华东师大版（2024）八年级下册（2024）本章综合与测试单元测试精练

这是一份华东师大版（2024）八年级下册（2024）本章综合与测试单元测试精练，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 3，BC=4，则△OEF的周长为（ )。
A．6B．63C．2+3D．2+23
2．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BCD=70°，则∠BOE的大小为（ ）
A．20°B．25°C．35°D．55°
4． 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
下列说法正确的是（ ）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
5．如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF=4，则BC=（ ）
A．2B．2C．4D．8
6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6B．12C．15D．24
7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（ ）
A．13B．18C．15D．16
8． 如图，已知菱形ABCD的边长为7，∠ABC=80°，延长BC至点E，射线CF在∠DCE的内部且满足∠DCF=50°，过点D作DG⊥CF交CF于点G，过点G作GH⊥CE交CE于点H. 若GH=1，则线段BD的长为（ ）
A．37B．27C．33D．23
9．如图，△ABC和△DEF是两个相同的含30°角的直角三角板，将两个三角板的最长边AB和DE放在直线l上，使得点 D 与点A 重合，固定三角板ABC，从点 A 开始，将三角板DEF沿射线AB移动，当点 E与点 B 重合时，停止移动．在移动的过程中，四边形EFBC的形状依次为平行四边形→①→平行四边形→②→平行四边形， 则①，②分别代表（ ）
A．菱形，矩形B．矩形，菱形C．菱形，菱形D．矩形，矩形
10．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝22．则CE＝ ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F分别为边BC，AD上的点，连接EF，BD交于点G，若DE平分∠CEF，BG=BE，则DF的长为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=2，则菱形ABCD的边长为 ．
14．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是 ．
15．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC与BE相交于点F，则∠AFE= ．
16．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB，BC于E，F两点，AE=6，CF=2，则△EOF的面积为 ．
三、解答题
17．数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
提出问题：（1）观察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕PQ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在PQ上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BH、线段BA'；
提出问题：（2）已知AB=DC=PQ=10，AD=BC=16，求AH的长．
18．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）连接BE，交AC于点F，连接DF，若AC=10，BD=12，求DF的长.
19． 如图，在正方形 ABCD 中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，AF=AE，连结BE，DE，BF.
（1）求证：BF=DE；
（2）当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件不变)，四边形 AFBE 是正方形吗?请说明理由.
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线．连接DF，EF．判断四边形ADFE形状，并说明理由．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF．连结 BD，EF交于点 O.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形.
（2）若BD⊥EF，△CBF的周长是12，求平行四边形ABCD 的周长.
22．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为S1，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=43S2.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，CH=5，连接DH，DG，判断△DHG的形状.
23．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形，
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 .
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE=AF=CG且∠DGC=∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.
24．【问题提出】
（1）如图①，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，连接EF，若EF=3，则正方形ABCD的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF，试判断△AEF的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边CD上，已知．AD=CD=120米，DE=40米，BC=160米，∠ADC=∠C=90°，AE、BE为果园内两条小路，现在BE的中点F处修建一个临时库房，沿DF修一条运输通道．
①判断△AEB的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度DF．
25．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
（1）【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM=___________°；
（2）【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
（3）【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为4，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当QF=1cm时，请求出AP的长．
