2025-2026学年下学期河南省南阳高二数学5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南省南阳高二数学5月期中试卷含答案，共11页。试卷主要包含了5 kg B等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知数列 0,−7,−26,−63,⋯ ,则该数列的通项公式可以为
A. an=7−7n B. an=1−n2 C. an=1−n3 D. an=n3−1
2. 已知 A,B,C,D 四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为 −0.95,−0.82,0.86,0.93 , 则线性相关程度最弱的是
A. A 组 B. B 组 C. C 组 D. D 组
3. 某网店的衣服从小到大有 S, M, L, XL, XXL, XXXL, XXXL,共 7 个尺码,其中 L 码最适合体重 65 kg 的人，XXXXL 码最适合体重 95 kg 的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等,则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为
A. 7.5 kg B. 6 s C. 7 kg D. 6 kg
4. 在等比数列 an 中, a5,a17 是方程 x2+225x+169=0 的两个解,则 a11=
A. -13 B. ±13 C. 25 D. ±25
5. 在数列 an 中, a1=3,anan+1=12csn−1π ,则 a2026=
A. -3 B. -4 C. 3 D. 4
6. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S110=5,S220=25 ,则 S330=
A. 80 B. 100 C. 105 D. 125
7. 设等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=3n−12n+1 ,则 a10b7=
A. 2915 B. 5821 C. 45 D. 5627
8. 已知数列 an 是首项为 3 的正项数列,则 “ an≥n⋅3n ” 是 “ nan+12−2n+3anan+1−3n+1 . an2≥0 ”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 小张读完某本书共需要 10 个小时,若他在 3 月 1 日, 3 月 2 日均未读这本书, 且在 3 月 3 日读了 28 分钟，从 3 月 4 日开始，每天读这本书的时间比前一天多 4 分钟，已知他在 3 月份只读这一本书,则
A. 他在 3 月 5 日读了 32 分钟 B. 他在 3 月 6 日读了 40 分钟
C. 他在 3 月 11 日读了 1 个小时 D. 他在 3 月 14 日正好读完这本书
10. 已知相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2 , y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx . 已知变量 x 与变量 y 的部分数据,建立由最小二乘法得到的两个回归模型: 以 x 为自变量, y 为因变量,得出的线性回归方程为 y=−3.2x+180 ; 以 y 为自变量, x 为因变量,得出的线性回归方程为 x= - 0.2y+50 . 若两个模型的计算均无误,则下列判断正确的是
A. 若已知变量 y 的方差,则可得知变量 y 的标准差
B. 若已知变量 y 的方差,则不可得知变量 x 的标准差
C. 若不给定其他信息,则也可得知变量 x 与变量 y 各自的平均值
D. 若不给定其他信息,则也可得知变量 x 与变量 y 的相关系数
11. 给定数列 ana1>0 且 a1≠1 ,若对任意的 m,n∈N∗ ,都有 am+n=aman ,则称数列 an 为指数型数列,则下列说法正确的是
A. 若数列 an 为指数型数列,且 a4=4 ,则 a10=32
B. 若数列 an 是等比数列,则数列 an 是指数型数列
C. 若数列 an 满足 an+1=2an+1 ，且 an+1 是指数型数列，则 a1=1
D. 若数列 an 是指数型数列,且 a1=23 ,则数列 an 中存在不同的三项构成等差数列
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S13=−39 ，则 a7= _____▲_____.
13. 在等比数列 an 中，已知 a2a4a6=4,a3a5a7=8 ，则 a8a9a10= _____▲_____.
14. 细胞 A 有两种状态:活跃和休眠. 该细胞每秒的状态转移规律如下:若细胞 A 这一秒为活跃状态,下一秒仍保持活跃状态的概率为 13 ,转为休眠状态的概率为 23 ; 若细胞 A 这一秒为休眠状态,下一秒转为活跃状态的概率为 12 ,保持休眠状态的概率为 12 . 已知细胞 A 第 1 秒为活跃状态，则第 3 秒为休眠状态的概率为_____▲_____，第 nn∈N∗ 秒为活跃状态的概率为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
河南省三门峡市被誉为“天鹅之城”. 每年秋冬季节，成千上万的白天鹅如期飞临“天鹅之城”，拉开了三门峡“白天鹅旅游季”的精彩序幕，推动三门峡市冬季旅游市场热度持续攀升. 为了了解游客对天鹅的喜爱程度与性别的关系，某机构随机调查了 300 名现场游客(男、女游客人数相等), 绘制了不完整的列联表如下:
单位:人
已知男游客中非常喜爱天鹅的频率为 0.6 , 女游客中一般喜爱天鹅的频率为 0.2 .
(1)补全列联表;
(2)是否有 99% 的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关？
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
当 χ2>6.635 时,有 99% 的把握判断变量 A,B 有关联.
16. (15分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn=2ann≥2 ， a2=2 .
(1)求 a1 ；
(2)求 an 的通项公式；
(3)设数列 1nlg2an 的前 n 项和为 Tn ，证明: Tn0 为公差的等差数列,则称 an 为 “ k−d 组差数列”. 并说明理由.
