专题二十一 新定义与阅读理解-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题二十一  新定义与阅读理解

1．（2021•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　                      　．

【分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．

【解析】根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，

△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，

∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，

由求根公式可得x

x

x11，此时m为不等于0的任意数，不合题意；

x2，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；

x3，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；

x41，此时m为不等于0的任意数，不合题意；

所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；

令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．

综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；

故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．

2．（2021•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：

（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是　    　；

（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是　            　．

【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可．

（2）由题意，构建不等式即可解决问题．

【解析】（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2，

∴0≤x＜3，

故答案为0≤x＜3．

（2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方，

则有x＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，

或x＜2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a，

故答案为a＜﹣1或a．

3．（2021•临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为　        　．

【分析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论．

【解析】连接AO交⊙O于B，

则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，

∵点A（2，1），

∴OA，

∵OB＝1，

∴AB1，

即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为1，

故答案为：1．

4．（2021•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：

第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．

请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　    　．

【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．

【解析】设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，

则B同学有（x+2+3）张牌，

A同学有（x﹣2）张牌，

那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．

故答案为：7．

5．（2021•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为　          　．

【分析】直接利用坐标的意义进而表示出点C的坐标．

【解析】如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．

故答案为：（3，240°）．

6．（2021•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟

【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．

【解析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，

，

解得，

所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，

由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：

t3.75，

则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．

故选：C．

7．（2021•扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝　  　，x+y＝　  　；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　  　．

【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用（①+②）可得出x+y的值；

（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；

（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．

【解析】（1）．

由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，

由（①+②）可得：x+y＝5．

故答案为：﹣1；5．

（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，

依题意，得：，

由2×①﹣②可得m+n+p＝6，

∴5m+5n+5p＝5×6＝30．

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．

（3）依题意，得：，

由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，

即1*1＝﹣11．

故答案为：﹣11．

8．（2021•重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如：14÷5＝2…4，14÷3＝4…2，所以14是“差一数”；

19÷5＝3…4，但19÷3＝6…1，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

【分析】（1）根据“差一数”的定义即可求解；

（2）根据“差一数”的定义即可求解．

【解析】（1）49÷5＝9…4，但49÷3＝16…1，所以49不是“差一数”；

74÷5＝14…4，74÷3＝24…2，所以74是“差一数”．

（2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，

其中除以3余数为2的有314，329，344，359，374，389．

故大于300且小于400的所有“差一数”有314，329，344，359，374，389．

9．（2021•张家界）阅读下面的材料：

对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．

根据上面的材料回答下列问题：

（1）min{﹣1，3}＝　   　；

（2）当min时，求x的取值范围．

【分析】（1）比较大小，即可得出答案；

（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．

【解析】（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；

故答案为：﹣1；

（2）由题意得：

3（2x﹣3）≥2（x+2）

6x﹣9≥2x+4

4x≥13

x，

∴x的取值范围为x．

10．（2021•内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）．

例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）．

（1）填空：f（6）＝　 　；f（9）＝　  　；

（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；

（3）填空：

①f（22×3×5×7）＝　 　；②f（23×3×5×7）＝　　；③f（24×3×5×7）＝　　；④f（25×3×5×7）＝　　．

【分析】（1）仿照样例进行计算便可；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”的确定出x与y的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出F（t）的最大值即可；

（3）根据样例计算便可．

【解析】（1）6可分解成1×6，2×3，

∵6﹣1＞3﹣2，

∴2×3是6的最佳分解，

∴f（6），

9可分解成1×9，3×3，

∵9﹣1＞3﹣3，

∴3×3是9的最佳分解，

∴f（9）1，

故答案为：；1；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，

根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，

∴b＝a+6，

∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，

∴满足条件的t为：17，28，39；

∵F（17），F（28），F（39），

∵，

∴F（t）的最大值为；

（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，

∴f（22×3×5×7），

故答案为：；

②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35，

∴f（23×3×5×7），

故答案为；

③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48，

∴f（24×3×5×7），

故答案为：；

④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，

∴f（25×3×5×7），

故答案为：．