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=12AC， OD=12BD，AC=BD，
∴AC=AB2+BC2=8，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF=12AD=2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=12OA，即可求出△OEF的周长.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由图知，BC = 8 - 2 = 6cm，∵ D 为 BC 中点，且∠ BAC = 90°，
∴AD =12 BC =12× 6 = 3cm。
故选：A．
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，即斜边上的中线长度等于斜边的一半。解题时先由刻度尺读数求出 BC 的长度，再结合 D 为 BC 中点及 ∠ BAC = 90°，直接运用该性质计算 AD 的长。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=70°，
∴AC平分∠DAB，∠AOB=90°，∠BAD=∠BCD=70°，
∴∠BAO=12∠BAD=35°，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE+∠BAO=90°，
∵∠AOB=90°
∴∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠BOE=∠BAO=35°，
故选：C．
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分结合同角的余角相等可得∠BOE=∠BAC，再由菱形的对角相等且一条对角线平分一组对角即可．
4．【答案】C
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF=4，
∴AM2=4，
∵AM>0，
∴AM=2，
∵在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴BC=2AM=4，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式S=a2（a为边长），由S正方形AMEF=4可求出边长AM的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得BC=2AM，代入AM的数值即可计算出BC的长度。
6．【答案】B
【解析】【解答】在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为6×84=12．
故选：B．
【分析】本题主要考查矩形的性质与全等三角形的应用。解题思路是通过证明三角形全等将阴影部分面积转化为矩形面积的四分之一。由矩形对角线互相平分且相等，得 AO = CO，结合对顶角相等及内错角相等可证 △ AOE≡△ COF，从而阴影部分面积等于 △CDO 的面积，而矩形对角线将其分成四个面积相等的三角形，故阴影面积为14×8×6 = 12。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，
∴△BFC和△BEC都是直角三角形，
又∵点M为BC的中点，
∴MF=EM=12BC，
∴△EFM的周长=MF+EM+EF=BC+EF=8+5=13．
故选：A．
【分析】根据直角三角形判定定理可得△BFC和△BEC都是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=EM=12BC，再根据三角形周长即可求出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴OD=CD2−OC2=7−4=3，
∴BD=2OD=23，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得EF=AB,EF∥AB，则四边形EFBC是平行四边形，当点D与点B重合时，∠EFB=90°，此时四边形EFBC是矩形，再移动时四边形EFBC是平行四边形，当BC=BF时，四边形EFBC是菱形，再移动时四边形EFBC是平行四边形，
所以四边形EFBC的形状依次为平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形．
则①②分别代表矩形，菱形．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°．
∵∠ABC=90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°．
在△ABE和△ADE中，
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD，
∴△ABE≌△ADESAS．
∴BE=DE．
∴DE=FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE．
由①知：OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE．
∴∠OFB=∠ADE．
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°．
∴∠OFB+∠AHD=90°．
即：∠FMH=90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB=∠ADE．
即：∠BFG=∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=42．
∴DE=12AC=22．
由①知：FG=DE，
∴FG的最小值为22，
∴④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故答案为：A．
【分析】①如图，连接BE， 交FG于点O
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形EFBG为矩形，则BE=FG；再证△AEB≌△AED（SAS），得DE=BE，等量代换得DE=FG；
②结合①结论由△ABE≌△ADE， 得OF=OB，则∠OBF=∠OFB；由∠OBF=∠ADE，则∠OFB=∠ADE，由四边形ABCD为正方形，得∠BAD=90°，即∠AHD+∠ADH=90°，所以∠AHD+∠OFH=90°，即∠FMH=90°，垂直定义得DE⊥FG；
③由②中的结论DE⊥FG，∠OFB=∠ADE =45°，可得∠BFG=∠ADE=45°；
④由点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短，此时DE最小，AC为22，由①知FG=DE，则FG为22，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
11．【答案】1
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝12BD＝2，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴在Rt△CEO中，由勾股定理可知：CE=OC2−OE2=2−1=1，
故答案为：1．
【分析】先利用矩形的性质求出OA＝OC＝OD＝OB＝12BD＝2，再结合OE＝1，CE⊥BD，利用勾股定理求出CE的长即可.
