新高考数学二轮复习导数重难点突破训练专题26 导数中的同构问题（2份，原卷版+解析版）

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(1)当a＞0且a≠1时，有，
(2)当a＞0且a≠1时，有
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)
(3)，
(4)，
(6)，
再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论
(7)，．
，．
(8)，
，
(9)，
，
1．已知不等式最小值为（ ）
B. C. D.
【解析】，
只需考虑其为负数的情况，，
，
令
故
2．已知对任意给定的的取值范围为： ．
【解析】
显然成立，
显然
.
3．若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，不等式变形为.
设，则
.
当时，即在上单调递减.
当时，即在上单调递增.
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.
所以，即在上单调递增.
若使得对任意，恒有成立.
则需对任意，恒有成立.
即对任意，恒有成立，则在恒成立.
设则.
当时，，函数在上单调递增
当时，，函数在上单调递减
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.
所以，即，则实数的最小值为.故选：D
4．若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
【解析】整理为：，其中，
故，令，则，，注意到：，
其中，当时，令，解得：，令，解得：，则，满足题意；
当时，令得：，令得：，则在上单调递增，在上单调递减，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
故不满足题意，舍去；
当时，令得：，令得：，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
当时，，故不合题意，舍去.
综上：a的取值范围是.
5．已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【解析】∵对于任意，，不等式恒成立
∴对于任意，，即恒成立
当时，；当，，
设，则，所以在上单调递增，
由，知，即，即
设，，求导，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴在处取得极大值，且为最大值，
所以时，不等式恒成立，故答案为：
6．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【解析】
若，时，，，∴，
此时不恒成立，∴，，
令，，
时，，，，
在单调递减，单调递增，∴，
，时，，，原不等式恒成立；

时，，令，，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，∴，∴，
∴，即，∴，∴．故答案为：.
7．已知函数，若，求的取值范围.
【解析】将按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：
由移项得：
即，两边同时加（）得
即，
设，则，所以单增
所以，即
设，则，所以在单减，在单增，
所以，所以.
8．对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】解法一：将变形为，（说明：将参数移至一边）
两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）
即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）
设，则，单增
故由（#）得，
再令，则，易知当
所以，即.
解法二：将变形为，即
，设，易知单增
故（以下同解法一，从略）.
9．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为，
．
函数的单调递增区间为；单减区间为．
(2)要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．即．
整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
10．已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【解析】 (1)，当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
(2)显然，要证：，即证：，即证：，
即证：．令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．故，即．
11．已知
(1)当时，求的单调性；
(2)讨论的零点个数．
【解析】 (1)因为，，
所以，
令，，所以在单增，且，
当时，当时，
所以当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增
(2)解：因为
令，易知在上单调递增，且，
故的零点转化为即，，
设，则，
当时，无零点；
当时，，故为上的增函数，
而，，故在上有且只有一个零点；
当时，若，则；，则；
故，
若，则，故在上有且只有一个零点；
若，则，故在上无零点；
若，则，此时，
而，，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
故此时在上有且只有两个不同的零点；
综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；
12．已知函数
(1)请讨论函数的单调性
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围
【解析】 (1)
当时，在上递增
当时，在，单调递减
在上，单调递增
(2)原式等价于，设，
由（1）当时，为增函数 ， ，
∴等式等价于恒成立，
时，成立，时，，
设，，
，设，
所以在上为增函数，
又因为，所以在上，，，为减函数，
在上，，，为增函数， ，．
13．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)因为，所以，
即.当时，，
令，则，
所以在单调递增，因为，
所以，当时，，；当时，，，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)设，，易知在单调递增.又当时，，
所以的值域为；
当时，的值域为.
所以的值域为.
故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.
因为，即.
设，，所以要使，只需.
当时，因为，即，所以不符合题意.
当时，当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增.
所以.设，，
则，当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以，所以，，当且仅当时，等号成立.
又因为，所以，所以.
综上，存在a符合题意，.
14．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：函数有两个零点，且.
【解析】(1)定义域为，，当时，，在上单调递增；
当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)当时，因为，所以，无零点.当时，
由，
得，即，设，则有，
因为在上成立，
所以在上单调递减，当时，，所以等价于，
即，所以的零点与在上的零点相同.若，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
又， ，，
所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.
不妨设，则，相减得，
设，则，代入上式，解得，所以，
因为，所以，因此要证，只需证，即证，
设，则，所以在递增，，
即，因为，所以可化成，又因为，
所以.
15．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)若在恒成立，求实数的取值范围.
【解析】 (1)当时
设，则
即在递减，在递增，
当，当
而当所以当递减；
递增.故函数增区间为，减区间为
(2)，
令
在递增，而，
，使，即
当时，在递减，当时，在递增
因为可变形为
又在递增，
由（**）可得
故取值范围为
16．已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．
【解析】 (1)，令，得或，
当或时，，当时，，
所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为．
(2)，
，即，
即，设，
设，，
当时，，当时，，
所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
，即，
则函数在上单调递增，则由，
得在上恒成立，即在上恒成立．
设，，
当时，，当时，，
所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，
所以，故．
17．已知，若对任意，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．
【解析】由题意，恒成立，即恒成立，
所以恒成立，
构造函数，易知在R上单增，
所以恒成立，即，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，解得，
所以正实数a的取值范围.
18．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
【解析】(1)∵，
∴，
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又，，
∴当或时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
综上，的单调增区间为，单调减区间为；
(2)∵，，
要证，即证，
也就是证，设，则，
∴当时，单调递增，
∴，由（1）可知当时，，即，
∴当时，，所以，当时，.
19．已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
【解析】(1)由题意可得．
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：由题得，时，对任意的，都有，即，
等价于，即.
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，当且仅当时，等号成立．
设，则．
由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以有解，
则，当且仅当时，等号成立．
即，即．x
+
0
-
增函数
极大值
减函数