湖南省长郡中学2025-2026学年上学期期末高二数学试卷含答案

这是一份湖南省长郡中学2025-2026学年上学期期末高二数学试卷含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（★）在数列{an}中，an+2=an+1−an，a1=3，a2=5，则a4=
A. −3B. 9
C. −5D. 13
2.抛物线y=14x2的焦点坐标为
A.116,0B.0,116
C.(1,0)D.(0,1)
3.过函数f(x)=13x3−x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围为
A.0,3π4B.0,π2∪3π4,π
C.3π4,πD.π2,3π4
4.近二十年以来，中国载人航天飞速发展，特别是从2025年11月5日到25日，短短20天里，中国航天科学家为国际航天领域应对突发事件树立了成功范例.2025年11月25日神舟二十二号应急发射成功，神二十二与神二十乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神二十和神二十二每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有
A.72种B.144种C.180种D.288种
5.（★）已知点Q(6,10,−1)，平面α={P|n·PQ→=0}，其中n=(2,1,2)，则点A(−1,0,1)到平面α的距离是
A.103B.2
C.203D.3
6.过点(0,1)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2−6y=0于A，B两点，则弦AB的长为
A.10B.210
C.22D.42
7.（★）已知a=ln66，b=1e，c=2ln39，则a，b，c的大小关系为
A.a>b>cB.b>a>c
C.a>c>bD.b>c>a
8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是
A. 18,814B. 274,814
C. 274,643D. [18,27]
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知椭圆C:x216+y212=1的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则
A. ∆PF1F2的面积最大值为8
B. ∆PF1F2的周长为12
C. |PF1|的最小值为3
D. |PF1|·|PF2|的最大值为16
10.（★）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列. 从第1行开始，第n行从左到右的数字之和记为an，如a1=1+1=2，a2=1+2+1=4，…，{an}的前n项和记为Sn，则下列说法正确的是
A. 在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120
B. S9=2046
C. 在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为Cn+13
D. 2anSn·Sn+1的前n项和为12−12n+2−2
11. 已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交抛物线C于P，Q两点，则
A. 抛物线C的焦点到准线的距离为12
B. 直线AB与抛物线C有两个交点
C. |OP|·|OQ|>|OA|2
D. |BP|·|BQ|>|BA|2
选择题答题卡
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.（★） 5x2−x6 展开式中的常数项为 ______ .
13. 当直线 ax+2y+2=0 与直线 x+(a−1)y+1=0 平行时，a= ______ .
14. 双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线的右焦点 F2 发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点 F1. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质. 某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点 F2 发出一对方向相反的光线分别经双曲线上的点A和点B反射后，满足 DA⊥AB，tan∠ABC=−12，则 |AF2||BF2|= ______ ，该双曲线的离心率为 ______ .
四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，E 为 AD 的中点，AD⊥ 平面 PAB，PA⊥PB，M 为 PB 的中点.
（1） 求证：EM∥ 平面 PCD；
（2） 若 AP=AD，AB=2AD，求直线 EM 与平面 PCE 所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
设函数f(x)=alnx+2x−2x+3，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处取得极值.
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)的极值点.
17.（本小题满分15分）
已知等比数列{an}(n∈N∗)为递增数列，且a32=a6，5a3=2a2+2a4.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=4n−2an(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Snb>0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(2+1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，且点P不在椭圆上，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D。
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2=1；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。
19.（本小题满分17分）
圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度. 设函数f(x)的定义域为D，其导数为f'(x)，f'(x)的导数为f''(x)，x0∈D，将K(x0)=|f''(x0)|[1+(f'(x0))2]32称为曲线y=f(x)在x0处的曲率，曲率越大弯曲程度越大.
（1）求y=ex在x=0处的曲率K(0)；
（2）用半圆y=r2−x2(r>0)的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理；
（3）设f(x)=3x2lnx−ax3−92x2+ax，若存在x1，x2(00，当x>2时，f′(x)0)，
当0