2025-2026学年下学期东北师大附中高一数学5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期东北师大附中高一数学5月期中试卷含答案，共9页。试卷主要包含了 回答非选择题时, 请使用 0等内容，欢迎下载使用。
高一年级期中考试
注意事项:
1. 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 回答非选择题时, 请使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内, 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题:本题共 8 道小题，每小题 A 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 复数 z=a−1+a+1i (其中 i 为虚数单位)是实数，则实数 a 的值为( )
A. 1或-1 B. 1 C. -1 D. 0或-1
2. 化简 AB+CD−OB−CO= ( )
A. OD B. OA C. AC D. AD
3. 已知函数 fx=sin2x+π3 ，为了得到 gx=sin2x 的图象，则需将函数 fx 的图象( )
A. 向右平移 π6 个单位长度 B. 向右平移 π12 个单位长度
C. 向左平移 π6 个单位长度 D. 向左平移 π12 个单位长度
4. 已知点 A1,3 ， B−2,7 ，则与向量 AB 方向相反的单位向量是( )
A. 45,−35 B. 3,−4 C. −35,45 D. 35,−45
5. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0,00 ,
所以 1λ+1μ+1=141λ+1μ+12λ+μ+1=143+μ+1λ+2λμ+1
≥143+2μ+1λ⋅2λμ+1=3+224,
当且仅当 μ+1=2λ ,即 λ=4−22,μ=42−5 时取等号, 所以 1λ+1μ+1 的最小值为 3+224 .
19. (14 分)
解: (1) fx=a⋅b=2cs2x−23sinxcsx=1+cs2x−3sin2x
=−232sin2x−12cs2x+1=−2sin2x−π6+1 ,
由 π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ 解得 π3+kπ≤x≤5π6+kπk∈Z ,
又 x∈0,π ,因此函数 fx 的单调递增区间为 π3,5π6 .
其最小值为 fπ3=−2sin2×π3−π6+1=−2+1=−1 .
(注: 也可以化为 fx=2cs2x+π3+1 作答)
(2)(i)由 fA=−1 ，可得 fA=−2sin2A−π6+1=−1 ，化为 sin2A−π6=1 ，
∵A∈0,π,∴2A−π6∈−π6,11π6 ,
∴2A−π6=π2 ,解得 A=π3 . 即 A=60∘ . 由正弦定理可得
b−2cacs60∘+C=sinB−2sinCsin60∘cs60∘+C=sin120∘−C−2sinC3212csC−32sinC=32csC−32sinC1232csC−32sinC=2 .
(ii) 由题意知 BD=13a,DC=23a,AD=1 ,
在 △ABD 与 △ACD 中,分别有 cs∠ADB=1+19a2−c223a,cs∠CDA=1+49a2−b243a ,
又 cs∠ADB=−cs∠CDA ,化简得 b2+2c2−3=23a2 ,在 △ABC 中, a2=b2+c2−bc .
(也可以这样推导: AD=23AB+13AC,AD2=23AB+13AC2=49AB2+19AC2+49AB⋅AC ， 1=49c2+19b2+49bccsπ3 ,即 b2+4c2+2bc=9 )
方法一:
b2+2c2−3=23b2+c2−bc ,即 b2+4c2+2bc=9 ,设 b+3c=t>0 ,
所以 b=t−3c ,所以 t−3c2+4c2+2t−3cc=9 ,即 7c2−4tc+t2−9=0 ,因为 c>0 ,所以关于 c 的方程 7c2−4tc+t2−9=0 有正根, Δ=4t2−4×7t2−9=−12t2+4×7×9≥0 ,即 t2≤21 ,所以 00 ,
所以 b=t−3c=21−6217=217 ,
所以 S△ABC=12bcsinA=12×217×2217×32=3314 .
所以三角形的面积为 3314 .
方法二:
b2+4c2+2bc=9=b+c2+3c2 ,即 b+c32+c32=1 .
令 b+c=3csθc=3sinθ,θ∈0,π2 ,因为, bc+1=3csθ3sinθ=3tanθ>1 ,所以 tanθ>33 ,所以 θ∈π6,π2,
则 b+3c=23sinθ+3csθ=21sinθ+φ ,其中取 φ∈0,π2 ,且
sinφ=217,12