专题11 新定义与阅读理解型-2026年中考数学（安徽地区）二轮专题复习试题（含答案）

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第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 代数类新定义问题
题型02 几何类新定义问题
题型03 函数类新定义问题
·第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01代数类新定义问题
典例引领
【典例01】（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则______．
【答案】3.8
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键．
先根据新定义求出，，据此代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：3.8
【典例02】对于有理数，，定义运算，如定义，，照此定义运算方式计算：___________.
【答案】
【分析】根据新定义的运算规则，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及负整数指数幂，掌握有实数和负整数指数幂运算法则是解题的关键．
方法透视
变式演练
【变式01】定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下：
(1)求的值；
(2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________；
(3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算．
【答案】(1)11
(2)7
(3)．
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可；
（2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可；
（3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴；
故答案为：7；
（3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20，
我定义的新运算为：，
∴，符合题意．
【变式02】在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题：
；
；
．
(1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示）
(2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立．
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，，见解析
(3)
【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则；
（1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案；
（2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证；
（3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
故答案为：
（2）
，
∴，
∵， ，
∴，
∴新定义的运算“”满足交换律，即成立．
（3）∵
∴，
解得
【变式03】甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
______；______；______；______．
(2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______．
(3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论．
【答案】(1)；
(2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值；
(3)新运算不具有结合律；见解析
【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键．
（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可；
（2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可；
（3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可．
【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得：
；；，
；
故答案为：；
（2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值；
（3）解：新运算不具有结合律，
例如：，
，
∴
故新运算不具有结合律．
题型02几何类新定义问题
典例引领
【典例01】菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度”
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________；
②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形；
(2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则：
①菱形的一个内角为时，“接近度”=________；
②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形；
(3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”．
①甲：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________
②乙：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________
【答案】(1)① ②
(2)① ②
(3)①× ②×
【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键．
（1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可；
（2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可；
（3）①不合理，举例进行说明；
②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形，进行说明．
【详解】（1）解：①∵内角为，
∴与它相邻内角的度数为，
∴菱形的“接近度”：，
故答案为：；
②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形，
故答案为：；
（2）解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则：
①当菱形的一个内角为时，“接近度”；
故答案为：；
②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
（3）解：①×，
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等.
故答案为：×；
②×， 理由如下：
越接近，矩形越接近于正方形；
∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，
故答案为：×.
【典例02】定义：点A，B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，当时，线段的长度定义为点P到线段的“亲近距离”．当时，线段的长度定义为点P到线段的“亲近距离”．特别地，当时，则线段或的长度定义为点P到线段的“亲近距离”．
【定义解析】
例如：如图1，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，当点P表示的数是时，此时，，因为，所以点P到线段的“亲近距离”为2．
（1）如图2，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是1，当点P表示的数是4时，求点P到线段的“亲近距离”；
【定义应用】
（2）如图3，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点P表示的数是m时，点P到线段AB的“亲近距离”为3，求m的值；
【定义拓展】
