专题10 函数与几何综合-2026年中考数学（安徽地区）二轮专题复习试题（含答案）

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第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数与几何综合
题型02 二次函数与几何综合
题型03 反比例函数与几何综合
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01一次函数与几何综合
典例引领
【典例01】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于点A，B，直线：交y轴于点C，且与直线交于点D，P是线段上的一动点，连接交于E．
(1)求的长；
(2)若时，求证：P是的中点；
(3)若，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先分别求出点，点的坐标，即可求解；
（2）先求出点的坐标，根据，求出点的横坐标，代入，即可求出点P的坐标，根据中点坐标公式即可得出结论；
（3）由，得到，进而推出，再根据，进而得到点P的坐标，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：直线：交y轴于点B，
，
直线：交y轴于点C，
，
；
（2）证明：联立，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
P是的中点；
（3）解：，
，
，
，
，
设，则，
，
，
即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，两直线的交点问题，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
【典例02】如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（﹣3，1），y＝x+2；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，根据直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，可得点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），再证得△CHB≌△BOA，可得BH＝OA＝2，CH＝OB，即可求解；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，可先证明△BCH≌△BDF，得到BF=BH，再由B（-1，0），C（﹣3，1），可得到OF=OB=1，从而得到 DG=OB=1，进而证得△BOE≌△DGE，即可求证；
（3）先求出直线BC的表达式为，可得k＝ ，再求出点M（﹣6，0），从而得到S△BMC，S△BPN，即可求解．
【详解】解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∵∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
设直线AC的表达式为y＝mx+b ，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：
，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∵∠CBH=∠FBD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH，
∵C（﹣3，1），
∴OH=3，
∵B（-1，0），
∴OB=1， BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB=1，
∵∠OEB=∠DEG，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）设直线BC的解析式为 ，
把点C（﹣3，1），B（﹣1，0），代入，得：
，解得： ，
∴直线BC的表达式为：，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ，
∵直线AC的表达式为：y＝x+2，
∴点M（﹣6，0），
∴S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
∴S△BPN＝S△BCM＝＝NB×＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的性质和图象是解题的关键．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，点C的坐标为.
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 .
（2）求证：是等腰直角三角形；
（3）若直线AC交轴于点M，点是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1) (0,2)；(－1,0)；（2）证明过程见解析；（3）
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）作CD⊥x轴于点D，证明△CDB≌△BOA（SAS）即可解决问题．
（3）求出点P的坐标，利用面积法求出BN的长即可解决问题．
【详解】（1）解：对于直线y＝2x＋2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝−1，
∴A（0，2），B（−1，0）．
故答案为A（0，2），B（−1，0）．
（2）证明：作CD⊥x轴于点D，
由题意可得CD＝1，OD＝3，OB＝1，OA＝2，
∴CD＝OB＝1，BD＝OA＝2，
∵∠CDB＝∠AOB＝90˚，
∴△CDB≌△BOA（SAS）
∴BC＝BA，∠CBD＝∠BAO，
∵∠ABO＋∠BAO＝90˚，
∴∠ABO＋∠CBD＝90˚，
即∠ABC＝90˚，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(3)解：∵在直线BC:上，
∴P ，
直线AC：，
令=0，解得x=-6
∴M(－6，0)，
∵，
假设存在点N，使直线PN平分△BCM的面积，
则，
∴，
∴
∴．

【点睛】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式02】已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（8，0），（0，3）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线＝－＋b交折线O－A－B于点E．
(1)在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；
(3)问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2.5
【分析】（1）因为E在折线O−A−B上运动，所以需要分两类讨论，即E在线段OA上运动时和E在线段AB上运动时，先由矩形OABC的性质，写出B点坐标为（6，2），再根据题意画出每一种情况下的图形，通过图形，对面积进行填充或分割，列出式子，即可求解；
