八年级下册（2024）本章综合与测试复习课件ppt

这是一份八年级下册（2024）本章综合与测试复习课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了知识结构，四边形，平行四边形，正方形，矩形的性质，矩形的判定，菱形的性质，菱形的判定，－12，正方形的性质等内容，欢迎下载使用。
四边形及特殊四边形的关系：
1. 矩形的四个角都是直角．
2. 矩形的两条对角线相等．
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
1. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝ 30°， 则∠ACB 的度数是 (　　) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
2. 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对角线的交点，点 E 在 BC 上，点 P 为 DE 的中点. 若 AD ＝18，AB ＝ 5， OP ＝ 3，则 CP 的长为_______.
1.菱形的四条边都相等．
2.菱形的对角都相等．
3.菱形的两条对角线互相垂直平分．
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边都相等的四边形是菱形.
1. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC ＝ 80°，BA ＝ BE， 则 ∠AED 的度数为（ ） A. 95° B. 105° C. 100° D. 110°
3. 如图，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E， 点 F 在 AD 上，AF ＝ AB，连结 BF 交 AE 于点 O， 连结 EF． （1）求证: 四边形 ABEF 是菱形; （2）若 BF ＝ 8，AE ＝ 6，求 CD 的长．
（1）证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE．∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴EB＝AB．∵AF＝AB，∴EB＝AF．又∵EB∥AF，∴四边形 ABEF 是平行四边形．又∵EB＝AB，∴四边形 ABEF 是菱形．
（2）解: ∵四边形 ABEF 是菱形，BF ＝ 8，AE ＝ 6，
∴∠AOB ＝ 90°，
1.正方形的四个角都是直角．
2.正方形的四条边都相等．
3.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.
4.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
1.有一组邻边相等的矩形是正方形
2.有一个角为直角的菱形是正方形.
1. 如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 是菱形 BEFD 的一边，菱形 BEFD 的对角线 BF 交 CD 于点 P ， 则 ∠FPC 的度数是______.　
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，MD ⊥ AC 于 点 D，ME ⊥ BC 于点 E，连结 CM 、DE. 若不增加任 何字母与辅助线，使四边形 MECD 是正方形，则还需 增加一个条件:____________________.
CE ＝ CD (答案不唯一)
1. 在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.（1）如果∠ABO + ∠ADO = 90°，那么 □ ABCD 一定是_____形；（2）如果∠AOB = ∠AOD，那么 □ ABCD 一定是____形；（3）如果 AB = BC， AC = BD，那么 □ ABCD 一定是______形.
2. 如图，在矩形 ABCD 中，相邻两边 AB、AD 的长分别为 15 cm 和 25 cm，∠BAD 的平分线与边 BC 相交于点 E . 求 BE 和 CE 的长.
解: 在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∴ ∠DAE ＝∠AEB，BC ＝AD ＝25 cm.∵ AE 是∠BAD 的平分线，∴ ∠BAE ＝∠DAE，∴ ∠BAE ＝∠AEB，∴ BE ＝AB ＝15 cm，∴ CE ＝BC－BE ＝ 25－15 ＝10 (cm).
3. 已知正方形纸片 ABCD 的一条对角线 AC 的长为 4 cm， 求该正方形的边长和面积.（长度精确到 0.1 cm）
解:设正方形的边长为 x cm，则 x2 + x2 ＝ 42，
∴ S正方形 ＝x2 ＝ 8 (cm2).
即正方形的边长约为 2.8 cm，面积为 8 cm2 .
4. 已知菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度数之比 为 1 ∶ 2，求较短的对角线长.
解:如图，在菱形 ABCD 中，AB ＝BC，AD∥BC.∴ ∠BAD + ∠B ＝180°.又∵ ∠B ∶ ∠BAD ＝1 ∶ 2，∴ ∠B ＝ 60°，∠BAD ＝ 120°.连结 AC，则△ABC 为等边三角形，
即菱形较短的对角线长为 5 cm.
5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AB = CD. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明:如图，连结 AC.在 Rt△ABC 和 Rt△CDA中，∵ AC ＝CA，AB ＝ CD，∴ Rt△ABC ≌ Rt△CDA，∴ BC ＝ DA，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
又∵ ∠B ＝ 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为边 AD 的中点，菱形 ABCD 的周长为 28，求 OH 的长.
