2026年安徽中考数学二轮复习 专题01 函数综合应用(题型专练)

这是一份2026年安徽中考数学二轮复习 专题01 函数综合应用(题型专练)，共37页。
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 三种基本函数的解析式求解
题型02 函数图像的基本性质应用
题型03 函数与方程、不等式的关联
题型04 函数与几何图形的综合
题型05 二次函数的最值与实际应用
题型06 函数综合探究题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 三种基本函数的解析式求解
典例引领
【典例01】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，在中，．
(1)求的值；
(2)求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）过点作轴于点，过点作轴于点，可得，即得，，再根据锐角三角函数得，根据角的和差关系得，即得，得到，再利用待定系数法解答即可求解；
（）设直线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解；
本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∵点坐标为，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：设直线的函数表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为．
【典例02】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点．
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
方法透视
变式演练
【变式01】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
【答案】(1)，
（1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题；
【详解】（1）解：把代入得，
所以反比例函数解析式为，
把代入得，
解得，
则点坐标为，
把、代入得，
解得，
一次函数解析式为；
【变式02】小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6．
(1)求该图象的函数解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可；
【详解】（1）解：当时，设函数表达式为，
由题可知，函数图象过和，
∴，解得，
∴；
当时，设函数表达式为，
由题可知，函数图象过，，，
∴，解得，
∴；
∴该图象的函数解析式为；
【变式03】抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点
(1)求b，c，d的值；
【答案】(1)，，
【分析】（1）由二次函数的顶点得，，求出、，再用待定系数法求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线顶点为，
，，
解得：，，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式，
当时，，
，
抛物线与y轴交于点B，
，
故：，，；
题型02 函数图像的基本性质应用
典例引领
【典例01】已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）求k关于的表达式；
（ⅱ）当满足，求k的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标公式，点的坐标和解析式的关系，一次函数的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质．
（1）利用顶点坐标公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据点的坐标和函数解析式的关系列出式子进行整理即可；
（ⅱ）根据一次函数解析式的性质，分析其增减性即可得出最值．
【详解】（1）解：对于抛物线，由顶点横坐标公式，得其顶点横坐标为．将代入，得，即顶点坐标为．
抛物线的顶点横坐标为，代入抛物线得顶点纵坐标为．
抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大2，，
即，解得．
，
；
（2）解：（ⅰ）点在抛物线上，则．
点在抛物线上，则．
，
，
将代入可得：
，
即；
（ⅱ）为一次函数，，k随的增大而减小，
由于，所以当时，．
的最小值为．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点．
(1)求k的值；
(2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点D．设四边形的面积为S，探究S随x的变化情况．
【答案】(1)
(2)S随x的增大而增大
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）先求出点A和点B的坐标，进而得出点C的坐标，即可得出k的值；
（2）设，则，设，则，结合一次函数和反比例函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵A为线段的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点C，
∴；
（2）解：∵点P是反比例函数的图象上一个动点，
∴设，
∴，
设，则，
∴S随a的增大而增大，
在中，，
∴时，a随x的增大而增大，
∴S随x的增大而增大．
【变式02】已知函数（m为常数），问：
(1)无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上某一定点，该定点坐标为______；
(2)求证：无论m为何值，该函数的图像顶点都在函数图像上：
(3)若抛物线与x轴有两个交点A、B，且，求线段AB的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)线段AB的最大值为3
【分析】（1）令，，可得，，即可求解；
（2）先求出函数的顶点坐标为，再代入，即可求证；
（3）先求出，然后令线段AB的长度为z，则，再由，可得到，再根据一次函数的增减性，即可求解．
【详解】（1）解：令，，
解得：，，
∴无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上的点；
（2）证明：∵，
∴函数的顶点坐标为，
∴当时，，
∴无论m为何值该函数图像的顶点都在图像上；
（3）解：令，，
解得：，，
∴，
令线段AB的长度为z，则，
因为，
所以，
因为z随m增大而增大，
所以当时，，
故线段AB的最大值为3．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
【变式03】已知抛物线．
(1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）．
(2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点．
（i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围；
（ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为
(2)（i）；（ii）
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用配方法将抛物线变形为，即可解答；
（2）（i）由（1）知抛物线对称轴为，结合抛物线开口方向，只需令得，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意，求出，代入解析式令，由题意得方程的解为，求出，，得到抛物线解析式为，再利用抛物线性质结合题意即可解答．