（2）利用矩形对边平行的性质，可以得到DMEN为平行四边形，并且∠NDE＝∠DEM，利用轴对称的性质，可以得到∠NED＝∠DEM，所以∠NDE＝∠NED，所以DN＝NE，则平行四边形DMEN为菱形；
（3）过D作DG⊥OA于G，由直线解析式可以求得D和E坐标，从而得到GE＝4，在Rt△DMG中，利用勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，且A（6，0），C（0，2），
∴B（6，2），
若直线y＝−x＋b经过点C（0，2），则b＝2，
若直线y＝−x＋b经过点A（6，0），则b＝3，
若直线y＝−x＋b经过点B（6，2），则b＝5，
①如图1，当点E在线段OA上时，2＜b≤3，
令y＝0，则−x＋b＝0，
∴x＝2b，
∴E的坐标为（2b，0），
∴S＝•2b•2＝2b，
②如图2，当点E在线段AB上时，3＜b＜5，
∵点D，E在直线y＝−x＋b上，
当y＝2时，x＝2b−4，
当x＝6时，y＝b−3，
∴D的坐标为（2b−4，2），E的坐标为（6，b−3），
∴S＝S梯形ODBA−S△DBE−S△AOE＝−b2＋5b，
S＝；
（2）DM＝ME＝NE＝DN，理由如下：
∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′为平行四边形，
∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，
∴DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DMEN为平行四边形，且∠NDE＝∠DEM，
∵矩形OABC关于直线对称的图形为矩形O′A′B′C′，
∴∠DEN＝∠DEM，
∴∠NDE＝∠DEN，
∴DN＝NE，
∴▱DMEN为菱形，
∴DM＝ME＝NE＝DN；
（3）如图3，过D作DG⊥OA于G点，
∴∠DGO＝∠DGE＝90°，
∴∠DCO＝∠COG＝∠DGO＝90°，
∴四边形CDGO为矩形，
∴DG＝CO＝2，
由（1）可得，D（2b−4，2），E（2b，0），
∴GE＝4，
设DM＝ME＝x，则GM＝4−x，
在Rt△DGM中，DM2＝DG2＋GM2，
∴（4−x）2＋4＝x2，
∴x＝2.5，
∴ME＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，一次函数的性质，列函数关系式，勾股定理，运用数形结合和分类讨论思想，同时，要注意勾股定理在计算中的应用是解题的关键．
【变式03】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线（为常数）的图象经过点，点在直线上一动点，且的横坐标为，以为对角线构造，分别在轴、轴上．
(1)求的值；
(2)当点纵坐标为，求点的坐标；
(3)当在第一象限时，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(4)的面积为，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)点；
(3)点；
(4)或或．
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，平行四边形的性质和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）根据一次函数的性质和平行四边形的性质即可求解；
（）由的面积是的面积的倍，得，求出的值即可；
（）由，的面积是，得，整理得：，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵直线的图象经过点，
∴，
解得：；
（2）由（）得：，
∵点纵坐标为，
∴，解得：，
∴点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点；
（3）由题意得：，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，
∴，即，
解得：，
∴点；
（4）∵，
∴，，
∵的面积是，
∴，整理得：，
∴或，
解得：或或．
题型02二次函数与几何综合
典例引领
【典例01】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一点，且位于轴上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在抛物线上，且在直线上方，当的面积是时，求的面积；
(3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把，代入抛物线解析式，得，解出即可；
（2）根据的面积，而，则，的面积根据三角形的面积公式列出进而求解；
（3）设直线的解析式为，联立抛物线和的表达式得：，方程的两个解即分别为m，n，利用根与系数的关系即可求出的值．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：的面积，而，
则，
则轴，则点、关于抛物线对称轴对称，则，
则的面积；
（3）解：设直线的解析式为，
联立抛物线和的表达式得：，
则
．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质．
【典例02】已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标：
(3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)P点的坐标为或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式；
（2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可；
（3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：由题意得即，
把代入得，
解得，
，
，
∴顶点坐标为
（2）设与y轴交于点D，
，
又，对称轴为直线，
，
或，
设直线，由得
解得
∴，
当时，
∴，
由同理可得得，得到
综上P点的坐标为或．
（3）由题意得：，
仅存在一个点，使得，
抛物线与直线仅有一个交点，
，
整理得，
，
，
又，当时，随着的增大而减小，
∴时，n最大为．
方法透视
变式演练
【变式01】在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，．
(1)求a，b，c的值．
(2)若P 是第一象限内抛物线上的一点．
①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式．
【答案】(1)，，
(2)①存在，点的坐标为，点的坐标为；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q．求出直线的函数解析式为；设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为，表示出，然后利用得到，进而求解即可；
②根据题意得到当最大时，的值最大，求出，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，，
∴设抛物线的解析式为
将代入抛物线的解析式中，得，
