2026届安徽省合肥市第八中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

这是一份2026届安徽省合肥市第八中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了已知命题，已知全集，集合，则=，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.
A．，且B．，且
C．，且D．，且
4．己知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为
A．B．C．D．
6．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4. 给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
7．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）
A．B．C．lD．1
8．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）.
A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D．2016年与2019年艺体达线人数相同
9．已知全集，集合，则=（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或4
11．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）
A．P1•P2＝B．P1＝P2＝C．P1+P2＝D．P1＜P2
12．若函数满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数为虚数单位）的虚部为__________．
14．若，，则___________．
15．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，
（1）求椭圆的方程.
（2）当时，求的面积.
18．（12分）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
19．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值．
20．（12分）已知抛物线与直线.
（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；
（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.
21．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.
（1）请用角表示清洁棒的长；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
22．（10分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
2、B
【解析】
设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．
【详解】
将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，
设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，得．因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有，∴ ．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的棱长为，因此，这个正四面体的表面积为．
故选：B．
【点睛】
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
3、D
【解析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：，
，.
故选：D.
.
【点睛】
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
4、B
【解析】
先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
5、D
【解析】
由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．
【详解】
解：如图，
∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴
设正方体的棱长为，则，
∴．
取，连接，则共面，
在中，设到的距离为，
设到平面的距离为，
.
故选D．
【点睛】
本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．
6、A
【解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.
【详解】
已知对于命题，由得，所以命题为假命题；
关于命题，函数，
当时，，当即时，取等号，
当时，函数没有最小值，
所以命题为假命题.
所以和是真命题，
所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.
7、A
【解析】
设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解：设点，则点，，
，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
8、A
【解析】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，
2019年不上线人数为，故A正确；
2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；
2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了
倍，故C错误；
2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
9、D
【解析】
先计算集合，再计算，最后计算．
【详解】
解：
，
，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．
10、C
【解析】
对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.
【详解】
分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.
【点睛】
本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
11、C
【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
12、A
【解析】
由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.
【详解】
函数满足，，即，
，，，即，
，则，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
，
由于函数在区间上为增函数，
所以，当时，取得最小值.
故选：A.
【点睛】
本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
试题分析：，即虚部为1，故填：1.
考点：复数的代数运算
14、
【解析】
因为，所以，又，所以，则，所以．
15、72
【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
【解析】
由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.
，满足上式，.
∴2（）.
∴数列{}前2020项和为
2（1）＝2（1）.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）先求出圆心到直线的距离为，再根据得到，解之即得a的值，再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出，，再求得的面积.
【详解】
(1)因为直线过点，且斜率.
所以直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
又因为，圆的半径为，
所以，即，
解之得，或（舍去）.
所以，
所以所示椭圆的方程为 .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，
则点到右准线的距离为，
所以，即，把代入椭圆方程得，，
因为直线的斜率，
所以，
因为直线经过和，
所以直线的方程为，
联立方程组得，
解得或，
所以，
所以的面积.
【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
19、 (1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.
【解析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即， 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，
得. 因为直线与曲线交于，两点．
所以，解得.
由根与系数的关系，得，.
因为点的直角坐标为，在直线上.所以，
解得，此时满足.且，故.．
【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
20、（1）；（2）证明见解析，或
【解析】
（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）设，，，，表示出直线，的方程，利用表示出，，即可求定点的坐标．
【详解】
（1）设抛物线上点的坐标为，
则，时取等号），
则抛物线上的点到直线距离的最小值；
（2）设，，，，
，
，
直线，的方程为分别为，，
由两条直线都经过点点得，为方程的两根，，
直线的方程为，，
，
，，共线．
又，
，
，
解，，
点，是直线上的动点，
时，，时，，
，或．
【点睛】
本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；
（2）利用导数求得最大值即可.
【详解】
（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，
，所以，同理，
.
（2）设，
则，
令，则，即.
设，且，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
所以当时，取得极小值，
所以.
因为，所以，又，
所以，又，
所以，所以，
所以，
所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.
【点睛】
本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
22、（1）降低（2）
【解析】
（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；
（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.
【详解】
解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；
不进行处罚，行人闯红灯的概率为；
所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；
（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人
故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序
记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为
则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种
前两位均为类市民排序为，，有种，所以前两位均为类市民的概率是.
【点睛】
本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.
处罚金额（单位：元）
5
10
15
20
会闯红灯的人数
50
40
20
10