（3）在数轴上，点P表示的数是，点A表示的数是，点B表示的数是2，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为t秒，当点P到线段AB的“亲近距离”为2时，请直接写出t的值．
【答案】（1）点P到线段的“亲近距离”为3；（2）m的值为或或5；（3）t的值为或或3或5
【分析】本题考查了一元一次方程与几何图形，数轴与动点，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得，，结合“亲近距离”的定义，即可作答．
（2）根据点P到线段的“亲近距离”为3时，分点P在点A左侧，在点A和点B之间，在点B右侧，进行分类讨论，分别列式计算即可；
（3）分点P在点A左侧，点A和点B之间且，在点A和点B之间且，在点B右侧，分别列式计算即可．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是，点B表示的数是1，点P表示的数是4
∴，
∵
∴则点P到线段AB的“亲近距离”为3．
（2）解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2，点P表示的数是m，
有三种情况：
①当点P在点A左侧时，
∵点P到线段的“亲近距离”为3
∴
∴；
②当点P在点A和点B之间时
∵点P到线段的“亲近距离”为3
∵，
∴当时，
当时，
即当时，，符合题意；
③当点P在点B右侧时，，
∵点P到线段的“亲近距离”为3
∴
∴；
综上所述，所求m的值为或或5．
（3）t的值为或或3或5．
详解：∵点P表示的数是，点A表示的数是，点B表示的数是2，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为t秒
∴点P运动t秒后表示的数为，点B运动t秒后表示的数为，
分四种情况进行讨论：
①当点P在点A左侧时，
∵点P到线段的“亲近距离”为2
∴
∴；
②当点P在点A和点B之间且时
∵点P到线段的“亲近距离”为2
∴
∴；
③当点P在点A和点B之间且时
∵点P到线段的“亲近距离”为2
∴
∴；
④当点P在点B右侧时，
∵点P到线段的“亲近距离”为2
∴
∴；
综上所述，t的值为或或3或5．
方法透视
变式演练
【变式01】【问题背景】
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究．
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
【问题提出】
利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形．
【方案设计】
甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答，
【测量工具】量角器、铅笔、纸等．
【操作步骤】
分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示：
【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）．
【交流讨论】
（2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由．
【定义应用】
（3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明．
【拓展反思】
（4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？
【答案】（1）②④（2）是等补四边形，理由见解析（3）见解析（4）
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键是正确理解新定义．
（1）根据等补四边形的定义并结合图形即可求解；
（2）由旋转得，而，故，即可证明；
（3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，则，结合已知可得，则C，B，E三点共线，再由等腰三角形的性质即可求证；
（4）将绕点B顺时针旋转得，则，然后证明D、C、G三点共线，由，得到，即可求解．
【详解】解：（1）①中两组对角的和为，，且邻边不相等，故不是等补四边形；
②中有一组对角的和为，且根据等腰直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形；
③中两组对角的和为，，故不是等补四边形；
④中有一组对角的和为，且根据两个全等的直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形；
∴是等补四边形的有②④；
故答案为：②④
（2）是等补四边形，
理由：由旋转得，
，
，
四边形是等补四边形；
（3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，
，
，
，
，
C，B，E三点共线，
在中，，
，
，即：平分；
（4）如图所示，，
∴将绕点B顺时针旋转得，
，
∵
，
，
D、C、G三点共线，
，
，
（负值舍去）．
【变式02】我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形．
(1)如图，已知完美等邻边四边形，，，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；
(2)在四边形中，若，且平分时，求证：四边形是完美等邻边四边形．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据四边形内角和为，可得结论；
（2）作，，垂足分别为M，N，根据角平分线的性质可得，再证明，利用法证明，即可解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，以及角平分线的性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：性质是．
（2）证明：作，，垂足分别为M，N，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是等邻边四边形；
又，
∴等邻边四边形是完美等邻边四边形．
【变式03】对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，．

(1)计算的值；
(2)若，在数轴上的位置如图所示，化简；
(3)若，求的值：
(4)对于任意有理数，，请你定义一种新运算“★”，使得★，直接写出你定义的运算★______（用含，的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可；
（3）原式利用题中的新定义化简；
（4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：
原式；
（2）由，在数轴上位置，可得，，
则◎；
（3）※◎，
，
解得：；
（4）★，
★，
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型03函数类新定义问题
典例引领
【典例01】定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为．
如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
【定义辨析】
（1）直线的关联点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【定义延伸】
（2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；；
【定义应用】
（3）点的关联直线与轴交于点，，求的值．
【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或．
【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解；
（2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解；
（3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可．
【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点，
直线的关联点的坐标是，
故答案为：D；
（2）直线，当时，，解得，
点的坐标为，
直线，为常数）是点的关联直线，
点的关联直线为，
联立得，解得，
的坐标为；
（3）点的关联直线为，
当时，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点．
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
的坐标为，
把点代入得，；
②如图2，当点在直线右侧时，
同理可证，
，，
点的坐标为