解得
∴
∴，，；
（2）①存在点P，使得以 C，P，B为顶点的三角形的面积为
理由如下：如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q．
设直线的函数解析式为
把，代入得
解得
∴直线的函数解析式为；
由（1）可知，
设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为

解得，
∵ ，
∴存在两点都在第一象限，且满足以 C，P，B为顶点的三角形的面积为，
此时点的坐标为 ，点的坐标为 ；
②∵
∵的面积是定值
∴当最大时，的值最大
∴当点P为抛物线的顶点时，最大
∴
设直线的函数解析式为
把，代入，得
解得
∴直线的函数解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用、解一元二次方程、二次函数的最值问题，面积问题和利用待定系数法求一次函数的解析式，把二次函数解析式化为顶点式求最值，确定点P的坐标是解题的关键．
【变式02】如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点，且．
(1)求的值；
(2)若是二次函数图象在第一象限内的一个动点，作轴于点，与轴交于点．
连接，，当时，求的面积；
判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②，理由见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何图形结合的综合运用等知识点．利用点的坐标的意义表示线段的长度、从而求出线段之间的关系成为解题的关键．
（1）当时，，即，再结合得到即可解答；
（2）①点A、的坐标分别为：、，即，再根据可得直线的表达式为：，易得；再联立求得，再根据的面积求解即可；
设点，则，由点A、的坐标得，直线的表达式为：，则点，则即可求解．
【详解】（1）解：当时，，即，
∵，
∴，即；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，，解得：或5，
∴点A、的坐标分别为：、，即，
当时，
∴直线的表达式为：，
当时，，即，
联立可得：，
解得：舍去或，即点，
则的面积．
②，理由如下：
设点，则，
由点A、的坐标运用待定系数法可得：直线的表达式为：，则点，则，
∴．
【变式03】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求，的值；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围；
(3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）由抛物线，则当时，；当时，，从而可求出的取值范围；
（）联立得，求出点的坐标为，则点，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，通过面积公式得，然后由二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点，分别代入，
得，
解得；
（2）解：由（）知，
∴抛物线，
当时，；当时，，
∵点的坐标是，
∴的取值范围是；
（3）解：由（）知，点的坐标为，
联立得，
∴，
解得，，
当时，，
∴点的坐标为，
∵点，
∴点，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，
则，，，，，
∴
，
∴当时，最小，
∴的值为．
题型03反比例函数与几何综合
典例引领
【典例01】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；
（1）把点A的坐标代入进行求解即可；
（2）由（1）可先得出点B坐标，然后再求出点C坐标，最后根据割补法可进行求解
【详解】（1）解：将点代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）得，点，
过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，
∴，
∴，
，
∴，
∴
∵，
，
∴，
．
【典例02】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象交于第一象限内的点，点也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴于点N，交直线与点D．

(1)求点D的坐标及的面积；
(2)过反比例函数图象上一点P作直线于点E，过点E作轴点F，过点P作于点G，记的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题目，涉及求函数解析式，两函数交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将点A，B代入反比例函数，求出n的值，进而得出A点坐标，利用待定系数法即可求函数解析式，再根据过点B作y轴的平行线，可得点B、D的横坐标相同，代入正比例函数解析式；过点作轴于点，过点作于点，根据求解即可；
（2）设，则，进而证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，则，将其代入反比例函数，可得，进而求解即可．
【详解】（1）解：点反比例函数图象上，
，解得，
，，
将代入，得，
正比例函数解析式为，
轴，
当时，，
．
过点作轴于点，过点作于点，
∴；
（2）解：如图，设，则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
设，则，
将其代入反比例函数，得，即，
．
方法透视
变式演练
【变式01】如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，结合点C的坐标为，得到，再由中点的定义得到点E的坐标为，代入到，即可求出反比例函数的表达式；
（2）设与轴交于点，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求出的长，通过证明四边形是矩形得到，再证明得到，代入数据即可求出线段的长．
【详解】（1）解：正方形，
，，，
点C的坐标为，
，
，
点E为的中点，
，
点E的坐标为，
代入点到，得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，设与轴交于点，则，
由（1）得，，
，轴，
，，
由翻折的性质得，，
，，
轴，
，
，，
四边形是矩形，，
，
，，
，
，即，
解得：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质、翻折的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式02】如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，注意数形结合思想的运用．
（1）根据点A的横坐标与B点的纵坐标都为，分别代入反比例函数式中即可求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得直线解析式；
（2）由（1）所求直线解析式可求得点M的坐标，再由即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，