【详解】（1）解：，
则抛物线的对称轴为，顶点坐标为；
（2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为，
∵抛物线中，，
∴抛物线开口向下，
∵点M的坐标为，点N的坐标为，且，
∴，
当时，解得：，
此时，，解得：，
∴；
当时，不等式组无解；
当时，解得：，
此时，，解得：，
∴不存在此种情况；
当时，解得：，
此时，，解得：，
∴；
综上，b的取值范围为；
（ii）根据题意，
∴，
∴，
令，则，
由题意得方程的解为，
∴，，
∴，，
两式相减：，解得，
则，，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∵当时，y的最大值为11，最小值为2，
令，则，
解得：或，
∴当时，，则；
当时，，则；
综上，的取值范围为．
题型03 函数与方程、不等式的关联
典例引领
【典例01】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴负半轴交于点，的面积为3．
(1)求，的值；
(2)结合图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合函数图象求解不等式．
（1）利用的面积公式求出的值，确定点的坐标，点A作轴，过点作轴，垂足分别为，，进而根据得到关于a，b的表达式，再根据，联立解得求出a，b的值；
（2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，得到不等式的解集．
【详解】（1）解：的面积为，
，解得，
点的坐标为，
如图，过点A作轴，过点作轴，垂足分别为，．
，
，
，
，在反比例函数上，
，，
，，
，联立①②，解得：
，；
（2）解：，
，
．
若，当时，，由图象可知，；
若，当时，，由图象可知，．
综上所述，当或时，．
【典例02】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)若P为x轴上一点，的面积为5，求点P的坐标；
(2)结合图象，关于x的不等式的解集为_______．
【答案】(1)或．
(2)或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的综合、三角形的面积的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）根据反比例函数的图象经过，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标；再根据A、B点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；设直线与x轴的交点为C，根据三角形面积求出的长，根据C的坐标即可得出P的坐标；
（2）直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵在上，所以，
∴A的坐标是，
把，代入，得：
，解得，
∴一次函数的解析式为；
如图，设直线与x轴的交点为C，
把代入得：，解得：，
∴C的坐标是，
∵P为x轴上一点，且的面积为5，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是；当P在正半轴上时，P的坐标是．
∴P的坐标是或．
（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为：或．
故答案为：或．
方法透视
变式演练
【变式01】小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6．
(1)求该图象的函数解析式；
(2)若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．
(3)若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质：
（1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可；
（2）求出二次函数在时的函数值y的取值范围，根据该二次函数图象与直线图象在时没有交点即可得到t的范围；
（3）根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于，据此列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：当时，设函数表达式为，
由题可知，函数图象过和，
∴，解得，
∴；
当时，设函数表达式为，
由题可知，函数图象过，，，
∴，解得，
∴；
∴该图象的函数解析式为；
（2）解：由题可知，在时无解，
问题可转化为抛物线与直线在时无交点，
对于，其顶点为，当时，，作出抛物线的图象如图所示：
∴，当时，，
∴或；
（3）解：∵，
∴，
∴点P、Q关于直线对称．
当时，，，
若，则，解得或，
当时，若，则，得，
∵之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，
∴根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于，
∴①当，如图：
由题意得，
∴；
②当，如图：
由题意得，
∴，
综上：或．
【变式02】定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：．
(1)二次函数当时“影差”值为0．
①求、的值．
②求此时该二次函数点“影差”最大值．
③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围．
(2)若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值．
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键．
（1）①根据题意可得经过，把代入二次函数即可解答；
②根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答；
②根据题意列出不等式，结合二次函数的图象解不等式即可；
（2）由点与点的“影差”相等，可得，代入二次函数可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得．
【详解】（1）解：①根据题意可得经过，
把代入二次函数可得，
，
解得，
所以；
②二次函数的解析式为，
则该二次函数点“影差”为，
当时，该二次函数点“影差”有最大值为；
③根据题意可得，
即，
令，当时， ，
解得，
与轴的交点坐标为，
，
结合二次函数的图象，可得的解集为，
即二次函数点“影差”大于5时，；
（2）解：令，可得，
，
点与点的“影差”相等，
，
，
把代入，可得
，
，
，即，
二次函数，
二次函数的“影差”最小值为，
的最小值为，
则可得，
解得，
故的值为或．
【变式03】抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4．
(1)求的值；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点．
（i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值；
（ii）若，且当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可；
（2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出，
，由，得到，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4，
∴，即；
（2）解：（i）由（1）知，
∴抛物线，
∵为抛物线上一点，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵仅存在一个正数，使得，
∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，
