2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点23立体几何中的截面、交线问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点23立体几何中的截面、交线问题(学生版+解析)，文件包含物理安徽卷全解全析docx、物理安徽卷考试版docx、物理安徽卷答题卡A4版docx、物理安徽卷参考答案docx、物理安徽卷答题卡A3版docx、物理安徽卷考试版A3docx等6份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc18473" 【题型1 截面作图】 PAGEREF _Tc18473 \h 2
\l "_Tc6647" 【题型2 截面图形的形状判断】 PAGEREF _Tc6647 \h 4
\l "_Tc9254" 【题型3 截面图形的周长或面积问题】 PAGEREF _Tc9254 \h 5
\l "_Tc12179" 【题型4 球的截面问题】 PAGEREF _Tc12179 \h 6
\l "_Tc30156" 【题型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 PAGEREF _Tc30156 \h 7
\l "_Tc11666" 【题型6 交线的长度、轨迹问题】 PAGEREF _Tc11666 \h 7
\l "_Tc23329" 【题型7 截面的最值与范围问题】 PAGEREF _Tc23329 \h 8
1、立体几何中的截面、交线问题
立体几何中的“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解；二是利用空间向量的坐标运算求解；复习时要加强这方面的训练.
知识点1 立体几何中的截面问题
1．截面问题的基本知识
(1)截面的相关定义
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
(2)作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面.
2．作截面的具体步骤
(1)找截点：方法一：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式；方法二：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点；
(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线；
(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面.
3．作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.
4．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.
知识点2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略
1．立体几何截面问题的求解方法
(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.
(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.
2．截面、交线问题的解题策略
(1)作截面应遵循的三个原则：
①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：
①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【题型1 截面作图】
【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱AB,CC1的中点.请在正方体的表面完整作出过点E,F,D1的截面，并写出作图过程；（不用证明）
【变式1-1】（24-25高一下·福建福州·期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中．

(1)如图1，若AC∩BD=O,A1C∩平面BDC1=E，求证：C1,E,O三点共线；
(2)M,N分别为AB和C1D1的中点，P,Q分别为BC和CC1的一个三等分点（都靠近C端）．
①如图2，求证：AP,DC,D1Q三线共点；
②过点M,N,Q三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）．
【变式1-2】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=m，AD=AA1=2，点M是棱CD的中点．
(1)过BMD1三点作出长方体ABCD−A1B1C1D1的截面（不要求过程，作出即可）；
(2)是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？并说明理由；
(3)设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足C1PC1A=λ，求λ的值，使得三棱锥B1−CD1C1与三棱锥B1−CD1P的体积相等．
【变式1-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，棱长为2.
(1)求证：A1C⊥平面AB1D1；
(2)若平面α//平面AB1D1，且平面α与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；
(3)在（2）的情形下，设平面α与正方体的棱AB、BB1、B1C1交于点E、F、G，当截面的面积最大时，求二面角D1−EF−G的余弦值.
【题型2 截面图形的形状判断】
【例2】（2025·广东深圳·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过点A且以DB1为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式2-1】（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，B,C分别为棱的中点，则过点A,B,C的平面截该木块所得截面的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰梯形
C．五边形D．六边形
【变式2-2】（2025·四川达州·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB中点，P为线段C1D1上一动点，过D,E,P的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）

A．三角形B．矩形C．梯形D．菱形
【变式2-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1，点M是线段C1D1上靠近D1的四等分点，点N是线段CC1的中点，则平面AMN截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【题型3 截面图形的周长或面积问题】
【例3】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别是棱CD，A1D1的中点，则正方体ABCD−A1B1C1D1被平面AEF所截得的截面周长是（ ）

A．45+42B．55+17C．45+22+4D．65+2
【变式3-1】（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面α，若平面α/平面PCD，则平面α截正四棱锥P−ABCD的截面面积为（ ）
A．534B．5158C．23D．215
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为（ ）

A．32+25 B．9C．22+25D．32+23
【变式3-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（ ）
A．45+2B．23
C．53D．46
【题型4 球的截面问题】
【例4】（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为AB,CC1的中点，过直线MN的平面截该正方体的内切球O，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．π2B．2π3C．πD．3π2
【变式4-1】（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥S−ABC的侧棱长为2，D为线段SC上一点，SD=2DC，SA⊥BD．设三棱锥S−ABC外接球为球O，过D点作球O的截面α，则截面α面积的最小值为（ ）
A．4π9B．8π9C．4π3D．8π3
【变式4-2】（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=3，AC=4，点D满足AD=3DC，三棱锥P−ABC的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为4π，则球O的表面积为（ ）
A．16πB．20πC．24πD．28π
【变式4-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥A−BCD的外接球是球O，正三棱锥底边BC=3，侧棱AB=23，点E在线段BD上，且BE=DE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）
A．2πB．9π4C．3πD．4π
【题型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】
【例5】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是C1D1，AD，CC1的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ）
A．1316B．5972C．119144D．4972
【变式5-1】（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥PO的轴的截面边长为4的正三角形，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ）
A．11π+3πB．11π+23πC．12π+3πD．12π+23π
【变式5-2】（2024·河北·模拟预测）过圆锥PO高的中点O′作平行于底面的截面，则截面分圆锥PO上部分圆锥与下部分圆台体积比为（ ）
A．12B．13C．15D．17
【变式5-3】（2025·江苏南通·三模）已知正三棱台ABC−A1B1C1，A1C1AC=23，点O为底面，△ABC的重心，过点O，A1，C1的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ）
A．5:4B．12:7C．2:1D．15:4
【题型6 交线的长度、轨迹问题】
【例6】（2024·广东广州·模拟预测）在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，AA1=2AB=6，O为棱AA1的中点，以O为球心，6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A．(3+3)πB．(6+3)πC．(3+23)πD．(6+23)π
【变式6-1】（2025·甘肃·模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥P−ABCD中，M是底面正方形ABCD内一点（含边界），若PM⊥MD，则点M的轨迹长度是（ ）
A．2πB．2πC．22D．22π
【变式6-2】（2024·湖南长沙·三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,M是棱CC1的中点，空间中的动点P满足DP⊥BM，且D1P=1，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．55B．3C．2πD．25π5
【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点P为棱AB的中点，点Q为棱A1D1的中点，点M为棱CC1上靠近点C的三等分点，则经过P,Q,M三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面CDD1C1的交线长度分别为（ ）
A．五边形，21815B．六边形，21815
C．五边形，21835D．六边形，21835
【题型7 截面的最值与范围问题】
【例7】（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC,PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC,BC于点E,F，且二面角P−EF−C的平面角为60∘，则所得截面PEF的面积最小值为（ ）
A．43B．83C．23D．1
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，AC⊥BC，AC=BC=CC1，D为B1C1的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱ABC−A1B1C1所得的截面面积的取值范围为（ ）