，，
一次函数的图象过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
，
，
，
；
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方．
【变式03】【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，．
【构建联系】
（1）求证：．
（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答；
（2）过点作轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质列方程，即可解答；
（3）过点作于点，过点作于点，求得的长，即可解答．
【详解】解：（1）证明：设点，，
点，都在正方形上，
，且，
，即．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
轴，
，
，
，
，．
，
，
解得，
点．
把点代入，解得；
（3）如图2，过点作于点，过点作于点，
，
则四边形为矩形，
由（2），可知，，，，，
，
，，
，
，
．
题●型●训●练
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
【答案】(1)，．
(2)．
【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得
，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的表达式为：
（2）由（1）得，一次函数的解析式为，
令，则；
令，则，，
，
，，
，
，
设点
，解得，
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．
(1)求证：；
(2)若点C的坐标为，求直线的解析式．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题．
（1）证明和即可得出结论；
（2）设直线的解析式为：，把A，C坐标代入可求出m和n的值，进而可求出的长，因为，所以M的坐标又可求出，再设直线的解析式为，把M和B点的坐标代入求出k和b的值即可求出直线的解析式．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设直线的解析式为：，把A，C坐标代入得：
解得，
∴直线的解析式为，
令，可求得，
∴，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，把和的坐标代入得：
解得：，
∴直线的解析式．
3．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，且满足，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题等知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及一次函数与反比例函数的性质．
()把点坐标代入反比例函数解析式可求出，再令，可求出，把和坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法可求解；
()由图可得的面积的面积的面积，进一步求得的面积；设点的坐标为，直线与轴交于点，先求出直线与轴的交点坐标,分当点在轴上方时，当点在轴下方时两种情况，根据，求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴点，
∵一次函数过点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：∵一次函数与轴交于点，
∴令，得，
解得，
∴，
由题可得：，
∴，
∵，
∴，
如图，设点的坐标为，直线与轴交于点，
∵一次函数的表达式为，
∴令，则，
∴点，
第一种情况：当点在轴上方时，
由图可得：，
即：，
解得,
∴点的坐标为，
第二种情况：当点在轴下方时，
由图可得：，
即：，
解得，
点的坐标为，
综上，点在轴上，且满足，点的坐标为或．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C．
(1)求直线的表达式；
(2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标；
(3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)、、 、；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先求得，然后代入求得a的值即可解答；
（2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可；
（3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可．
【详解】（1）解：直线交x轴于点A
，解得：，即，
将代入中可得：
，解得：，
直线的表达式：．
（2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B
∴令，则，即，
直线过点A交y轴于点C
令，则，即
∴，
设点P的坐标为，则
①当，
，即
，即，
∴，；
②当；
，即，
，即，
∴，．
综上，P的坐标为、、、．
（3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，
，解得： ，
∴
同理 ，解得：，即；
①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G，
，
∴，即，解得：；
②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q
，
，解得：．
综上所述：或．
5．如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，；
(1)求直线的解析式；
(2)当的面积等于3时，求点的横坐标；
(3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为，
①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）；
②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值．
【答案】(1)
(2)1或2
(3)①；②或或或
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与几何综合的问题，分类讨论是解题的关键．
（1）根据函数与坐标轴交点问题，得到点坐标，再根据待定系数法得到方程即可；
（2）作垂直于，垂足为，设点，则的坐标为，利用求解即可；
（3）①根据函数图象关系写出解析式即可；
②由，则当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，再分，，，四种情况求解即可．
【详解】（1）解：当时，即，
解得，，
，
当时，即，
设直线的解析式为将点和点代入，
得
解得
的解析式为.