∴，即，
解得：，
当时，，解得：（舍去，不符合题意）；
当时，，解得：（符合题意）；
∴，
∴，
∵为抛物线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值；
（ii）∵，，且为抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
模块说明：
1.选题标准：精选10-15道高质量的中考真题、最新模考题。
2.综合性：题目应覆盖多个考向，具有较强的综合性。（学科存在差异化）
或选题应覆盖本专题所有考向，综合类试题中涉及该专题考向的试题做标注。
题型04 函数与几何图形的综合
典例引领
【典例01】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，若，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可；
（2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：∵轴于点D，，
∴，
∴将代入得，
∴，
将代入得，
∴，
∴，
∴．
【典例02】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点．
(1)求的值；
(2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；
(3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解；
（）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解；
（）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
把代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图，设直线交轴于，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
由，解得或，
∵点是直线上方的抛物线上一动点，
∴．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标是．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点为反比例函数图象的任意一点．若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键．
（1）先求出坐标，再由待定系数法求解；
（2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得：，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
∴，
当点的纵坐标为2时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【变式02】如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点．
(1)求此二次函数的关系式；
(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．若，的面积为，
①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；
②求的最大值以及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)①，；②有最大值为，
【分析】（1）将，代入得到，求出，即可得到二次函数的关系式为；
（2）①先求出，继而求出线段的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：，
二次函数的关系式为；
（2）解：①，点是抛物线的顶点，
，
设线段的解析式为，
将，代入得，
解得，
线段的解析式为，
轴，，
，
，
，，
；
②，，
当时，有最大值，最大值为，
此时，．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【变式03】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，过点作交抛物线于点．
（ⅰ）连接，，求的面积；
（ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）或或
【分析】（1）将点和代入，解方程组即可；
（2）（ⅰ）确定，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，，，再计算即可；
（ⅱ）分两种情况：①当点在的垂直平分线上时，②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点，
当时，，
∴，，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则，
∴为等腰三角形，
此时点的纵坐标为，且在直线：上，设，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，
则，
∴为等腰三角形，
∵，且点在直线：上，设，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或，
此时抛物线的表达式为或；
综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
题型05 二次函数的最值与实际应用
典例引领
【典例01】已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值．
(3)若时，总满足，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可．
（2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，，
证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为．
（3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或．
【详解】（1）解：将点、、代入，
得，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
则直线的解析式为，
过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，
则，，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）解：∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
令，则，
解得：或，
若时，总满足，
则或，
∴或．
【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点
【典例02】在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值；
(3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点的坐标代入解析式，结合对称轴代入公式即可求得；
（2）利用坐标表示，然后利用二次函数的性质求的最小值；
（3）利用点的坐标表达线段长度，再利用线段表达面积，最后利用求出的值
【详解】解：（1）由题意得解得
抛物线的表达式为．
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点．
设，
解得：
即：直线的函数表达式为．
由题意，得点，，其中，
，，
，
当时，取最小值为．
（3）如图，当时；，
解得：，
即：点，
点，，，其中，
．
，，
，
．
，，
，
解得，（舍去），
的值为．
【点睛】本题考查了二次函数图象、性质及最值、待定系数法求函数解析式、二次函数与三角形及梯形的面积等，关键是二次函数的性质的应用.
