2019年—2024年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题（含答案）

这是一份2019年—2024年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题（含答案），共16页。试卷主要包含了(江西）特例感知，阅读下列材料，定义等内容，欢迎下载使用。
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中， QUOTE ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4 QUOTE ，BE=5 QUOTE ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE= QUOTE ．
2．(白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．
点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．
问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．
解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，
如图所示：
则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，
∴△EB1C1是等腰直角三角形，
∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，
∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，
∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，
∴E、C1、N1三点共线，
在△A1B1M1和△EB1M1中，，
∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），
∴A1M1=EM1，∠1=∠2，
∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，
∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，
∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，
∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．
3．(江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_________；
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
形成概念
（2）把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在（2）中，如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，…，，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，，，…，，其横坐标分别为：，，，…，（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，，，…，，连接，，判断，是否平行？并说明理由.
解：（1）①当x=0,，所以正确；
②的对称轴分别是直线，，，所以正确；
③与交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．
（2）①，所以顶点，
令顶点横坐标，纵坐标，，
即：顶点满足关系式.
②相邻两点之间的距离相等．
理由：根据题意得；，，
∴CnCn–1两点之间的铅直高度=．
CnCn–1两点之间的水平距离=．
∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1，
∴CnCn–1=.
③与不平行．
理由：
根据题意得：，，
，．
过Cn，Cn–1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，
所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）.
在Rt△DAnCn中，
tan∠DAnCn=，
在Rt△EAn–1Cn–1中，
tan∠EAn–1Cn–1=，
∵≠，
∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1，
∴与不平行．
4．（自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+2②，
②–①得2S–S=S=2–1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=2–1.
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．
解：（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②–①得2S–S=S=210–1，
∴S=1+2+22+…+29=210–1；
故答案为：210–1；
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②–①得2S=311–1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=；
故答案为：；
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②–①得：（a–1）S=an+1–1，
a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；
a≠1时，a–1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+an=.
5．（随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+=45，则x=__________；
②若–=26，则y=__________；
③若+=，则t=__________；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
解：（1）①∵=10m+n，
∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，
∴x=2，
故答案为：2．
②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，
解得y=4，
故答案为：4．
③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得
若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，
∴100t=700，
∴t=7，
故答案为：7．
（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），
∴则+一定能被11整除，
∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），
∴–一定能被9整除．
∵•–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）
∴•–mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，
972–279=693，
963–369=594，
954–459=495，
954–459=495，…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，
∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a–c≤9，
∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，
故都可以得到该黑洞数495．
6．（衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x1，y2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
解：（1）∵=2，=4，
∴点C（2，4）是点A、B的融合点；
（2）①由融合点定义知x（t+3），y（2t+3），
则t=3x﹣3，则y（6x﹣6+3）=2x﹣1；
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（i）当∠DHT=90°时，如图1所示，
设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），
由点T是点D，E的融合点得：m，
解得：m，即点E（，6）；
（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在；
综上所述，符合题意的点为（，6）或（6，15）．
7．（济宁）阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1