（2）如图1，作垂直于，垂足为，
设点，则的坐标为，
，
，
，
或.
（3）①由图可知，当或时，，
，
当时，，
，
②∵，
当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形.
如图2，当时，
，
解得或（舍）
如图3当时，
，
解得或（舍）
如图4，当时，
，
解得
如图5，当时，
，
解得或（舍）；
综上， 的值为或或或．
6．已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为，抛物线与轴的交点为．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由．
②若的面积是的面积的倍，求的值．
【答案】(1)，的最小值为；
(2)①的长为定值，理由见解答过程；②的值为．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由，可得顶点的坐标为，又点始终在直线上，故，即得，可知取得最小值为；
（2）①由（1）知，可得，，令，解得或，求出点的坐标为，点的坐标为，故为定值；
②延长交轴于点，则点的坐标为，求出，，，，根据，且，可得，而，，故，可解得的值为．
【详解】（1）解：，
顶点的坐标为，
点始终在直线上，
，
，
，
当时，取得最小值为；
（2）①的长为定值，理由：
如图：
由（1）知，
令得，
，，
令，
，
，
，
或，
或，
把代入，得，
点的坐标为，
轴，，
点的坐标为，
，
为定值；
②如图，延长交轴于点，则点的坐标为，
，，，，
，且，
，
，
而，
，
，
解得或不合题意，舍去，
的值为．
7．在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且，与x轴交于A，两点点A在点B的左侧，与y轴交于点
(1)求c的值用含a的代数式表示
(2)若抛物线开口向上，且，求a的值．
(3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)2
(3)或或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）把点代入解析中即可得c的表达式；
（2）由解析式可求出对称轴为直线，点利用对称性可得点，最后利用两点间距离公式列方程即可求解a的值；
（3）分以下几种情况讨论：①当时，若抛物线的顶点在线段上，则，解得；
当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，即，
②当时，当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，即，综合以上所有情况即可得到a的取值范围．
【详解】（1）解：把点代入中，得，
解得；
（2）由（1）得，
抛物线的对称轴为直线，
点
抛物线与轴交于点C，
点
，
，
解得（开口向上，负值舍去），
的值为；
（3）分以下几种情况讨论：
①当时，
若抛物线的顶点在线段上，
则，解得；
当时，，满足抛物线与线段只有一个交点．
即，
，
②当时，
当时，，满足抛物线与线段只有一个交点，
即，
，
综上所述，a的取值范围为或或
8．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点P，横坐标为,，
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题．
（1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式；
（2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围；
（3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为，
∴由顶点公式，其中即
∴
∴抛物线表达式为 ．
（2）当时，即
解得或（舍去），
故．
当时，故．
设直线的方程为
将点与点代入得
∴直线的方程为．
向上平移m个单位后，直线方程为．
与抛物线联立：
整理得：
抛物线与直线有交点时，，
解得，又 ，
∴m 的取值范围为．
（3）抛物线对称轴为．
直线当时，故．
顶点当故．
点．
设在抛物线上，．
如图，
情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时，
因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为，
联立抛物线方程，
解得：或，
∴点P坐标为.
情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因，
∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离，
当过点时，代入
∴解析式为，
联立，
整理得：，
解得：，
即点的横坐标是，点的横坐标是.
综上所述，存在点横坐标为.