把点代入得，，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键．
【典例02】新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即．
定义理解
(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）
(2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值；
(3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性．
（1）求出点A和点B的坐标，即可解答；
（2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答；
（3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答．
【详解】（1）把代入得：，
把代入得：，解得，
、，
，，
；
（2）把代入得：，
把代入得：，解得，
、，
，，
，
，
解得：；
（3），
、，
根据勾股定理可得：，
点Q在y轴上，共分为三种情况：
第一种情况，当时，
或，
点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意，
即只有符合题意；
第二种情况，当时，
，
，
；
第三种情况，当时，

设，
，
根据勾股定理可得：，
则，
解得：，
；
综上所述，存在，点的坐标为或或．
方法透视
变式演练
【变式01】函数和的图象关于y轴对称，我们定义函数和相互为“影像”函数．
类似地，如果函数和的图象关于y轴对称，那么我们定义函数和互为“影像”函数．
（1）请写出函数的“影像”函数： ；
（2）函数 的“影像”函数是；
（3）如果，一条直线与一对“影像”函数和的图象分别交于点A、B、C（点A、B在第一象限），如果CB: BA=1:2，点C在函数的“影像”函数上的对应点的横坐标是1，求点B的坐标．
【答案】（1） （2）；（3）
【详解】试题分析：（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数．则两个解析式的k值应互为相反数，得出答案即可；
（2）函数y=x2-2x+3的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y=（-x）2-2（-x）+3=x2+2x+3，即可．
（3）首先作CC'、BB'、AA'垂直于x轴，再利用设点B(m，)、A(n，)，得出A'B'=n-m，B′C′=m+，即可得出等式方程，求出m的值即可．
（1）
（2）
（3）过点C作CC'垂直于x轴，垂足为C'，过点B作BB'垂直于x轴，垂足为B'，过点A作AA'垂直于x轴，垂足为A'．
设点，其中m＞0，n＞0．由题意，得 点C(−1，2)．
易知 CC'∥BB'∥AA'，
又CB：AB=1：2，所以可得
解得（舍去负值），B
考点: 反比例函数综合题．
【变式02】对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
(1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______；
①；②；③．
(2)已知函数与函数互为“融创函数”．
①求公共点的坐标；
②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点）
(3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)① ②
(3)
【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可；
（2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可；
（3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果．
【详解】（1）解：一次函数的图象在一、三、四象限，
直线与直线不平行，故有唯一点；
反比例函数的图象在一、三象限，
关于直线与反比例函数的图象有两个交点；
二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点，
与一次函数互为“融创函数”的是①③．
故答案为：①③；
（2）解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”，
则联立，
消去y得；，
则，解得，
故函数，令
解得
∴R的坐标为；
②将函数向左平移个单位得到函数．
联立函数与函数，
则，即，
解得：或，
当，则；当，则；
如图：
设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点，
函数与函数，
，
当时，，当时，，
则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个；
（3）解：函数与函数互为“融创函数”，
令，整理得：
则，即，
当，恒有，
点在函数顶点的右侧，即，
解得，
由，
．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，函数与一元二次方程，二次好速度性质，熟练掌握函数与方程组的关系、二次函数的性质是解题的关键．
【变式03】定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
（1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）；
（2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值；
【定义应用】
（3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值．
【答案】（1）②④；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的和性质，二元一次方程组的计算，理解完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象和性质是解题的关键．
（1）把坐标代入函数解析式，判断点是否在函数图象上，再分别求出点到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判断，即可得到答案；
（2）根据题意得出，得到，求出完美点坐标，即可求出的值；
（3）根据完美点可得二次函数与一次函数有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可．
【详解】解：（1）①当时，，
点在此函数图象上，
点到轴的距离是，到轴的距离是，
，
依据完美点的定义可知，点不是完美点；
②当时，，
点在此函数图象上，
点到轴的距离是，到轴的距离是，
依据完美点的定义可知，点是完美点；
③当时，，
点不在函数图象上，
点不是完美点；
④当时，，
点在函数图象上，
点到轴的距离是，到轴的距离是，
依据完美点的定义可知，点是完美点；
综上，是函数的完美点的有②④，
故答案为：②④；
（2）反比例函数的图象在第二象限，
，
点为反比例函数第二象限图象上的完美点，
，
解得：，
，，
点的坐标为，
；
（3）二次函数的图象上有且只有一个完美点，
二次函数与直线有且只有一个交点，
，
整理得，
，即，
把点代入得，
即，
联立方程组得，
解得 ．
题●型●训●练
一、单选题
1．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可．
【详解】解：∵☆，
∴☆，
∵，
∴，
故选：C．
2．关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据运算定义可得：，解方程即可得到，则问题随之得解．
【详解】∵，，
∴根据运算定义可得：，
解得方程得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及定义新运算等知识，理解新运算的含义以及掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
3．对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查整式的混合运算，根据新运算，可以对代数式化简，本题得以解决．
【详解】解：，
，
故选：A．
4．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可．
【详解】解：∵亮点是和的交点，
∴联立方程：，
解得：
∴交点为，即“亮点”为，
故选：B．
5．我们来定义一种运算： =ad﹣bc．例如=2×5﹣3×4=﹣2；再如=3x﹣2，按照这种定义，当x满足（ ）时，=．
A．x=B．x=C．x=D．x=
【答案】A
【详解】根据题中规定的运算规则可得：
=
即2（）-2x=（x-1）-（-4）×
则-2x=3，
解得x=.