解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝BC ＝CD ＝AD，AC ⊥ BD.∵ 菱形 ABCD 的周长为 28，
∵ H 为边 AD 的中点，∴ OH 为 Rt△AOD 斜边上的中线，
7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，四边形 ABDE、 AGFC 都是正方形，求证：BG = EC.
证明: ∵ 四边形 ABDE、AGFC 都是正方形，∴ AB ＝AE，AG ＝AC，∠BAE ＝∠CAG ＝ 90°，∴ ∠CAE ＝ 90°－∠BAC，∠GAB ＝ 90°－∠BAC，∴ ∠CAE ＝∠GAB，∴ △ABG≌△AEC，∴ BG ＝ EC.
8. 如图，在 □ ABCD 中，∠DAB = 60°，AB = 2AD，点 E、 F 分别是 AB、CD 的中点. 求证：四边形 DEBF 是菱形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，AB ＝ CD.∵ 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，
又∵ BE∥DF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.∵ AB ＝ 2AD，∴ AD ＝ AE.又∵ ∠DAB ＝60°，∴ △ADE 是等边三角形，∴ DE ＝ AE.
∴ DE ＝BE，∴ 四边形 DEBF 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
9. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点，以 BD 为边作等边三角形 BDE，连结点 A、E， 求证：四边形 AEBF 是矩形.
证明:在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点，∴ AF 和 BD 是等边三角形 ABC 的两条高，∠ABC ＝ 60°，∴ AF ＝ BD，且 AF ⊥ BC，BD平分∠ABC，∠CBD ＝ 30°.
又∵ △BDE 是等边三角形，∴ BE ＝ BD，∠DBE ＝ 60°，∴ BE ＝ AF，∠EBF ＝∠DBF + ∠CBD ＝ 60°+ 30° ＝ 90°，∴ EB ⊥ BC.又∵ AF ⊥ BC，∴ BE∥AF，∴ 四边形 AEBF 是平行四边形.又∵ ∠EBF ＝ 90°，
∴ 四边形 AEBF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为边 AB 的中点，AE//CD，CE//AB，试判断四边形 ADCE 的形状， 并证明你的结论.
解:四边形 ADCE 是菱形. 证明如下:∵ AE∥CD，CE∥AB，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，点 D 为边 AB 的中点，
∴ AD ＝ CD. ∴ 四边形 ADCE 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
11. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE//CA，AE//BD.（1）求证：四边形 AODE 是菱形；（2）若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改为“菱形 ABCD”，其余条件不变，则四边形 AODE 是怎样的四边形？请给出证明.
（1）证明:∵ DE∥CA，AE∥BD，∴ 四边形 AODE 是平行四边形.∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OA ＝OD，∴ 四边形 AODE 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
（2）解: 四边形 AODE 是矩形. 证明如下:∵ DE∥CA，AE∥BD，∴ 四边形 AODE 是平行四边形.∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD，∴ ∠AOD ＝ 90°，∴ 四边形 AODE 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
12. 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点 D，DE ⊥ BC 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F.（1）求证：四边形 CFDE 是矩形；（2）求证：四边形 CFDE 是菱形.
证明:（1）∵ DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，∴ ∠DEC ＝∠DFC ＝ 90°.又∵ ∠C ＝ 90°，∴ 四边形 CFDE 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
（2）如图，过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G.由（1）知四边形 CFDE 是矩形，∴ CF ＝ DE，DF ＝ CE.∵ AD 平分∠CAB，DF ⊥ AC，DG ⊥ AB，∴ DF ＝ DG.同理，DE ＝ DG，∴ DE ＝ DF，∴ CF ＝DE ＝DF ＝ CE，∴ 四边形 CFDE 是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
13. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是另一个正方形 A'B'C'O 的一个顶点，如果这两个正方形的边长相等，那么正方形 A'B'C'O 绕点 O 无论怎样旋转，这两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，想一想，这是为什么？
解: 如图，设 A′O、C′O 分别交 AB、BC 于点 E、F .∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ OA ＝ OB，∠OAE ＝∠OBF ＝ 45°，∠AOB ＝ 90°.