12．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠FMB=90°，
∴四边形ABMF是矩形，
∴FM=AB=3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴∠C=90°，CD=AB=3,AD=BC=4，AD∥BC，
∴BD=BC2+CD2=5，
设AF=BM=x，则DF=4−x，
∵BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG，
∵AD∥BC，
∴∠DFG=∠BEG，
∵∠BGE=∠DGF，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DG=DF=4−x，
∴BG=BE=BD−DG=1+x，
∴ME=BE−BM=1，
∴EF=FM2+ME2=10，
∵DE平分∠CEF，
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴∠FDE=∠DEC，
∴∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF=10．
故答案为：10．
【分析】过点F作FM⊥BC于点M，根据矩形性质可得∠A=∠ABC=∠FMB=90°，根据矩形判定定理可得四边形ABMF是矩形，则FM=AB=3，再根据矩形性质可得∠C=90°，CD=AB=3,AD=BC=4，AD∥BC，根据勾股定理可得BD，设AF=BM=x，则DF=4−x，根据等边对等角可得∠BGE=∠BEG，根据直线平行性质可得∠DFG=∠BEG，则∠DFG=∠DGF，根据等角对等边可得DG=DF=4−x，再根据边之间的关系可得ME，再根据勾股定理可得EF，再根据角平分线定义可得∠DEF=∠DEC，根据直线平行性质可得∠FDE=∠DEC，则∠FDE=∠DEF，再根据等角对等边即可求出答案.​​​​​​​
13．【答案】4
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，
∴∠AOB=90°，
∵E为AB的中点，且OE=2，
∴AB=2EO=4．
故答案为：4．
【分析】根据菱形的性质得到∠AOB=90°，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出EO=12AB，计算即可解答．
14．【答案】①③
【解析】【解答】解：①如下图，
∵PM∥CN ，
∴∠PMN=∠MNC ，
∵折叠，∴∠MNC=∠PNM ，NC=NP
∴∠PMN=∠PNM ，
∴PM=PN ，
∴PM=CN，
∵MP∥CN ，
∴四边形CNPM 为平行四边形，
∵CN=NP ，
∴平行四边形CNPM 为菱形，
∴此结论正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设BN=x ，则AN=MC=8−x ，
在RtΔABN 中，AB2+BN2=AN2 ，
即42+x2=(8−x)2 ，
解得：x=3 ，
∴CN=5 ，AC=AB2+BC2=45 ，
∴CQ=12AC=25 ，
又∵四边形CNPM 为菱形，
∴AC⊥MN ，且MN=2QN ，
∴QN=CN2−CQ2=5
∴MN=2QN=25 ，
∴此结论错误，不符合题意；
③当MN 过点D时，如图3所示：
此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S最小为S=14SCMPS=14×4×4=4 ，
当P点与A点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S最大为S=14×5×4=5 ，
∴4≤S≤5 ，
∴此结论正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CMPN是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CMPN是菱形；
②当点P与点A重台时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CQN中，用勾股定理求出QN的值，然后根据MN=2QN可求解；
③当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可求解．
15．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，等边三角形ADE，
∴AB=AE=AD，∠BAD=90°，∠CAD=45°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=105°，
∴∠AEB=∠ABE=180°−∠BAE2=15°，
∴∠AFE=180°−∠CAE−∠AEB=60°，
故答案为：60°．
【分析】
本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等，对角线平分对角，四个角都是90°，再根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°，由此可得：AB=AE=AD，∠BAD=90°，∠CAD=45°，∠DAE=60°，
根据角的和差运算可知：∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=105°，根据等腰三角形的性质，等边对等角可得：∠AEB=∠ABE=180°−∠BAE2=15°，最后根据三角形内角和定理在△AFE中，∠AFE=180°−∠CAE−∠AEB=60°，由此可得出答案．
16．【答案】10
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBO=∠FCO=45°，BO=CO，∠BOC=90°，AB=BC，
∴∠BOF+∠COF=90°．
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠COF=∠BOE，
∴在△COF和△BOE中，
∠COE=∠BOECO=BO∠FCO=∠EBO，
∴△COF≌△BOEASA，
∴BE=CF=2，OE=OF,
∴AB−BE=BC−CF，即AE=BF=6，
∴在Rt△BEF中，EF=BF2+BE2=22+62=210，
∴OE=OF=25，