故选A.
【点睛】对于新定义运算，正确理解新运算的方法及含义是解题的关键．
二、填空题
6．对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得_____________ ．
【答案】
【分析】将4和8替换定义中的a和b即可计算．
【详解】由题意得：
==2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可．
7．学习情境·新定义 定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则________．
【答案】3
【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
根据新定义进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：3．
8．对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________．
【答案】1和2
【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次不等式，最后确定正整数解是解题的关键．
根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解．
【详解】解：由定义，，
因此．
不等式为，
移项得，
解得．
所以不等式的正整数解为和．
故答案为：和．
9．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即．
（1）当时，________；
（2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________．
【答案】 3
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识， 分情况讨论是解题的关键．
（1）将代入两个一次函数求出函数值，取最大值即可；
（2）先联立两一次函数求出交点，确定“顶函数”的分段图象，再分析直线过定点的特性，通过讨论直线与顶函数两段图象的交点所在区间，解不等式确定k的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，，因为，所以，
（2）解：联立，解得，
即两直线交点为．
当 时，，故；
当时，，故；
当时，；
直线整理为，可知其过定点．
① 联立，得，
当时，，要求，
解不等式，
解得或．
② 联立，得，
当时，，
要求，解不等式，通分变形得，
解得．
要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得．
即k的取值范围是．
三、解答题
10．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．
【定义理解】
（1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个）
（2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”；
【定义运用】
（3）如图2，已知是直角三角形，，
①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______．
②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______．
【问题拓展】
（4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度．
【答案】（1）钝角；（2）见解析；（3）①，②或；（4）或
【分析】本题主要考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；
（1）根据“类直角三角形”的定义、三角形内角和可进行求解；
（2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（3）①由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；②由题意易得或，则有或，然后根据三角形内角和可进行求解；
（4）由题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可．
【详解】解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：，
∵该三角形是“类直角三角形”，
∴，
∴，
∴，即，
∴该三角形一定是钝角三角形，
故答案为钝角；
（2）证明：∵，是边上的中线，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴是“类直角三角形”．
（3）解：①如图，
∵，，
∴，
∵是“类直角三角形”，
∴，由于，所以不成立，
∴，
∴；
故答案为．
②如图，
∵，，
∴，
∵是“类直角三角形”，
∴或，
∴或，
∴或；
故答案为或．
（4）解：如图，
∵，，，
∴，
∵是“类直角三角形”，
∴或，
情形一：当时，过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∵，，
∴，
方法一：，
∴，
∴，
∴．
方法二：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，解得：，
∴；
情形二：当时，
方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴；
方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点．
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
利用等积法可得：，
∴，
在中，，
设，在中，，
∴，
在中，．
11．定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”．
【理解定义】
（1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度；
【定义应用】
（2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度；
【定义拓展】
（3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？
【答案】（1）5或1；（2）3；（3）或或或
【分析】（1）理解“五美分点”，再进行分类讨论，列式计算，即可作答．
（2）理解“五美分点”，结合，故，，因为，所以，，根据点G为线段的中点，进行列式计算，即可作答．
（3）由题意得：，，当点P追上点Q时，时间为；4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点”，然后进行分类讨论且逐个情况作图，结合线段的和差关系列方程，解方程，即可作答．
【详解】解：（1）∵点C在线段上，
∴，
∵点C是线段的“五美分点”
∴或，
即或，
如答图：
∴或，
又∵，
∴或；
答：线段的长度为5或1．
（2）解：∵点E，F均为线段的“五美分点”，