A．3,92B．3,92C．4,92D．4,92
【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB=a,E,F分别是AD,BC中点，若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ）
A．a23B．a24C．a2D．a22
【变式7-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2，M为棱DD1的中点．
(1)若Р是线段BM上的动点，试探究：A1M⋅A1P是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．
(2)过A1M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M在棱A1B1上，平面ACM把正方体ABCD−A1B1C1D1分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面周长为（ ）
A．10+52B．45+62C．5+52D．15
2．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F满足BE=2EB1,C1F=2FD1，则平面AEF截正方体ABCD−A1B1C1D1形成的截面图形为（ ）
A．六边形B．五边形
C．四边形D．三角形
3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是R的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为S1，截得半球的截面面积为S2，则（ ）
A．S1S2D．S1与S2的大小关系不确定
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ）
A．33B．63C．62D．233
5．（2025·河北秦皇岛·一模）在《通用技术》课上，某同学设计了如图所示的多面体ABCDEFKLHMNG，已知平面LMH//平面ABCDEF，平面AKF//平面CDGHMN，平面BCN//平面EFKLHG，平面DEG//平面ABNMLK，AB=CD=EF=KL=MN=HG=2，且△LMH,△AKF,△BCN,△DEG均为边长为1的正三角形，该同学欲过LK的中点P作该几何体的截面α，若LK⊥α，则截面α的面积为（ ）
A．42B．1524C．722D．32
6．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，A0,B0分别为侧棱AA1,BB1上的点，且A1A0=BB0，过A0,B0,C1的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ）
A．2B．32C．43D．13
7．（2025·山东·一模）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E为A1B1的中点，若三棱锥E−BCC1的四个顶点均在球O上，过BB1作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值为（ ）
A．12πB．πC．32πD．2π
8．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA=43，AB=6，过棱AB作球O的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A．9π,12πB．9π,16πC．12π,16πD．12π,36π
二、多选题
9．（2025·湖南郴州·三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的表面积与体积的数值之比为3，P，Q分别是棱BC，BB1的中点，G是线段AD1上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．AA1=3
B．多面体ADD1A1−PQB1C1C的体积为233
C．存在一点G，使得GC1//AP
D．若AC1⊥平面PQG，则平面PQG截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积是33
10．（2025·山东德州·三模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，点E，F，G分别为棱AB,AD,PC的中点，则（ ）
A．AG⊥PD
B．异面直线FG和AC所成的角为π6
C．平面EFG与平面ABCD所成角的正弦值为63
D．过点E，F，G的平面截四棱锥P−ABCD所得的截面图形为五边形
11．（2025·江苏泰州·二模）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体ABCD的棱长为3，则下列说法正确的是（ ）
A．勒洛四面体ABCD表面上任意两点间距离的最大值大于3
B．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是934
C．勒洛四面体ABCD四个曲面交线长的和为6π
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为3−364
三、填空题
12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的各顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为12π，则平面C1BD截球O所得的截面面积为 ．
13．（2025·湖北武汉·模拟预测）棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm （如图1）； 当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A−A1BC（如图2），则h= .
14．（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P−ABC中，PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=22，D为PB的中点，过点D作三棱锥P−ABC外接球的截面，则截面面积的最小值为 .
四、解答题
15．（2025·陕西西安·一模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱CD上的动点.

(1)求三棱锥D1−A1B1E的体积；
(2)当E为CD中点时，求过点D且与A1E垂直的平面截正方体的截面面积.
16．（2025高三·全国·专题练习）如图在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,Q是所在棱上的中点.
(1)求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值
(2)补全截面APQ
17．（2025·全国·模拟预测）已知，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=3AB=4，∠BCD=60°，点M在AC上，且CA=4CM．
(1)过点M作截面，使其与PC,BD均平行，求该截面的面积；
(2)求二面角P−CD−A的正弦值．
18．（2025·湖南娄底·二模）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=22，CC1=2，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．

(1)过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；
(2)设T为线段D1C1上一点，当平面CEF⊥平面A1DT时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值．
19．（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，点F在边CD上且EF⊥BE.将△ABE沿BE折起到图（2）中△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE.

(1)证明：PB⊥平面PEF；
(2)求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值；
(3)如图（2），点Q在线段BE上，过点P、Q的平面α截四棱锥P−BCDE所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）