∴S△EOF=12OE⋅OF=12×25×25=10，
故答案为：10．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用，先根据正方形的性质得到∠EBO=∠FCO=45°、BO=CO、∠BOC=90°，结合OE⊥OF推出∠COF=∠BOE，进而证明ΔCOF≅ΔBOE，得到BE=CF=2、OE=OF，再求出BF=AE=6，在RtΔBEF中用勾股定理求出EF，进而求出OE和OF的长度，最后用三角形面积公式计算ΔEOF的面积。
17．【答案】解：（1）猜想∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°，证明如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由折叠的性质得：AN=BN，AB=BN，∠ABM=∠MBN，
∴AN=BN=AB，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠MBN=12∠ABN=30°，∠NBC=∠ABC−∠ABN=30°，
∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°．
（2）∵AB=DC=PQ=10，AD=BC=16，
∴由折叠的性质得：AP=12AD=8，BQ=12BC=8，A'B=AB=10，A'H=AH，PQ⊥AD，PQ⊥BC，
∴A'Q=A'B2−BQ2=6，
∴A'P=PQ−A'Q=10−6=4，
设A'H=AH=x，则PH=AP−AH=8−x，
在Rt△A'PH中，A'P2+PH2=A'H2，即42+8−x2=x2，
解得x=5，
∴AH=5．
【解析】【分析】(1)本题考查矩形的折叠性质、等边三角形的判定与性质，先根据矩形的性质得到∠ABC=90°，再由折叠的性质得到AN=BN，AB=BN，∠ABM=∠MBN，推出ΔABN为等边三角形，得到∠ABN=60°，进而求出三个角的度数并证明相等；
(2)本题考查矩形的折叠性质和勾股定理，先由折叠的性质得到AP=12AD=8，A'B=AB=10，A'H=AH，且PQ⊥BC，在RtΔA'BQ中利用勾股定理求出A'Q的长，进而得到A'P的长，设AH=x表示出PH，在RtΔA'PH中利用勾股定理列出关于x的方程，求解方程得到AH的长度。
18．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴OD⊥OC,OA=OC=12AC，
∵DE=12OC，
∴DE=OC，
∵DE//OC，
∴四边形OCDE是平行四边形，
∵OD⊥OC，
∴∠DOC=90∘，
∴△OCDE是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD，
∴OB=OD=6,OD⊥OC，
∴∠BOF=∠DOF=90∘，
在△BOF与△DOF中，
OB=OD∠BOF=∠DOF=90∘,OF=OF
∴△BOF≅△DOFSAS，
∴DF=BF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵矩形OCED，
∴∠BDF+∠FDE=90∘,∠DBE+∠BED=90∘，
∴∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF，
∴DF=BF=EF=12BE=12BD2+DE2=12
×122+52=12×13=6.5
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得出OD⊥OC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质得出OB=OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠DAE.
又∵AF=AE，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，
∴BF=DE
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.
理由：∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，BE=AE=12AC.
又∵AF=AE，∴BE=AF.
∵BE⊥AC，AF⊥AC，∴BE∥AF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
又∵∠EAF=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
(2)利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可.
20．【答案】解：四边形ADFE为矩形，理由是：∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，
∴点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，
∴DF,EF分别是△ABC的中位线，
∴DF∥AC,EF∥AB，
∴四边形ADFE为平行四边
又 ∵∠BAC=90°，
∴平行四边形ADFE为矩形．
【解析】【分析】四边形ADFE为矩形．首先根据三角形中位线定理可得出DF∥AC,EF∥AB，即可得出四边形ADFE为平行四边形，进而再根据∠BAC=90°，即可得出四边形ADFE为矩形．
21．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD
∵AE=CF
∴AB－AE＝CD－CF，
∴EB＝DF，BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，
∵BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形，
∴DF=BF，
∵△CBF的周长是12
∴BF+CF+BC=DF+CF+BC=CD+BC=12.
∴平行四边形ABCD的周长=2(CD+BC)=24.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，由线段的和差可得EB＝DF，再由平行四边形的判定定理，即可得到结论；
（2）证明四边形DEBF是菱形，可得DF=BF，再结合△CBF的周长即可得到结论.