∴或；或，
∵，
∴，，
∵，
∴，，如答图：
∴，，
∵G为线段的中点，
∴，
∴；
答：线段的长度为3．
（3）由题意得：，，
∵当点P追上点Q时，，
∴，
解得：；
∴4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点”
①如答图3，当点D在线段上时
∵，
∴，，
∵点D是线段的“五美分点”
∴或，
∴或
解得：或；
②如答图4，当点P在线段上时
∵，
则，，
∵点P是线段的“五美分点”
∴或，
∴或，
解得：或，
综上所述：t的值是或或或．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程与几何应用，新定义，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12．阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：．
求的值．
小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以．
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
(1)计算： ______；
(2)若，则______．
(3)函数的图象大致是______．
【答案】(1)
(2)
(3)D
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识．
（1）根据新定义进行解答即可；
（2）根据新定义分两种情况进行解答即可；
（3分和两种情况进行分析即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，；
故答案为：
（2）当时， ，
解得：，
当时，，
解得：，
；
故答案为：
（3）当时，，
此时是双曲线的第一象限部分；
当时，，
此时是双曲线的第二象限部分；
故函数的图象大致是D．
13．请按要求解答：
(1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值．
(2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据新运算的定义，将代入的公式中计算；
（2）观察和，乘积为整数，定义新运算时结合其乘积，再通过添加常数项使运算结果为2026．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：示例：对于任意实数，，都有．
．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，掌握根据新运算的规则代入数值计算，以及结合已知数的特征设计新运算是解题的关键．
14．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）根据题目中给出的信息解答即可；
（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可；
（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；
【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是，
∴点的“和”点的纵坐标为，即．
故答案为：．
（2）将点代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“和抛物线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点的“和”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“和抛物线”为：，
即
∵其顶点坐标为，
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当时，，n有最小值，且最小值为，
∴n的取值范围是.
15．定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点．
【定义应用】
（1）求反比例函数图象的完美点；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标．
【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案；
（2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案；
（3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可．
【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点，
，
或，
反比例函数图象的完美点是，；
（2）二次函数的图象上有且只有一个完美点，
，
即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
②，
联立①②，得，
（3）由（2）可知，
；
如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F，
则，
，
设，则，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
（舍），
当时，，
．
16．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且．
(1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ；
(2)如图1，设，请你说明为什么k约为；
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由；
(4)图3中的的黄金分割线有几条？
【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形
(2)见解析
(3)直线是的黄金分割线，理由见解析
(4)无数条
【分析】（1）仿照题意进行定义即可；
（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条．
【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形，
故答案为：满足的矩形是黄金矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（3）解：直线是的黄金分割线，理由如下：
∵点P是线段的黄金分割点，
∴，
设的边上的高为h，则
，
∴
∴直线是的黄金分割线．
（4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键．
17．定义：
（I）若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为非负数），则称方程与方程是“雅美方程”．
（II）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，即或或，则称三点是“雅美点”．
根据上述定义回答下列问题：
