安徽省合肥市第八中学2024−2025学年高二下学期第五次检测 数学试题（含解析）

这是一份安徽省合肥市第八中学2024−2025学年高二下学期第五次检测 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为
A．10B．15C．20D．24
3．某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有种
A．B．C．D．
4．设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1B．C．D．
5．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，…，为1，2，3，4，5的任意一个排列.则满足：对于任意，都有的排列，，…，有（ ）
A．49个B．50个C．31个D．72个
8．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
10．下列命题中是真命题有（ ）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数图象可以有两个公共点
C．函数在处的切线方程.当时，
D．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是和
11．定义在区间上的连续函数的导函数为，如果使得，则称为区间上的“中值点”下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数是 ．
13．在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为 ．
14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共4小题）
15．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起．
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；
（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？
16．已知展开式的二项式系数和为128，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
17．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
18．已知函数，其中
（1）当时，求曲线的对称中心；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，
由图可知，一共有个点符合.
故选A
2．【答案】A
【详解】将问题等价转化为将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内，进而求得结果.
【详解】问题等价于将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内
关灯方案共有：种
故选
3．【答案】A
【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，
至少有两个场馆的名额相同的分配方法有
（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），
再对场馆分配，共有种，
所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，
故选A.
4．【答案】D
【详解】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．
5．【答案】C
【详解】四袋垃圾总共有种不同的情况，选出一袋投放正确，剩下3袋与对应垃圾桶全部错位排，共2种情况，，
故选C．
6．【答案】C
【详解】函数，，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点，
由可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选C．
7．【答案】A
【详解】根据题意，求得的范围，分别求得当，和时，满足题意的排列数，综合即可得答案.
【详解】因为，
所以时，，
所以，
当时，任意排列均满足题意，共有个，
当时，只要，其他排列均满足题意，共有个，
当时，只能取1或2，所有的情况如下：
排列32145，满足题意； 排列31245，满足题意，
排列32154，满足题意， 排列31254，满足题意，
排列32415，满足题意， 排列31425，满足题意，
排列32451，不满足题意， 排列31452，不满足题意，
排列32514，不满足题意， 排列31524，满足题意，
排列32541，不满足题意， 排列31542，不满足题意，共7个满足题意，
综上，满足题意的排列共有24+18+7=49个.
故选A
8．【答案】A
【详解】因为为奇函数，
所以其定义域关于原点对称，易知，所以，
即有，得到，
所以，
函数定义域为，得到，所以，
故，
此时有，
即，满足题意，所以，
定义域为，
当时，，
函数，在上单调递增，
函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
当时，，
，
由，得到
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极小值点，
当时，，
结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，
又在区间上有最小值，所以，解得，
故选A.
9．【答案】AD
【详解】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确；
对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选AD
10．【答案】BD
【详解】选项A：令，则，
则为R上的单调递增函数，无极值点.
故不能由得到0是函数的极值点.判断错误；
选项B：令，则是的切线，
切线与有两个公共点.判断正确；
选项C：函数在处的切线方程.
则当时，，
则当时，.判断错误；
选项D：定义在区间上的函数，
则，
由，可得或
则的单调递增区间是和.判断正确
故选BD
11．【答案】AD
【详解】因为“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率，
对于A选项， ，显然，在区间上的任何一点都是“中值点”，故A正确；
对于B选项，区间两端点连线的斜率，即，的斜率为0，，
由，得，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间只存在一个“中值点”，故B不正确；
对于C选项，在两端点的斜率为ln2，，
令，得，故在只存在一个“中值点”，故C不正确；
对于D选项，在两端点的斜率为，因为，令，解得：，函数在区间存在两个“中值点”，故D正确．
故选AD．
12．【答案】
【详解】的第项为，
当时，，
所以的系数为．
13．【答案】
【详解】对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
14．【答案】
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，
所以为偶函数，
又当时，，，
所以，
所以在上单调递增，
所以不等式对任意恒成立，
转化为，即，
所以且在上恒成立，
①若在上恒成立，则，解得；
②若在上恒成立，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设事件表示“取到的产品为正品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知，，，
，，．
由全概率公式得：．
（2）由贝叶斯公式得．
16．【答案】（1）；（2）2；（3）3.
【详解】解：（1）由展开式的二项式系数和为128，
可得，即n=7，
由，
得=；
（2）令，得，
令，得，
所以……=2；
（3）由
因为能被6整除，被6整除后余数为3.
所以被6整除的余数为3
17．【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）当时，，，，，
故在处的切线方程为：，即.
（2）由题意可知：的定义域为，且 ，
（ⅰ）若，则在上恒成立，
当，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）若，令，则或，
①当，即，则在上恒成立，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，
当或，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，则在上恒成立，
可知在上单调递增；
④当，即时，
当或，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递减，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若时，在上单调递增，在上单调递减.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，，定义域为，
其定义域关于对称，
则
，
所以函数的对称中心是.
（2）由，
因为，所以，所以的定义域为，
则，
由题可得在区间上恒成立，
则在区间上恒成立，
则，
解得，
故实数a的取值范围为：