22．【答案】（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∴正方形ABCD的边长为12，
∴DE=12−a，
∴S1=43S2.
∴a2=43×12×(12−a)，
解得：a=8，或a=−24（舍去），
∴DE=12−8=4；
（2）解：△DHG是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠DCH=∠DCG=90°，CD=12，CG=8，
∴DH=CH2+CD2=52+122=13，
∵CH=5，
∴GH=CG+CH=13，
∴DH=GH，
∴△DHG是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）设正方形CEFG的边长为a，由题意可得DE=12−a，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得∠DCH=∠DCG=90°，CD=12，CG=8，再根据勾股定理可得DH，根据边之间的关系可得GH，则DH=GH，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）矩形（写一个即可）
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求.
（3）证明：在正方形 ABCD 中，
∵AF=CG，AB=BC，∴FB=BG，
∴∠AEF=∠AFE=45°，∠BFG=∠BGF=45°，
∴∠EFG=90°，∵∠A=∠C=90°，DA=DC，AF=CG，
∴△ADF≅△CDG(SAS)，
∴DF=DG，∵AD∥CB，
∴∠EDG=∠DGC，∴∠DGC=∠DEG，∴∠GDE=∠GED，
∴DG=EG，
∴DF=EG，
∴四边形 DEFG 是垂等四边形
【解析】【解答】解：(1)∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形.
【分析】(1)根据垂等四边形的定义判断即可；
(2)根据垂等四边形的定义画出图形即可；
(3)证明∠EFG=90°，EG=DF即可.
24．【答案】（1）6；
（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，
∴∠D=∠ABF=90°，∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴△ADE≌△ABFASA，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（3）①过点A作AG⊥BC于点G，如图③．
∵∠ADC=∠DCG=∠AGC=90°，
∴四边形ADCG是矩形．
∵AD=CD，
∴四边形ADCG是正方形，
∴∠GAD=90°，AG=CG=AD=CD=120米，
∴BG=BC−CG=40米=DE，
在△ABG和△AED中，
AG=AD∠AGB=∠ADEBG=DE，
∴△ABG≌△AEDSAS，
∴AB=AE，∠BAG=∠DAE，
即∠BAE=∠GAD=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形．
②连接AF、CF，取CE的中点M，连接FM，如图③．
∵F为BE的中点，△ABE和△BCE都是直角三角形，
∴AF=CF=12BE．
在△ADF和△CDF中，
AD=CDDF=DFAF=CF，
∴△ADF≌△CDFSSS，
∴∠CDF=45°．
∵点F、M分别为BE、CE的中点，
∴FM为△BCE的中位线，
∴FM=12BC=80米，FM∥BC，
∴∠DMF=∠DCB=90°，
即△DFM为等腰直角三角形，
∴DF=2FM=802米，
即该运输通道的长度DF为802米．
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴点E为BD中点，
∵点F为边CD的中点，
∴EF=12BC=3，
∴BC=6，
即正方形ABCD边长为6；
故答案为：6.
【分析】（1）根据正方形的性质求出点E为BD中点，再根据三角形的中位线求出EF=12BC=3，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的判定方法求出四边形ADCG是正方形，再利用SAS证明△ABG≌△AED，最后证明求解即可；
（3）利用SSS证明△ADF≌△CDF，再根据三角形的中位线求出FM为△BCE的中位线，最后计算求解即可.