方法透视
变式演练
【变式01】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线的顶点为，且与y轴交于点B．
(1)求a，b的值．
(2)将抛物线绕点O旋转，得到抛物线，点E是抛物线上的动点，当面积最小时，求点E的坐标．
(3)抛物线 关于直线对称的图象与直线相交于点P，Q，若，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象旋转的性质，图象对称的性质是解题的关键．
（1）根据抛物线顶点纵、横坐标列式求解即可；
（2）由（1）知抛物线的解析式，得，求出点绕点O旋转，得到点，得抛物线的表达式为，求出直线的函数表达式为，并可得向下平移得到直线l，当直线l与抛物线恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时的面积最小, 设直线l的函数表达式为，，求出直线l的函数表达式为，令，根据可求得的值，即可解决问题；
（3）求出顶点点A关于直线对称的点D，此点为对称的抛物线的顶点，从而求出对称后的抛物线解析式为，联立方程，再由根与系数的关系求出，由题意可得，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点，
，，
，
，
；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式，
当时，，
∴；
将点绕点O旋转，得到点，
则即为抛物线的顶点．
又抛物线开口大小不变，开口向下，
∴抛物线的表达式为．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将直线向下平移得到直线l，当直线l与抛物线恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时的面积最小,
设直线l的函数表达式为，，
将代入，
得，
∴，
直线l的函数表达式为．
令，
整理，得，
当时，，
即，
解得，
；
（3）解：设点A关于直线对称的点为D，
则，
．
∴抛物线关于直线对称的图象的函数表达式为．
令，
整理，得，
则，
，
，
∵P，Q是直线上的点，
，
，
∴，
，
．
【变式02】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示）
(3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解；
（3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解．
【详解】（1）解：将点和代入，
得，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：将化为顶点式为，
抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线．
，
点M，N关于直线对称，．
图象G的最高点纵坐标为4，
将代入，得，
．
（3）解：由题意知直线的方程为，
当时，，
要使图象G在直线上方，即对于，都有，
即．
由二次函数图象解不等式，得，
要在内，
解得．
，
．
【变式03】如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接．
(1)求的值；
(2)当取得最小值时，求点P的坐标；
(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值；
（）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解；
（）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴，
∴，
把和代入抛物线得，
，
解得，
即，；
（2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则此时最小，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为；
（3）解：设点，则点，
∴，，
∴
，
即，
∵，
∴当时，取最小值，最小值为．
题型06 函数综合探究题
典例引领
【典例01】如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是线段上一动点．过点P作直线，交线段于点E，交y轴于点D，交二次函数的图象于点F．且点F在第一象限．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标；
(3)在点P运动的过程中，是否存在的情况？若存在．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用正切函数求得，即，推出．得到，设，则，由，得到，分两种情况讨论，或，列式计算即可求解；
（3）假设存在．则，过点F作于点H，交于点G，利用面积公式得到，设，得到，利用根的判别式即可判断．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点，，
∴设二次函数的表达式为．
将点代入，得，解得．
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，，，
∴，，．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
设，则．
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵点P为线段的三等分点，
∴或，即或．
∴或．
∴点P的坐标为或；
（3）解：不存在．
理由：假设在线段上存在点P，使得，则，
连接，如图所示，
则．
过点F作于点H，交于点G，
则
．
∴．
∵，，
设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为．
设，则，．
∴，
整理，得．
∵，
∴该方程无实数解．
∴假设不成立．
∴在线段上不存在点P，使得．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式．解决问题的关键是转化条件，列出方程．
【典例02】如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值；
(3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）把点，对称轴为直线，代入解析式，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意分别求出，，在y轴上作点D的对称点，连接交于点，此时的值最小，根据轴对称最短路径的方法即可求解；
（3）根据题意求出直线的解析式，设，则，，根据题意可得，结合相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线AM的解析式为，当时，，
∴．
如图1，
在y轴上作点D的对称点，连接交于点，此时的值最小．
过点M作轴于点T，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：抛物线的解析式为，
∴令时，；令时，,
解得，，，
∴，,
∴直线的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H．
设，则，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴，
得，，
∴，
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
方法透视
变式演练
【变式01】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴和y轴上，若反比例函数的图象分别交，于点M，N．
(1)求证：．
(2)D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键．
（1）设正方形的边长为a，点，则，则，即可求解；
（2）证明，得到，，，则，即可求解．
【详解】（1）证明：设正方形的边长为a，则点，则，
则
（2）解：过作于F，交于E，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
正方形的边分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，
，
则，
解得：，
，
反比例函数的图象经过点，
．
【变式02】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ．
(1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式：
(2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，反比例函数的解析式为；
(2)或
【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式；
（2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：一次函数，
当，则，当，则，
∴，，
当时，，
∴，
在反比例函数上，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，于，
∴，
∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧，
当时，
∴，
设，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