9．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P．
(1)求线段的长；
(2)若，求点M的坐标；
(3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为或
(3)存在，点M的坐标为或
【分析】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．
（1）根据题意确定，，即可求出线段的长度；
（2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可；
（3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
解得，．
点A在点B的左侧，
，，
．
（2）令，得，
．
设直线的解析式为
把点，代入，
得，
解得
直线的解析式为．
轴，
设，则，
，
，
或，
解得，（舍去），，（舍去）．
点M的坐标为或．
（3）轴，
设，且，则，，
，，．
和相似，且，
或．
当时，，且，
，即，
解得（舍去），，
；
当时，如图，过点M作轴于点D，
则，
，
，，
，解得（舍去），，
综上，当以点M，P，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标 为或．
10．对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长．
(3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可得对称轴为直线，则可推出，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出，；进而得到直线解析式为；设，则，则，可求出，，
，根据，可推出，据此可得答案；
（3）求出，则，据此根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵当自变量时，函数y的最大值为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入到中得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴，
在中，当时，，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
设，则，
∴，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵P，Q两点不重合，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，对角线与交于点 ， ，．反比例函数的图象经过点 ，分别与，交于点，．
(1)若，求的值；
(2)连接，若的面积是，试判断点下是否在直线上，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)点在直线上，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由矩形的性质得，，通过勾股定理求出，从而求出，，，，利用中点坐标公式得，则有；
（）由的面积是，求出，设，则，，又反比例函数的图象经过点，，则，求出的值，从而得出反比例函数的解析式为，则得到，由点的坐标即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，，，，
∵对角线与交于点，
∴点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴；
（2）解：点在直线上，理由：
∵，
∴，
设，则，，
∵反比例函数的图象经过点，，
∴，解得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴，
∴点在直线上．
12．矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E；
(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接，求的正切值；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意易得点、的坐标，再根据中点的性质得到点F的坐标，利用待定系数法求出的值，进而得到点E的坐标；
（2）根据反比例函数的图像性质得到点F、E的坐标，进而得到、的值，再利用计算即可；
（3）过点E作于点H，则、，根据折叠的性质得到、、，易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出k的值，进而得到此时反比例函数的解析式．
【详解】（1）解：、，
、，
点F是边的中点，
，
点F在反比例函数的图像上，
，
，
反比例函数的解析式为，
将点的纵坐标代入得：，
，
；
（2）解：点的横坐标为，
，
，
点的纵坐标为，
，
，
在中，；
（3）解：过点E作于点H，如图：
、，
，
由折叠可知，、、，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
此时反比例函数的解析式为．
13．如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求和的值：
(2)若点与点关于轴对称，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出一次函数解析式，然后求出点坐标，根据轴对称的性质求出点，再由求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点，
∴将，两点代入，则，
∴，
∴；
（2）解：将点，代入，
则，
解得，
∴一次函数解析式为，
令，则，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点在反比例函数的图象上，点的坐标为，连接、、，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，反比例函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出一次函数的解析式，再得出，然后代入进行计算，即可作答．
（2）先求出，得则，因为，得，整理得，再把数值代入，进行计算，得，最后代入反比例函数进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线（为常数）与轴、轴分别交于点、
∴把代入，得，
解得，
∴，
把点代入，得，
即，
