2025-2026学年下学期江苏省连云港东海县高一数学4月底期中试卷含答案

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一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 在复平面内,复数 z 对应的点坐标是 −2,1 ,则 z+i=
A. 5 B. 5 C. 22 D. 8
2. 化简 sin200∘cs140∘−cs160∘sin40∘ ,得
A. 32 B. sin20∘ C. cs20∘ D. 12
3. 已知向量 a 与 b 均为非零向量，则 “ a⊥b ” 是 “ a+b=a−b ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
4. 已知向量 OA=k,1,OB=4,2,OC=5,k ，若 A,B,C 三点共线，则实数 k=
A. 3 B. -3 C. 2 或 3 D. -3 或 -1
5. 已知 1+sin2α1+cs2α+sin2α=2 ,则 tanα−π4=
A. 2 B. -2
C. 12 D. −12
6. 已知 sinα+2π3=13 ,则 3sin2α−cs2α=
A. −149 B. 149 C. −79 D. 79
7. 在 △ABC 中, C=π3,D 是 BC 边的中点, E 是 AB 边上靠近 A 的三等分点, AD 与 CE 交于点 M ,若 AB⋅AC=6AM⋅EC ,则角 A 等于
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
8. 在 △ABC 中, 3cs2A=2cs2B+cs2C ,则 csA 的最小值是
A. 23 B. 13 C. −23 D. −13
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 z1、z2 是方程 z2+z+1=0 的两个复数根,则
A. z1=z2 B. z12=z2 C. z13=−1 D. 1z12+z2=1
10. 下列等式成立的是
A. csA+BcsA−B=cs2A−sin2B
B. sinA+BsinA−B=sin2A−cs2B
C. tanA+π4+tanA−π4=2tan2A
D. tan3A−tan2A−tanA=tan3Atan2AtanA
11. △ABC 的角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,若 b=23,atanA+atanB=2ctanA ,则
A. B=2π3 B. △ABC 面积的最大值为 33
C. △ABC 外接圆半径为 2 D. CA⋅CB 的最大值为 6+43
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 a=23,2 ， b=1,3 ，则 a 在 b 上的投影向量的坐标为_____▲_____.
13. 已知 z∈C ,若 z+3−4i=1 ,则 z 的最小值为_____▲_____.
14. 在平面凸四边形 ABCD 中, AB=2,BC=6,CD=DA=4 ,则四边形 ABCD 面积的最大值是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知向量 a,b 满足 a=1,b=1,3,a 与 b 的夹角为 π3 .
(1)求 2a−b ；
(2)若 ka−b⊥2a+b ，求实数 k 的值.
16.(本小题满分 15 分)
已知 α,β∈0,π2,csα+β=255,csβ=7210 .
求:(1) sin2α 的值；
(2) β+2α 的值.
17. (本小题满分 15 分)
在 △ABC 中,已知 BC=3,sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C .
(1)求角 A ；
(2)求边 BC 上的中线 AD 的最大值.
18.(本小题满分 17 分)
在 △ABC 中， AB=3 ， BC=7 ， AC=5 ，点 E ， F 分别是边 BC 和 AC 上的动点.
(1)求 △ABC 的面积；
(2)若点 E,F 分别是边 BC 和 AC 的中点，求 AE⋅BF ；
(3)是否存在定点 E ，使 AE⋅BF 为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知单位圆的圆心为 O ,点 A、B 是单位圆上的两个不同定点. 动点 P 在单位圆上,且满足 OP=csαOA+sinαOB0