(1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，三点______（填“是”或“不是”）“雅美点”；
方程与是“雅美 方程”；（填写数字即可）
(2)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，且在，之间，若，，三点是“雅美点”，求的值；
(3)若无论取任何有理数，关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”，求的值．
【答案】(1)①是；②2
(2)
(3)或0
【分析】（1）①分别求出线段的长，然后根据定义进行判断；
②分别求出两个方程的解，计算，即可作出判断；
（2）分别求出线段的长，然后根据定义进行判断；
（3）求出方程的解为，根据两个方程是“雅美1方程”得到或，分别代入关于x的方程中，得到关于t的方程，根据无论t取任何有理数都成立进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，
∴，，，
∴，
∴三点是“雅美点”，
故答案为：是；
②解可得，
∴，
∴方程与是“雅美2方程”，
故答案为：2；
（2）解：∵在，之间，且，，三点是“雅美点”，
∴，
∴，解得，
即的值为；
（3）解：由得，
∵关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”，
∴，
∴或，
①当时，，
∴，
∵无论t取任何有理数都成立，
∴，，
∴，，
∴；
②当时，，
∴，
∵无论t取任何有理数都成立，
∴，，
∴，，
∴；
综上所述：的值为或0．
【点睛】本题考查新定义，两点间距离，解一元一次方程，求绝对值，理解题意准确列出方程是解题关键．
18．综合与实践：
【背景知识】
有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．
例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是．
请阅读以上材料，完成下列问题：
【问题情境】
如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是．
【解决问题】
(1)______，______；
(2)______，______；
(3)已知，求的值；
(4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______．
【答案】(1)−2，4
(2)1，6
(3)
(4)或
【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解；
（2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可；
（3）依题意，由，先求得，进一步求解即可；
（4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
故答案为：，4；
（2）解：依题意得：，，
故答案为：1，6；
（3）解：依题意得：，
，解得：，
，
故答案为：3；
（4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：，
点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：，
点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为，
，，
点恰好是点的 “2倍点”，
或，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或，
综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键．
考向解读
核心考查新定义的代数运算（如新定义运算、新定义数、新定义代数式），本质是将新定义转化为初中阶段学过的有理数运算、整式运算、分式运算、方程与不等式等知识点。考向特点是“定义简洁，运算核心”，难度中等，重点考查学生的“翻译能力”和运算精准度，容易因读懂定义不透彻、运算失误、忽略定义限制条件丢分
方法技能
核心思路：第一步“读懂定义”，逐字逐句分析新定义的含义，明确运算规则、适用范围；第二步“翻译转化”，将新定义的运算或概念，转化为初中阶段学过的代数运算；第三步“精准运算”，按照转化后的运算规则，结合代数运算技巧，完成计算或推理。
关键技巧：① 定义拆解：将复杂的新定义拆解为几个简单的基本运算，标注关键条件；② 特殊值验证：遇到抽象的新定义，可代入特殊值，快速理解定义的本质，验证运算结果是否正确；③ 运算规范：严格按照新定义的规则运算，避免混淆新定义与常规运算，计算时分步进行，减少失误。
易错点规避：未读懂定义的核心规则，盲目运算；忽略新定义的取值限制；运算过程中符号错误、公式误用；未验证运算结果是否符合定义要求
考向解读
核心考查新定义的几何概念，本质是将新定义转化为三角形、四边形、圆的性质、几何变换等核心知识点。考向特点是“定义抽象，图形核心”，难度中等偏上，重点考查学生的图形识别能力、推理能力和知识迁移能力，容易因读懂定义不透彻、图形分析不清晰、推理步骤不规范丢分
方法技能
核心思路：第一步“解读定义，绘制图形”，逐句分析新定义的几何特征，结合已知条件，画出符合定义的图形；第二步“提炼本质，转化知识点”，将新定义的几何特征，转化为学过的几何性质；第三步“推理计算”，结合几何性质、勾股定理、相似三角形、三角函数等，完成线段长度、角度、面积的计算或位置关系的证明。
关键技巧：① 图形辅助：无论题干是否给出图形，都要主动绘制符合定义的图形，标注关键条件，借助图形分析推理；② 定义转化：抓住新定义的核心特征，与学过的几何概念关联；③ 分类讨论：遇到新定义图形的位置不确定（如点的位置、图形的摆放），需分类讨论，避免漏解。
易错点规避：未准确理解新定义的几何特征，绘制图形错误；无法将新定义转化为学过的几何知识点，无从下手；推理过程中，忽略图形的隐含条件；分类讨论不全面，导致漏解
考向解读
核心考查新定义的函数概念，本质是将新定义转化为一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，结合代数运算、几何图形综合求解。考向特点是“综合性强，数形结合核心”，难度偏高，重点考查学生的阅读理解能力、数形结合思想和知识迁移能力，是拉开分差的核心题型，容易因定义解读错误、函数性质应用不灵活、动点问题分析失误丢分
方法技能
核心思路：第一步“解读定义，明确函数特征”，分析新定义函数的解析式、定义域、值域、图像特征；第二步“数形结合，绘制函数图像”，根据新定义的函数特征，画出函数图像，结合图像分析函数的增减性、顶点、交点等；第三步“迁移应用，求解问题”，结合函数图像、几何图形性质，完成线段长度、最值、交点个数、动点轨迹等问题的求解。
关键技巧：① 解析式转化：将新定义函数的表达式，转化为学过的函数形式，便于分析性质；② 图像优先：函数类新定义问题，图像是核心工具，通过图像快速判断函数的增减性、交点位置、取值范围；③ 动点处理：若涉及动点，将动点坐标代入新定义函数解析式，用参数表示动点坐标，结合几何性质列方程求解。
易错点规避：未读懂新定义函数的解析式或特征，无法转化为学过的函数；忽略函数的定义域限制，导致取值范围错误；数形结合不熟练，无法通过图像分析函数性质；动点问题中，参数设定错误或轨迹判断失误