当时，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【变式03】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为
(2)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由即可求解。
【详解】（1）把，代入中，得
，．
又，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）由（1）可知，设点的坐标为，则．
，
．
解得，
．
题●型●训●练
一、单选题
1．如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象．
【详解】解：如图，记交于点，

∵四边形是菱形，
∴，
设，则，设，则
由平移的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴∙，
∵为定值，为定值，
∴为定值，且小于，∙为定值，且大于，
∴是关于的一次函数，且随的增大而减小，
∴选项符合题意．
2．如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象可以判断，，从而可以判断二次函数的图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点，从而可以解答本题．
【详解】解：由一次函数的图象可得，，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，交轴于，
，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：B．
3．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案．
【详解】解：由抛物线开口向下，可得；
由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定；
由抛物线与轴交点在正半轴上，可得；
综上可得，故①错误；
二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线，
二次函数图象与轴另一个交点为，
则当时，，故②正确；
由可得，则，
又抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线有最大值，为，
则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确；
由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过，
关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标，
当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确；
综上所述，结论中正确的是②③④，共3个，
故选：C．
4．抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质．
根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线交轴于点，
∴点与点关于直线对称，
∵，
即点在与之间，
点在与之间，
，
故选：C．
二、填空题
5．新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为．
（1）二次函数的对称轴为直线____；
（2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____．
【答案】 6
【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解；
（2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离．
【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线；
（2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，，
∴，
∴两交点距离，
对于，判别式，则，由得且，
对于，判别式，则，由且得，
综上，a的取值范围为，
由，得，
因为，两边同乘得，
两边平方得：，
解得，符合取值范围，
的对称轴为直线，
的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据菱形的性质，得到轴，设，得到，进而求出点坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，作轴，求出点坐标，进而求出值即可．
【详解】解：∵菱形的边长为6，
∴，
∴，轴，
设，则，
∵点D是的中点，
∴，即，
∴，
解得，
∴过点作轴，则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键．
根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
过点的反比例函数的图象与边交于点，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
当时 ，四边形的面积最大，最大值为，
∴，
故答案为： ．
8．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．
（1）函数的图象上的“倍值点”是_____．
（2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是_____．
【答案】 和 且
【分析】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解．
（2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可．
【详解】解：（1）函数中，令，
则，
解得：或，
经检验或都是原方程的解，
∴函数的图象上的“倍值点”是和，
故答案为：是和．
（2）在中，令，
则，
整理得，
∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3．
（1）k的值为__________；
（2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为__________．
【答案】 或
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质．
（1）依据题意，分别过B、D作轴于E，轴于F，进而可得（），故，，又点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，则，，从而，结合D在反比例函数上，
从而计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）可得，，反比例函数为，则，又，则，则，又设E为，则，进而计算可以得解．
【详解】解：（1）如图，分别过B、D作轴于E，轴于F，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∴．
∵，，
∴（）．
∴，．
∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，
∴，．
又∵A为，
∴，，
∴．
又∵D在反比例函数上，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）由题意，结合（1）可得，，反比例函数为，
∴．
又∵，
∴．
∴．
设E为，
∴，
∴，
∴或．
故答案为：或．
10．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为______．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解．
利用两个函数交点求解即可．
【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点，
∴由图象得，当或时，函数的图象在上面，
∴不等式的解集为或．
故答案为：或．
三、解答题
11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．
①求线段的长；②求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
(2)①的长为；② 的面积为．
【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式；
（2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长；
②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
∴反比例函数的表达式为．
把点代入，得
，解得．
∴点．
把点，分别代入，得
，解得．
∴一次函数的表达式为；
（2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∴．
∴．
∴．
∵，点，
∴，，．
∴，解得．
∵点在反比例函数的图象上，
∴当时，．
∴点．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∴的长为；
②∵点，，
∴，．
由①知，
∴，即，解得．
∴．
∴
．
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积．
12．已知二次函数，．
(1)当时，求此函数图象的对称轴；
(2)若点，均在该函数图象上；