依题意，把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得，，；
依题意，令，则，
解得，即，
∴，
则，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
则，
解得，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
∴点的坐标为．
15．如图，函数和的图象相交于A、B两点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
观察图象，不等式的解集为__________；
(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．
【答案】(1)，，或；
(2)或
【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可；
（2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可．
本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：联立方程组得，
解得或’
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围，
∴不等式的解集为或．
故答案为：，，或；
（2）解：设与y轴的交点为M，
令时，，
则点M的坐标为，
设C点的坐标为，
由题意知， ，
解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴点C的坐标为或．
16．【情景预设】
如图，在平面直角坐标系中(为1个单位长度)，平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为．
【初步解决】
（1）求反比例函数表达式．
【深入探究】
（2）若经过A，C两点的直线表达式为，请直接写出不等式的解集．
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）由题意确定出A的坐标，然后将A的坐标代入反比例函数表达式中求出k的值，即可求得反比例函数表达式；
（2）先求得点C的横坐标，然后根据图象即可求得解集；
（3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，再计算出，然后利用即得．
【详解】解：（1）由题意可知，将A点坐标代入中，得，
∴，
∴反比例函数表达式为．
（2）由题意得，，
∴C点的横坐标为4．
由图象可知，不等式的解集是或．
（3）把代入，得，
∴．
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形，比例系数的几何意义，求三角形的面积，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
考向解读
中考常考，核心考查一次函数解析式的求解（待定系数法）、一次函数图像与三角形的交点、三角形面积计算、线段长度求解。考向特点是“数形结合基础，计算量适中”，难度中等，重点考查一次函数的性质与三角形面积公式、勾股定理的联动，容易因解析式求解错误、交点坐标计算失误、面积公式应用不灵活丢分
方法技能
核心思路：先根据题干条件（点的坐标、线段长度、角度），用待定系数法求出一次函数解析式（y=kx+b，k≠0），再结合函数图像，找到直线与三角形顶点、边的交点坐标，最后利用三角形性质（面积、勾股定理）完成计算。
关键技巧：① 解析式求解：已知两点坐标直接代入，已知一点和斜率直接写解析式，已知线段平行关系（斜率相等）可确定k的值；② 交点坐标：求直线与坐标轴的交点（令x=0求y，令y=0求x），求两条直线的交点（联立两个一次函数解析式求解）；③ 面积计算：若三角形有边在坐标轴上，直接用底×高÷2；若无边在坐标轴上，用“割补法”（补成矩形或梯形，减去周围直角三角形面积）或“铅垂法”（以水平或垂直线段为底，求高）。
易错点规避：待定系数法代入时，坐标与x、y对应错误；忽略一次函数的斜率k的意义（平行、垂直的条件）；三角形面积计算时，底和高对应错误；未结合函数图像分析，漏找交点坐标
考向解读
核心考查二次函数解析式求解（顶点式、一般式、交点式）、二次函数图像与三角形的交点、三角形的全等/相似、线段长度与角度计算、最值问题。考向特点是“综合性强，难度偏高”，重点考查二次函数的顶点、对称轴、增减性与三角形性质的联动，是拉开分差的核心题型，容易因解析式求解错误、相似三角形判定失误、最值问题建模错误丢分
方法技能
核心思路：优先选择合适的形式求二次函数解析式（已知顶点用顶点式y=a(x-h)²+k，已知交点用交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，已知三点用一般式y=ax²+bx+c），再结合二次函数的对称轴、顶点坐标，分析三角形的边、角关系，利用全等、相似、勾股定理求解，最值问题结合二次函数的增减性或顶点性质求解。
关键技巧：① 相似三角形应用（高频）：在二次函数图像中，常通过“两角相等”判定三角形相似，利用相似比求线段长度；② 线段长度计算：两点间距离公式，或转化为水平、垂直线段（利用对称轴对称性质）；③ 最值问题：三角形的面积最值、线段长度最值，可转化为二次函数的最值，结合顶点坐标或增减性求解，注意自变量的取值范围（结合几何图形的限制）。
易错点规避：二次函数解析式中，顶点式的h符号错误；相似三角形的对应边找错；忽略自变量的取值范围，导致最值求解错误；线段长度计算时，未化简或计算失误
考向解读
核心考查反比例函数解析式求解（k的几何意义）、反比例函数图像与三角形、四边形的交点、面积计算。考向特点是“k的几何意义是核心，计算简洁”，难度中等，重点考查反比例函数k的几何意义，容易因k的符号判断错误、面积公式应用不灵活丢分
方法技能
核心思路：先根据k的几何意义或已知点坐标，求出反比例函数解析式，再结合函数图像，分析点的坐标与几何图形的关系，利用k的几何意义、三角形/四边形面积公式完成计算。
关键技巧：① k的几何意义应用（高频）：牢记“双曲线上任意一点到两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积=|k|，三角形面积=|k|”，可快速求解k的值或面积；② 交点坐标求解：联立反比例函数与一次函数解析式，求解交点坐标，注意k的符号（决定双曲线的象限）；③ 面积计算：复杂图形用割补法，结合k的几何意义简化计算，避免繁琐的坐标运算。
易错点规避：忽略k的符号（双曲线在不同象限，点的坐标符号不同）；误用k的几何意义；联立解析式求解交点时，计算失误；忽略反比例函数中x≠0的限制条件