2025-2026学年下学期湖南省长沙长郡中学高二数学5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期湖南省长沙长郡中学高二数学5月期中试卷含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 I 卷
一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的)
1. 已知集合 A=x∈N∣x20 的焦点为 F,C 上的点到 F 的距离等于到直线 x=−2 的距离,则 p=
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
4. 设 a>0,b>0 ,且 4+ab=a ,则 2a+b 的最小值为
A. 8 B. 6+42
C. 10 D. 9+42
5. 已知函数 fx=x2+2x,x≤0,ax2−bx,x>0 为奇函数,则 a+b=
A. -2 B. 0 C. -3 D. -1
6. 若事件 A,B 满足 PA=34,PB∣A=25,PA∪B=1 ,则 PB=
A. 1120 B. 310 C. 710 D. 34
7. 已知函数 fx=sinωxω>0,gx=x−1+x−2 ,若 ∃x∈1,2 ,使得 fx=gx 有解,则 ω 的最小值为
A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π
8. 已知函数 fx=x3+5x2−8x−7027 ,若 gx=fx−a+b 为偶函数,则 a+b=
A. 553 B. −653 C. −553 D. 653
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,则下列说法正确的是
A. 若 c=6,A=45∘,a=2 ,则 △ABC 有两组解
B. 若 A>B ,则 sinA>sinB
C. 若 sin2A=sin2B ,则 △ABC 为等腰三角形
D. S△ABC=abc4RR 为 △ABC 外接圆的半径)
10. 首项为正数的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S3=S10 ,当 Sn 取到最大值时, n 的取值是
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
11. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,球 O1 为其内切球,球 O2 为其外接球,点 P 是 AA1 的中点,则下列说法正确的是
A. 球 O1 与球 O2 的体积之比为 1:33
B. 点 P 到球 O2 表面的距离的最小值为 23−2
C. 若在正方体内部放置两个相互外切的球, 两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与 1 正方体的三个面相切,则这两个球的体积之和的最小值为 18−103π
D. 分别以正方体的四个顶点 A,C,B1,D1 为球心, 22 为半径作四个球,记这四个球的公共部分为几何体 Ω ,几何体 Ω 内能容纳的最大球的表面积为 44−166π
选择题答题卡
第 II 卷
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. x+3x5 的展开式中 x3 的系数是_____.
13. 已知函数 fx=2aex−x2 在区间 13,3 上单调递增，则实数 a 的取值范围为_____.
14. 已知向量 a,b 满足 a=2,b=4,⟨a,b⟩=π3 ，若 c=a+λb,λ∈R ，且 m,n 分别是 c 在 a,b 上的投影向量，则 m+n 的最小值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 fx=2sinxcsx+23cs2x−3 .
(1)求函数 fx 的最小正周期与单调增区间；
(2)在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 fA2=3 ，且 b+c=4 ，求 △ABC 面积的最大值.
16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 an 及其前 n 项和 Sn 满足 a1+2a4=21,S9=99 . 数列 bn 满足 b1b2b3⋯bn=2nn+12 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)若数列 cn 满足 cn=an−1bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC=π3 ， △PBD 是正三角形， BD =PC=23,E 为 PD 上一点.

(1)证明: PA⊥ 平面 ABCD ；
(2)若 PB// 平面 AEC ，求二面角 B−CE−D 的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=x+ax−3lnx .
(1)当 a=−2 时,求曲线 y=fx 在 1,f1 处的切线方程；
(2)若 fx 有两个极值点 x1,x2x1b ，再由正弦定理可知 B 正确；
若 sin2A=sin2B ，则 2A=2B 或者 2A+2B=π ，所以 △ABC 为等腰三角形或者直角三角形，故 C 错误；
由正弦定理 csinC=2R 和面积公式 S△ABC=12absinC ,可知 S△ABC=12absinC=12absinC2R=abc4R ，故 D 正确. 故选 ABD.
10.BC 因为首项为正数,且 Sn 有最大值,则等差数列 an 的公差 d0 ， 5 分
因为 fx 有两个极值点,所以 x2−3x−a=0 在 0,+∞ 上有两个不相等的根, 6 分
又 x1+x2=3 ,则只需要 Δ=9+4a>0,x1x2=a>0, 解得 −94