25．【答案】（1）30
（2）解：如图，
同（1）可证∠ABM=60°，
∴∠CBM=∠ABC−∠ABM=90°−60°=30°，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，
由折叠知AB=BM，∠PMB=∠A=90°，
∴BC=BM，∠BMQ=∠C=90°，
在Rt△BMQ和Rt△BCQ中，
BC=BMBQ=BQ，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)，
∴∠MBQ=∠CBQ，
∴∠MBQ=12∠CBM=12×30°=15°
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形ABCD中，AD=CD=4，
∴DQ=QF+DF=1+12CD=1+2=3，
∴CQ=CD−DQ=4−3=1，
由（2）知Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)，
∴MQ=CQ=1，
设AP=x，由折叠知MP=AP=x，
∴PQ=MP+MQ=x+1，PD=AD−AP=4−x，
在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2，
∴(4−x)2+32=(x+1)2，
解得x=125，即AP=125cm；
当点Q在点F的上方时，如图，
则DQ=DF−QF=12CD−1=2−1=1，
∴CQ=CD−DQ=4−1=3，
∴MQ=CQ=3，
设AP=MP=x，
则PD=AD−AP=4−x，PQ=MP+MQ=x+3，
在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2，
∴(4−x)2+12=(x+3)2，
解得x=47，即AP=47cm；
综上可知，AP的长为125cm或47cm．
【解析】【解答】（1）解：如图，连接AM，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，
∴EF垂直平分AB，
∴AM=BM，AE=BE，
∵沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，
∴AB=BM，∠ABP=∠PBM，
∴AM=BM=AB，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠PBM=∠ABP=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由折叠的性质得AM=BM，AE=BE，AB=BM，∠ABP=∠PBM，从而得到△ABM是等边三角形即可求解；
（2）同（1）可证∠ABM=60°，再根据正方形的性质及折叠的性质由“HL”证明出Rt△BMQ≌Rt△BCQ，再由全等的性质即可推算出结果；
（3） 当QF=1cm时 ，点Q可以在点F的上方，也可以在点F的下方，分两种情况画出图形分别根据折叠的性质及勾股定理求解即可.
（1）解：如图，连接AM，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，
∴EF垂直平分AB，
∴AM=BM，AE=BE，
∵沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，
∴AB=BM，∠ABP=∠PBM，
∴AM=BM=AB，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠PBM=∠ABP=30°，
故答案为：30；
（2）解：如图，
同（1）可证∠ABM=60°，
∴∠CBM=∠ABC−∠ABM=90°−60°=30°，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，
由折叠知AB=BM，∠PMB=∠A=90°，
∴BC=BM，∠BMQ=∠C=90°，
在Rt△BMQ和Rt△BCQ中，
BC=BMBQ=BQ，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)，
∴∠MBQ=∠CBQ，
∴∠MBQ=12∠CBM=12×30°=15°
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形ABCD中，AD=CD=4，
∴DQ=QF+DF=1+12CD=1+2=3，
∴CQ=CD−DQ=4−3=1，
由（2）知Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)，
∴MQ=CQ=1，
设AP=x，由折叠知MP=AP=x，
∴PQ=MP+MQ=x+1，PD=AD−AP=4−x，
在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2，
∴(4−x)2+32=(x+1)2，
解得x=125，即AP=125cm；
当点Q在点F的上方时，如图，
则DQ=DF−QF=12CD−1=2−1=1，
∴CQ=CD−DQ=4−1=3，
∴MQ=CQ=3，
设AP=MP=x，
则PD=AD−AP=4−x，PQ=MP+MQ=x+3，
在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2，
∴(4−x)2+12=(x+3)2，
解得x=47，即AP=47cm；
综上可知，AP的长为125cm或47cm．
26．【答案】（1）解：是平行四边形，理由如下：
如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF//AC，EF=12AC，
同理HG//AC，HG=12AC，
综上可得：EF//HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同(1)得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH//AC，
∴GH⊥BD，
∵GF//BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得EF//AC，EF=12AC，HG//AC，HG=12AC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明；
（2）根据平行线的性质和垂直关系可得GH⊥BD，再推出∠HGF=90°，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形，即可求得.北北的作法：
如图1，在▱ABCD中，以点A为圆心，AD为半径作弧交边AB于点E，再以点D为圆心，AD为半径作弧交边DC于点F，连结EF，则得到的四边形AEFD是菱形．
仑仑的作法：
如图2，在▱ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧交边DC于点G，再以点G为圆心，AD为半径作弧交边AB于点H，连结GH，则得到的四边形AHGD是菱形．