2025-2026学年下学期湖南省长沙长郡中学高三数学5月月考九试卷含答案

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)
1. 设全集 U={x∣x 是小于 9 的正整数 } ，集合 A={1,3,5} ， B={2,4,5,6} ，则(C) u 内) N B =
A. {2,4} B. {2,6} C. {2,4,6} D. {4,5,6}
2. 已知向量 a=−2,4,b=2,x ,若 a//b ,则 a−b=
A. 27 B. 36 C. 45 D. 46
3. 在复平面内,复数 z 对应的点的坐标是 −1,2 ,则复数 5iz 的虚部是
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 设 fx 是定义在 R 上且周期为 2 的奇函数,当 00 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在 C 的渐近线上, PF2 与 x 轴垂直，点 Q 在 x 轴上， PF1⊥PQ . 若 F1F2=2F2Q ，则 C 的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
7. 函数 fx=32sinπx−3x−x2 所有零点的和等于
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 在空间直角坐标系 Axye 中,点 Mx1,y1,z1,Nx2,y2,z2 ,定义 dM,N=x2−x1+ y2−y1+z2−z1 . 如图，正方体的棱长为5， DE=23DC . 平面 yAz 内两个动点 P,G 分别满足 dG,A=1,∠APB=∠DPE ,则 PG 的取值范围为

A. 2,16 B. 3,15 C. 4,15 D. 4,16
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)

2. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,00 ,二项式 x+ax26 的展开式中所有项的系数和为 64,则展开式中的常数项为_____.
13. 已知曲线 y=ex 在 x=0 处的切线 l 与圆 C:x−12+y2=4 相交于 A,B 两点,则 AB= _____.
14. 已知数列 an 的通项公式是 an=13−n,n2m, 为数列 an 的前 n 项和,当 a20=2 时, m= _____; 若存在 n ,使得 Sn≤0 ,则 m 的最小值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 c=2bsinA .
(1)若 tanA=2 ，求 tanB 的值；
(2)求 a2+b2ab 的最大值.
16.(本小题满分 15 分)

如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，平面 A1BC⊥ 侧面 ABB1A1 ，且 AA1 =AB=2 .
(1)求证: BC⊥AB .
(2)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 π6 ，请问在线段 A1C 上是否存在点 E ,使得二面角 A−BE−C 的大小为 2π3 ? 若存在,请求出 E 的位置; 若不存在,请说明理由.
17.(本小题满分 15 分)
某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有 3 局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计. 具体规则如下:
游戏 I :抛掷质地均匀的相同硬币.
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得 100 元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜, 得 500 元奖金; 第 3 局, 抛四枚, 向上的图案相同则获胜, 得 900 元奖金.
游戏 II 抛掷质地均匀的特殊骰子 (三组对面分别标记 0,2,6 的骰子).
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得 300 元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得 600 元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是 2;0,2,6 (不计顺序)则获胜，得 900 元奖金.
(1)求游戏 I 第 2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的 3 位员工均选择游戏 I ，设 X 为前两局均未获胜的人数，求 X 的分布列和数学期望；
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
18.(本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32 ,点 1,32 在 C 上, A,B 为 C 的左、右顶点.
(1)求 C 的方程.
(2)过点 4,0 作直线与椭圆 C 交于两点 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ( M 在第一象限)，直线 AM ， BN 分别交 y 轴于 P,Q 两点.
(1)试探究:是否存在常数 λ 使得 OQ=λOP ? 若存在,求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由.
(ii)当 △PQM 面积取最大值时,求出 x1 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ex−ax 和 gx=bsinx 的定义域均为 [0,+∞) ,其中 a,b∈R .
(1)求 fx 的极值.
(2)若 ∃x0>0 ，使得 fx0=gx0 .
(i) 当 a=0 时，求 b 的取值范围;
(ii) 求证: a2+b2>e22 .
高三数学模拟卷一参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1.C 因为 U={1,2,3,4,5,6,7,8} ,所以 ∁UA={2,4,6,7,8} ,又 B={2,4,5,6} ,所以 ∁UA∩B={2,4,6} .
2. C 由向量 a=−2,4,b=2,x ,因为 a//b ,可得 −2×x=4×2 ,解得 x=−4 ,
所以 b=2,−4 ,则 a−b=−4,8 ,所以 a−b=−42+82=45 .
3. B 由题意, z=−1+2i ,则 5iz=5i−1+2i=5i−1−2i−1+2i−1−2i=−5i+105=2−i ,所以复数 5iz 的虚部是 -1 .
4. A 因为 fx 是定义在 R 上且周期为 2 的奇函数,
所以 fx+2=fx,f−x=−fx ,所以 f32=f−12+2=f−12=−f12 ,
因为当 00 ,解得 q=3 . 则 S8S4=1−q81−q4=1+q4=1+34=82 .

6. B 如图，不妨设点 P 在第一象限.
因为 PF2 与 x 轴垂直， PF1⊥PQ ,且 F1F2=2F2Q=2c ,
所以 PF2=F1F2⋅F2Q=2c ,
所以 P 点坐标为 c,2c ,所以 kOP=2=ba ,
所以 e=1+ba2=3 .

7. D 由 3x−x2=−xx−3≥0 ,解得 0≤x≤3 ,所以 fx 的定义域是 0,3 . 由 y=3x−x2 两边平方并化简,得 x2+y2−3x=0 ,
即 x−322+y2=94 ，所以 y=3x−x2 表示以 32,0 为圆心，半径为 32 的半圆.
由 fx=32sinπx−3x−x2=0 ,得 32sinπx=3x−x2 ,
fx 的零点,也即 y=32sinπx,x∈0,3 与半圆 y=3x−x2 的交点的横坐标,
y=32sinπx 与半圆 y=3x−x2 的图象都关于直线 x=32 对称,
画出 y=32sinπx,x∈0,3 与半圆 y=3x−x2 的图象如图所示,
由图可知,两个函数图象有 6 个交点,且两两关于直线 x=32 对称, f0=0,f1120,f10 ，
消去 y ,得 x2−2pkx−p2=0 ,于是 xAxB=−p2 ,
由 y=xB2px,y=−p2, 解得 xP=−p2xB=xA ,所以 AP⊥l .
对于选项 A ,根据抛物线的定义: 抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离,
从而有 AP=AF ,选项 A 正确;
对于选项 B ,因为 xAxB=−p2 ,所以 yAyB=xA22p⋅xB22p=p24 ,

从而 OA⋅OB=xAxB+yAyB=−p2+p24=−3p240,S29=2−129>0,k=16 时, S32=−16−12112π 时, ℎx0 ,
则 at+bsint−et=0 ,
即点 a,b 为直线 tx+ysint−et=0 上一点， a2+b2 表示点 a,b 到原点的距离,
显然,该距离不小于原点到直线 tx+ysint−et=0 的距离,
即 a2+b2≥ett2+sin2t ,即 a2+b2≥e2tt2+sin2t , 12 分
不妨设 ut=sint−t,t>0 ,则 u′t=cst−1≤0 ,
所以函数 ut 在 0,+∞ 上单调递减,则 ut=sint−t0 ,则 v′t=t−1e2tt3 ,
令 v′te22 . 17 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
B
A
D
B
D
A
ACD
ACD
ACD
X
0
1
2
3
P
125 -12
225 512
135 512
27 51