∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OA ＝OD，∴ 四边形 AODE 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
（2）解: 四边形 AODE 是矩形. 证明如下:∵ DE∥CA，AE∥BD，∴ 四边形 AODE 是平行四边形.∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD，∴ ∠AOD ＝ 90°，∴ 四边形 AODE 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
12. 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点 D，DE ⊥ BC 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F.（1）求证：四边形 CFDE 是矩形；（2）求证：四边形 CFDE 是菱形.
证明:（1）∵ DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，∴ ∠DEC ＝∠DFC ＝ 90°.又∵ ∠C ＝ 90°，∴ 四边形 CFDE 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
（2）如图，过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G.由（1）知四边形 CFDE 是矩形，∴ CF ＝ DE，DF ＝ CE.∵ AD 平分∠CAB，DF ⊥ AC，DG ⊥ AB，∴ DF ＝ DG.同理，DE ＝ DG，∴ DE ＝ DF，∴ CF ＝DE ＝DF ＝ CE，∴ 四边形 CFDE 是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
13. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是另一个正方形 A'B'C'O 的一个顶点，如果这两个正方形的边长相等，那么正方形 A'B'C'O 绕点 O 无论怎样旋转，这两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，想一想，这是为什么？
解: 如图，设 A′O、C′O 分别交 AB、BC 于点 E、F .∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ OA ＝ OB，∠OAE ＝∠OBF ＝ 45°，∠AOB ＝ 90°.
又∵ ∠A′OC′ ＝ 90°，∴ ∠AOE + ∠BOE ＝ ∠BOF + ∠BOE ＝ 90°，∴ ∠AOE ＝∠BOF，∴ △AOE ≌ △BOF，∴ S△AOE ＝S△BOF .
∵ 正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′O 的边长相等，
∴ S正方形ABCD ＝S正方形A′B′C′O ，
∴ 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一.
15. 如图，在△ABC 中，边 BC 上是否存在点 P，过点 P 分别 作 AB、AC 的平行线，交 AC 和 AB 于点 D、E，使四边形 ADPE 为菱形？请说明理由.
解: 存在.如图，作∠BAC 的平分线交 BC 于点 P，过点 P 作 PD∥AB，PE∥AC，分别交 AC、AB 于点 D、E，则四边形 ADPE 为菱形. 理由:∵ PD∥AB，PE∥AC，∴ 四边形 ADPE 为平行四边形，∠1＝∠2.∵ AP 平分∠BAC，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3，∴ PD ＝ AD，∴ 四边形 ADPE 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
16. 如图，根据图形解答下列问题：（1）以 △ABC 的三边为边分别作等边三角形 ACD、等边三角形 ABE 和等边三角形 BCF，判断四边形 ADFE 的形状.
解:（1）四边形 ADFE 为平行四边形. 理由如下:∵ △BCF 和△ABE 都是等边三角形，∴ BC ＝ BF，BA ＝ BE，∠CBF ＝∠ABE ＝ 60°.∴ ∠ABC ＝ 60°－∠FBA，∠EBF ＝ 60°－∠FBA，∴ ∠ABC ＝∠EBF，∴ △ABC≌△EBF，∴ AC ＝EF.同理得△ABC≌△DFC，∴ AB ＝ DF.∵ AC ＝AD，AB ＝AE，∴ EF ＝AD，DF ＝AE.∴ 四边形 ADFE 是平行四边形.
（2）不一定存在□ ADFE. 理由如下:当∠BAC ≠ 60°时，由（1）知，四边形 ADFE 是平行四边形，此时存在 □ ADFE.
（2）在小题（1）中，是否一定存在 □ ADFE？若存在，写出 △ABC 应满足的条件；若不一定存在，请说明理由·
（3）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是矩形？（4）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是菱形？（5）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是正方形？
（3）当∠BAC ＝150°时，四边形 ADFE 是矩形.（4）当AB ＝AC ≠ BC 时，四边形 ADFE 是菱形.（5）当∠BAC ＝150°，AB ＝AC 时， 四边形 ADFE 是正方形.
17. 如图，已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG，连结 DE， 以 DE 为边作正方形 EDHI. 试用该图形证明勾股定理： CD² + CE² = DE².（提示：运用面积割补法）
证明: 如图，过点 I 作 IY ⊥ BC 于点 Y，设 HI 与 BC 相交于点 N，DE 与 GF 相交于点 M.∵ AB ⊥ BC，IY ⊥ BC，∴ AB∥IY，∴ ∠1＝∠2.∵ ∠1 + ∠4 ＝90°，∠2 + ∠3＝90°，∴ ∠3＝∠4.又∵ ∠A ＝∠IYE ＝90°，DH ＝EI，∴ △ADH ≌ △YEI，∴ S△ADH ＝ S△YEI ，AH ＝ YI.
∵ ∠9 +∠11＝90°，∠10 + ∠11＝90°，∴ ∠9 ＝ ∠10.又∵ ∠A ＝∠DCE ＝90°，DA ＝ DC，∴ △ADH ≌ △CDE，∴ AH ＝ CE.∵ CG ＝CE，∴ AH ＝ CG.∵ IY ＝AH，CE ＝EF，∴ IY ＝ EF.∵ HI∥DE，∴ ∠5＝∠7.∵ ∠5 + ∠1＝90°，∠7 + ∠8＝90°，∴ ∠1＝∠8.∵ ∠IYN ＝∠F ＝90°，∴ △IYN≌△EFM，∴ S△IYN ＝S△EFM .
∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠8，∴ ∠2＝∠8.∵ EF∥CD，∴ ∠8＝∠9，∴ ∠2＝∠9.∵ AB ＝CD，AH ＝CG，∴ BH ＝GD.又∵ ∠B ＝∠DGM ＝90°，∴ △BHN ≌ △GDM，∴ S△BHN ＝S△GDM ，∴ S正方形ABCD + S正方形CEFG ＝S正方形EDHI ，∴ CD2 + CE2 ＝DE2 .
矩形：角特殊化的平行四边形，性质四角均为直角、对角线相等，兼具中心对称与轴对称性（2条对称轴）；判定方法包括：平行四边形中一个角为直角或对角线相等，或四边形中三个角为直角。2. 菱形：边特殊化的平行四边形， 性质为四边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，兼具中心对称与轴对称性（2条对称轴）； 判定方法包括：平行四边形中一组邻边相等或对角线垂直，或四边形四边相等。3. 正方形：特殊的矩形与菱形，兼具两者所有性质，有4条对称轴；判定核心为“先定性再特殊化”，可先证矩形加邻边相等（或对角线垂直），或先证菱形加直角（或对角线相等）。4. 应用技巧： 矩形面积=长×宽、菱形面积=底×高（或对角线乘积的一半）、正方形面积=边长的平方；常用辅助线为连接对角线，将图形转化为直角三角形、全等三角形求解。
类比思想： 以平行四边形为基础，对比三种特殊平行四边形的异同，通过边、角、对角线、对称性四个维度，实现从一般到特殊的知识迁移，避免知识点混淆。2. 分类讨论与转化思想： 判定图形、分析对角线问题时需分类讨论；解题时连接对角线，将特殊平行四边形转化为直角三角形、全等三角形，简化复杂问题，适用于折叠、动点题型。
1. 性质与判定混淆：误将图形性质作为判定方法，如用矩形“对角线相等”判定任意四边形为矩形。2. 忽略判定前提：遗漏“平行四边形”这一关键条件，错误认为“对角线相等/垂直的四边形是矩形/菱形”。3. 综合应用不灵活：已知图形类型后，无法灵活调用对应性质，如正方形问题中未结合矩形与菱形的性质解题。