2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题7.5空间向量的概念与运算(学生版+解析)

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\l "_Tc12184" 【题型1 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Tc12184 \h 4
\l "_Tc21156" 【题型2 空间向量数量积及其应用】 PAGEREF _Tc21156 \h 5
\l "_Tc4229" 【题型3 空间向量基本定理】 PAGEREF _Tc4229 \h 6
\l "_Tc29093" 【题型4 共线问题】 PAGEREF _Tc29093 \h 7
\l "_Tc27554" 【题型5 共面问题】 PAGEREF _Tc27554 \h 7
\l "_Tc9051" 【题型6 空间向量的坐标运算】 PAGEREF _Tc9051 \h 8
1、空间向量的概念与运算
知识点1 空间向量的有关概念
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
知识点2 空间向量的线性运算
1．空间向量的线性运算
2．共线向量定理
(1)共线向量定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
知识点3 空间向量的数量积
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
知识点4 空间向量基本定理及其应用
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
知识点5 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【方法技巧与总结】
1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.
【题型1 空间向量的线性运算】
【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，设AB=a，AC=b，AA1=c，N为BC的中点，则A1N=（ ）
A．a+b+cB．12a+b+cC．12a+12b−cD．12a+12b+c
【变式1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则2OA−OB+2OC−OD=（ ）
A．OMB．2OMC．3OMD．4OM
【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AC与BD相交于点M，设AB=a，AD=b，AA′=c，则下列向量中与B′M相等的是（ ）
A．−12a+12b+cB．−12a+12b−c
C．12a−12b+cD．12a−12b−c
【变式1-3】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱ABC−DEF中，G, H分别是棱BE, AC的中点，则GH=（ ）
A．AB+12AC−12ADB．−AB−12AC+12AD
C．−AB+12AC−12ADD．AB−12AC+12AD
【题型2 空间向量数量积及其应用】
【例2】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1⋅DC−AB1⋅BC=4，则csAA1,BD=（ ）
A．23B．−23C．34D．−34
【变式2-1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量a+b+c=0，且a=2,b=4,c=3，则csa,c=（ ）
A．12B．14C．32D．22
【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则CP⋅FQ=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2-3】（2025·河南新乡·二模）已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．−94B．−32C．−2D．−1
【题型3 空间向量基本定理】
【例3】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，设AA1=a，AB=b，AC=c，M，N分别为AB，CC1的中点，则MN=（ ）
A．12a+12b+cB．12a−12b+cC．a−12b+12cD．a+12b+c
【变式3-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量a=(1,0,0),b=(0,1,0)，则下列向量可以与a,b构成空间向量的一组基底的是（ ）
A．c=(0,0,0)B．c=(0,0,1)C．c=(1,1,0)D．c=(1,2,0)
【变式3-2】（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为PB,PD的中点，若PG=12GC，且AG=xAE+yAF，则x+y=（ ）

A．1B．2C．32D．43
【变式3-3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，点F为棱CC1上靠近C的三等分点．若EF=xAB+yAD+zAA1，x，y，z∈R，则x+y+z的值为（ ）
A．16B．116C．176D．−16
【题型4 共线问题】
【例4】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+2e2−e3，BC=λe1+μe2+e3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．−3B．1C．2D．3
【变式4-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ）
A．AB+BC=ACB．AB−BC=ACC．AB=−2BCD．AB=BC
【变式4-2】（24-25高二下·福建宁德·期末）已知向量a=−1,x,2，b=6,3,y，若a与b共线，则实数xy值为（ ）
A．−6B．6C．3D．−3
【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3, CD=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线，则λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型5 共面问题】
【例5】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=xOA+yOB−OCx>0,y>0，若M,A,B,C四点共面，则4x+1y的最小值为（ ）
A．4B．5C．92D．9
【变式5-1】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，H为CC1的中点，AF=λAH，λ∈0,1，若B，D，C1，F四点共面，则λ=（ ）
A．12B．25C．13D．23
【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A．OM=OA−OB−OCB．OM=15OA+13OB+12OC
C．OM+OA+OB+OC=0D．MA+MB+MC=0
【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（ ）
①若MP=2MA−MB，则P，A，B三点共线；
②若OA+OB+OC+OD=0，则A，B，C，D四点共面；
③若OP=12OA+56OB−13OC，则P，A，B，C四点共面．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【题型6 空间向量的坐标运算】
【例6】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量m,n满足m−n=1,2,3,m+n=0,−2,1，则|m|2−|n|2=（ ）
A．−2B．1C．0D．−1
【变式6-1】（2024·江苏·模拟预测）已知空间向量a=6,2,1，b=2,x,−3，若a−2b⊥a，则x=（ ）
A．4B．6C．234D．214
【变式6-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知a=(−3,2,5),b=(1,5,−1)，则(a+b)⋅(a−b)=（ ）
A．11B．−13C．45D．3
【变式6-3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设x,y∈R,a=1,1,1,b=1,y,z,c=x,−4,2，且a⊥c,b//c，则2a+b=（ ）
A．22B．0C．3D．32
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，设向量a=AB1,b=AC,c=AD1，则AB=（ ）
A．12a+b+cB．12a+b−cC．12b+c−aD．12a+c−b
2．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量a=(3,5,1)，b=(2,1,4)，则(a+b)⋅b=（ ）
A．36B．32C．56D．52
3．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系Oxyz中，三点A(1,1,0),B(0,2,1),C(2,1,−1)，则向量AC与OB夹角的余弦值为（ ）
A．−66B．−36C．36D．66
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若AB+DC=λEF，则λ=（ ）
A．12B．1C．2D．3
5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AM=12MC，A1N=2ND.设AB=a，AD=b，AA1=c，MN=xa+yb+zc，则x+y+z=（ ）
A．34B．14
C．23D．13
6．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设a=AA1，b=DB1，若a、b、c组成空间向量的一个基底，则c可以是（ ）

A．BB1B．BC1C．BDD．BD1
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点E、A、B、C、D，若满足1−λEA=13EB+14EC+λAD，且A、B、C、D四点共面，则λ的值为（ ）
A．712B．512C．14D．112
8．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则PC⋅PC1的取值范围是（ ）
A．0,2B．1,3C．2,4D．3,5
二、多选题
9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若A,B,C,D为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ）
A．AB+2BC+2CD+DCB．2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C．AB+DA+BDD．AB−CB+CD−AD
10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列说法正确的是（ ）
A．CM=−12a−12b+cB．CM，AC1=π3
C．BD1=a+b+cD．AD⋅BD1=1
11．（2025·浙江台州·一模）已知棱长为3的正四面体A−BCD, AE=λAD, BF=μ BC, EM=12 EF, λ，μ∈[0, 1]，则下列选项正确的是（ ）
A．当μ=12时，EF⋅BC=0
B．当μ0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