又∵ ∠A′OC′ ＝ 90°，∴ ∠AOE + ∠BOE ＝ ∠BOF + ∠BOE ＝ 90°，∴ ∠AOE ＝∠BOF，∴ △AOE ≌ △BOF，∴ S△AOE ＝S△BOF .
∵ 正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′O 的边长相等，
∴ S正方形ABCD ＝S正方形A′B′C′O ，
∴ 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一.
提示: 根据矩形和菱形的判定定理画图.
14. 尽可能多地用各种方法分别作一个矩形和一个菱形.
15. 如图，在△ABC 中，边 BC 上是否存在点 P，过点 P 分别 作 AB、AC 的平行线，交 AC 和 AB 于点 D、E，使四边形 ADPE 为菱形？请说明理由.
解: 存在.如图，作∠BAC 的平分线交 BC 于点 P，过点 P 作 PD∥AB，PE∥AC，分别交 AC、AB 于点 D、E，则四边形 ADPE 为菱形. 理由:∵ PD∥AB，PE∥AC，∴ 四边形 ADPE 为平行四边形，∠1＝∠2.∵ AP 平分∠BAC，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3，∴ PD ＝ AD，∴ 四边形 ADPE 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
16. 如图，根据图形解答下列问题：（1）以 △ABC 的三边为边分别作等边三角形 ACD、等边三角形 ABE 和等边三角形 BCF，判断四边形 ADFE 的形状.
解:（1）四边形 ADFE 为平行四边形. 理由如下:∵ △BCF 和△ABE 都是等边三角形，∴ BC ＝ BF，BA ＝ BE，∠CBF ＝∠ABE ＝ 60°.∴ ∠ABC ＝ 60°－∠FBA，∠EBF ＝ 60°－∠FBA，∴ ∠ABC ＝∠EBF，∴ △ABC≌△EBF，∴ AC ＝EF.同理得△ABC≌△DFC，∴ AB ＝ DF.∵ AC ＝AD，AB ＝AE，∴ EF ＝AD，DF ＝AE.∴ 四边形 ADFE 是平行四边形.
（2）不一定存在□ ADFE. 理由如下:当∠BAC ≠ 60°时，由（1）知，四边形 ADFE 是平行四边形，此时存在 □ ADFE.
（2）在小题（1）中，是否一定存在 □ ADFE？若存在，写出 △ABC 应满足的条件；若不一定存在，请说明理由·
（3）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是矩形？（4）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是菱形？（5）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是正方形？
（3）当∠BAC ＝150°时，四边形 ADFE 是矩形.（4）当AB ＝AC ≠ BC 时，四边形 ADFE 是菱形.（5）当∠BAC ＝150°，AB ＝AC 时， 四边形 ADFE 是正方形.
17. 如图，已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG，连结 DE， 以 DE 为边作正方形 EDHI. 试用该图形证明勾股定理： CD² + CE² = DE².（提示：运用面积割补法）
证明: 如图，过点 I 作 IY ⊥ BC 于点 Y，设 HI 与 BC 相交于点 N，DE 与 GF 相交于点 M.∵ AB ⊥ BC，IY ⊥ BC，∴ AB∥IY，∴ ∠1＝∠2.∵ ∠1 + ∠4 ＝90°，∠2 + ∠3＝90°，∴ ∠3＝∠4.又∵ ∠A ＝∠IYE ＝90°，DH ＝EI，∴ △ADH ≌ △YEI，∴ S△ADH ＝ S△YEI ，AH ＝ YI.
∵ ∠9 +∠11＝90°，∠10 + ∠11＝90°，∴ ∠9 ＝ ∠10.又∵ ∠A ＝∠DCE ＝90°，DA ＝ DC，∴ △ADH ≌ △CDE，∴ AH ＝ CE.∵ CG ＝CE，∴ AH ＝ CG.∵ IY ＝AH，CE ＝EF，∴ IY ＝ EF.∵ HI∥DE，∴ ∠5＝∠7.∵ ∠5 + ∠1＝90°，∠7 + ∠8＝90°，∴ ∠1＝∠8.∵ ∠IYN ＝∠F ＝90°，∴ △IYN≌△EFM，∴ S△IYN ＝S△EFM .