湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页.时量 120 分钟.满分 150
分.
第 I 卷
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部是（ ）
A. i B. 1 C. D. 2
3. 函数 有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A B. C. D. 或
4. 现从含甲、乙在内的 10 名特种兵中选出 4 人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为
（ ）
A. B. C. D.
5. 中国的 技术领先世界， 技术中的数学原理之一是香农公式： ，它表示在被高
斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率 取决于信道带宽 ､信道内所传信号的平均功率 ､信道内部
的高斯噪音功率 的大小，其中 叫做信噪比.若不改变带宽 ，而将信噪比 从 1000 提升至 2500，则
大约增加了（ ）（附： ）
A. B. C. D.
6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
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7. 已知函数 的图象关于点 中心对称，则（ ）
A. 函数 的图象可由 向左平移 个单位长度得到
B. 函数 的图象可由 向左平移 个单位长度得到
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 上单调递增
8. 已知函数 ，若对任意实数 ，不等式 总成立，则实数
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列结论中，正确 有（ ）
A. 数据 4，1，6，2，9，5，8 的第 70 百分位数为 5
B. 若随机变量 ，则
C. 若 ，且 ，则 C，D 相互独立
D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 ，依据小概率值 的 独立性检
验（ ），可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001
10. 曲线 E 上任意一点 P 到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 8，则下列说法中正确的有
（ ）
A. 曲线 E 经过点
B. 曲线 E 上点的横坐标的取值范围是
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C. 曲线 E 围成的区域面积大于
D. 曲线 E 上横纵坐标均为整数的点仅有 6 个
11. 已知函数 与 的定义域均为 ，且 ，若
为偶函数，则（ ）
A. 函数 的图象关于直线 对称 B.
C. 函数 的图象关于点 对称 D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ，且 ，则 的最小值是________．
13. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，若
，且 ，则 的面积为________．
14. 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放
入另一口袋，重复 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 ，恰有 2 个黑球的概率为 ，恰有 1 个黑
球的概率为 ，则 ______， 的数学期望 ______.（用 表示）
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 的前 n 项和为 ，点 在直线 上， ．
（1）求数列 的前 n 项和 以及数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，设数列 的前 n 项和为 ，求 的最小值．
16. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形，点 E 是棱 PD 上 一点， 平面 AEC．
（1）求证：点 E 是棱 PD 的中点；
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（2）若 平面 ABCD， ，PC 与平面 ABCD 所成角的正切值为 ，求二面角
的正切值．
17. 在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现
正面的概率为 ，且 ，每次掷游戏币的结果相互独立.
（1）当 时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率；
（2）若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷 6 次.
①甲在一轮游戏中恰好投掷了 5 次游戏结束的概率为 ，求 的表达式；
②设甲在一轮游戏中投掷次数为 ，求 的最大值.
18. 已知函数 ， .
（1）求函数 值域；
（2）设函数 ，证明： 有且只有一个零点 ，且 .
19. 如图，双曲线 ： 的虚轴长为 2，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上
一点 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， .
（i）当 时，求 取值范围；
（ii）当 时，求 的最小值.
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