(1)若 an=n ，判断 an 是不是 “1-2 组差数列”，并说明理由.
(2)若 an 是“5-18 组差数列”,且 an−an+5 为定值，证明: i=1nai2i0.93>0.86>−0.82 ,所以线性相关程度最弱的是 B 组.
3. A 设该网店的衣服 7 个尺码最适合的人的体重从小到大为数列 an ,则 an 为等差数列, a3=65,a7=95 ,所以该数列的公差 d=a7−a34=7.5 . 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为 7.5 kg .
4. A 由韦达定理得 a5+a17=−225,a5a17=169,得a50 ,所以 nan+1−3n+1an≥0 ,得 an+1an≥3⋅n+1n . 由 anan−1⋅an−1an−2⋅⋯⋅a2a1≥ 3n−1⋅nn−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅21=n⋅3n−1 ,得 ana1≥n⋅3n−1 ,又 a1=3 ,所以 an≥n⋅3n . 故 ​uan≥n⋅3n . 故 ​uan≥ n⋅3n ” 是 “ nan+12−2n+3anan+1−3n+1an2≥0 ” 的充要条件.
9. BCD 设小张在 3 月 3 日、3 月 4 日、3 月 5 日……当天读这本书的时长分别为 a1 分钟、 a2 分钟、 a3 分钟、 ⋯ ,依题意可知数列 an 成等差数列,且首项为 28,公差为 4,则 a3=28+4×2 =36,a4=28+4×3=40,a9=28+4×8=60 ,所以他在 3 月 5 日读了 36 分钟,在 3 月 6 日读了 40 分钟,在 3 月 11 日读了 1 个小时. 因为 28×12+12×112×4=600=60×10 ,所以他在 3 月 14 日正好读完这本书.
10. ACD 对于 D,由所给公式得 r2=i=1nxi−xyi−y2i=1nxi−x2i=1nyi−y2=−3.2×−0.2=0.64 ,且回归系数为负数,故相关系数 r=−0.8,D 正确.
对于 A ,设变量 x 与变量 y 的标准差分别为 sx,sy ,且可以推理得到 b=r⋅sysx ,代入已知数据得 −3.2=−0.8⋅sysx ,即 sysx=4 ,若已知变量 x 的方差,即可求得 sx ,进而代入上式求得 sy, A 正确.
对于 B ,若已知变量 y 的方差,即可求得 sy ,进而代入上式求得 sx, B 错误.
对于 C ,线性回归直线经过样本中心点 x,y ,代入两个回归方程得 y=−3.2x+180 与 x =−0.2y+50 ,解得 x=3509,y=5009 ,故不给定其他信息也可得知变量 x 与变量 y 各自的平均值, C 正确.
11. AC 对于 A ,因为数列 an 为指数型数列,所以对任意的 m,n∈N∗ ,都有 am+n=aman . 令 m=n=2 ,得 a4=a2a2=4 ,令 m=n=1 ,得 a2=a1a1 ,因为 a1>0 ,所以 a1=2,a2=2 , 令 m=1 ,得 an+1=a1an=2an ,所以 an 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,
所以 an=2n ,所以 a10=210=32 ,故 A 正确.
对于 B ,若 an 是等比数列,则 an=a1qn−1 ,要使对任意的 m,n∈N∗ ,都有 am+n=aman ,则 a1qm+n−1=a1qm−1a1qn−1 ,即 q=a1 ,所以数列 an 不一定是指数型数列,故 B 不正确.
对于 C ,因为 an+1=2an+1 ,所以 an+1+1=2an+1 .
当 a1=−1 时, an=−1,an+1 不是指数型数列,当 a1≠−1 时, an+1 是公比为 2 的等比数列.
因为 an+1 是指数型数列,所以 an+1 是首项与公比相等的等比数列,
所以 a1+1=2 ,所以 a1=1 ,故 C 正确.
对于 D ,因为 an 是指数型数列,且 a1=23 ,所以 an=23n .
假设存在三项 ar=23r,as=23s,at=23tr0 ,故 an 是“ 1−2 组差数列”. 3 分
(2)证明:因为 an 是“5-18 组差数列”,所以数列 an+an+1+⋯+an+5 是以 18 为公差的等差数列,则 an+1+an+2+⋯+an+6−an+an+1+⋯+an+5=an+6−an=18 . 4 分因为 an−an+5 为定值,所以可设 an−an+5=d0 ,则 an+1−an+6=d0 , 5 分
所以 an+1−an+6+an+6−an=d0+18 ,即 an+1−an=d0+18 ,所以 an 是等差数列, 6 分
因为 an+6−an=18 ,所以 an 的公差为 18n+6−n=3 ,又 a1=1 ,所以 an=3n−2 . 7 分设 Tn=i=1nai2i=12+422+⋯+3n−22n ,则 12Tn=122+423+⋯+3n−22n+1 ,
所以 Tn−12Tn=12+3122+123+⋯+12n−3n−22n+1 , 8 分
则 12Tn=12+3×14−12n+11−12−3n−22n+1=2−3n+42n+1 , 9 分
所以 Tn=4−3n+42n