（i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)（i）存在，；（ii）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）将代入，整理得，即可求解对称轴；
（2）（i）将点，代入，求出，，再代入求解即可；
（ⅱ）先求出，再由二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
则，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：（i）存在，理由如下：
由题意得，将点，代入，
则，，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴；
（ii）将，，代入，
整理得，
可得对称轴为直线，抛物线开口向上，
如图：
∵该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，
∴，
解得
∴a的取值范围为．
13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接．
(1)求b，c的值；
(2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值；
(3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）求出，由平行线分线段成比例定理可得，则，进而推出，求出，进而得到，则；
（3）设．过点P作轴于点H，则．证明是等腰直角三角形，得到．，则，解方程可得，则．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点，
∴，
∴；
（2）解：如图（1），
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
由（1）可得抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
；
（3）解：由（1）可知抛物线的表达式为，
如图（2），设．
过点P作轴于点H，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴，
解得或（舍去）
∴，
∴．
14．抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理、点的对称性等知识．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，
把代入直线得，故，
即当点M使时，M的坐标为；
（3）设，
∵，，
∴，
若点B为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点C为直角顶点时，则，
即
解得，
若P为直角顶点时，则，
∴，
解得，
综上，点P的坐标为或或或．
15．如图1（注：与图完全相同），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为，求的面积（请在图中探索）；
(3)若点，同时从A点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当，运动到秒时，沿所在的直线翻折，点恰好落在抛物线上点处，请直接判定此时四边形的形状，并求出点坐标（请在图中探索）．
【答案】(1)
(2)4
(3)四边形为菱形，
【分析】（1）根据题意将点A和点B代入二次函数即可得到解析式；
（2）过点作轴于点，进而结合题意即可得到点D和点C的坐标，进而根据“”即可求解；
（3）点关于与A点对称，过点作，于，进而根据题意得到，进而根据菱形的判定得到四边形为菱形，再根据平行线分线段成比例得到，从而结合题意即可得到点Q和点E，再将点E代入二次函数解析式即可求出t，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图，
∵，
∴点、点，
则
；
（3）解：四边形为菱形，点坐标为．理由如下：
如图，点关于与A点对称，过点作于，
∵，，，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在二次函数上，
∴
解得或（与A重合，舍去），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数性质、相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，熟练地运用数形结合是解决问题的关键．
16．如图，抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接，求的面积．
(3)要在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】（1）先利用抛物线的对称轴求出，再把点坐标代入中求出，从而得到抛物线表达式．
（2）先把抛物线的表达式一般式配成顶点式，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可确定，然后根据三角形面积公式计算．
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有，利用两点之间线段最短判断此时的值最小， 则的周长最小，再利用关于轴对称的点的坐标特征得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而可确定点坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
， 解得，
把代入得， 解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：，
，
把，分别代入得：
， 解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
的面积为．
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有，
， 此时的值最小，
此时的周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得 ：
， 解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，此时的周长最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法，二次函数与一次函数图象的交点的计算方法，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为和．
(1)求此二次函数的对称轴；
(2)若当时，，求m的取值范围；
(3)设直线与抛物线交于A，B两点，则在此抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点M的坐标为或或
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质；
（1）先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据对称轴公式求解即可；
（2）求出抛物线的顶点坐标，以及时x的值，然后根据时，，即可得出m的取值范围；
（3）设，求出，然后根据列方程求出m，再进一步求出对应的纵坐标即可．
【详解】（1）解：把，代入得：，
∴，
∴此二次函数的解析式为，
∴此二次函数的对称轴为；
（2）∵，，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴二次函数的最小值为，
当时，即，
解得：，，
又∵当时，，
∴；
（3）存在；
设，
由（2）知，当时，或，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，．
当时，，
当时，，
当时，，
∴点M的坐标为或或．
考向解读
已知点的坐标、图像特征，求一次函数（y=kx+b，k≠0）、二次函数（三种形式：一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x−ℎ)2+k、交点式y=a(x−x1)(x−x2)，a≠0）、反比例函数（y=kx，k≠0）的解析式。
方法技能
1. 通用核心方法——待定系数法（必掌握）：核心步骤为“设解析式→找已知条件（点坐标/图像特征）→列方程（组）→求解参数→验证”，适用于三种基本函数，是中考最常用的方法。
2. 一次函数求解技巧：当已知图像过两点时，直接代入两点坐标，列二元一次方程组求解k、b；若已知图像与x轴、y轴交点（x₀,0）、（0,y₀），可直接代入解析式，快速算出k=-，b=y₀，简化计算。
3. 二次函数求解技巧：优先根据已知条件选择解析式形式——① 已知三点坐标（无特殊点），用一般式；② 已知顶点坐标（h,k）或对称轴，用顶点式（可快速避开复杂运算）；③ 已知与x轴的两个交点（x₁,0）、（x₂,0），用交点式（无需配方，直接代入计算）。注意：无论选择哪种形式，最后需根据题意判断是否需要化为一般式。
4. 反比例函数求解技巧：核心利用k的几何意义或图像上的一个点坐标——① 已知双曲线上一点（x₀,y₀），直接代入得k=x₀y₀；② 已知过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形/三角形面积，先根据面积求出|k|，再结合图像所在象限判断k的正负（第一、三象限k>0，第二、四象限k0，y随x增大而增大；k0开口向上，有最小值；a0时，第一象限y随x增大而减小，第三象限也如此，但第一象限的y值始终大于第三象限）；③ 图像分布判断：由k的符号直接确定双曲线所在象限（k>0在一、三象限，k0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ0的解集对应图像在x轴上方的x范围，y