安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二下学期第五次检测数学试题（Word版附解析）

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题目要求的.
1. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 在区间 内的极小值点
的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合导函数图象确定正确选项.
【详解】函数的极小值点 需满足左减右增，即 且左侧 ，右侧 ，
由图可知，一共有 个点符合.
故选：A
2. 楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，
则关灯方案的种数为
A. 10 B. 15 C. 20 D. 24
【答案】A
【解析】
分析】
将问题等价转化为将 盏关着的灯插入 盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的 个空档之
内，进而求得结果.
【详解】问题等价于将 盏关着的灯插入 盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的 个空档之
内
关灯方案共有： 种
故选：
【点睛】本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.
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3. 某地举办科技博览会，有 个场馆，现将 个志愿者名额分配给这 个场馆，要求每个场馆至少有一个
名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有种
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在 24 个名额之间的 23 个空隙中选出两个空隙插入分隔
符号，则有 种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条
件的分配方法.
【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为 种，
至少有两个场馆的名额相同的分配方法有
（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），
（11,11,2），
再对场馆分配，共有 种，
所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至
少两个场馆分配名额相同的要去除.
4. 设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题 ， 不妨令 ，则 ，令 解得
，因 时， ，当 时， ，所以当 时， 达到
最小．即 ．
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5. “垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自
治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，
小区住户李四提着属于 4 个不同种类垃圾桶的 4 袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，
作为一个意识不到位份子，李四随机把 4 袋垃圾投放到了 4 个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出四袋垃圾的所有投放方法，再求出一袋投放下确的方法，然后利用古典概型的概率公式求
解即可
【详解】四袋垃圾总共有 种不同的情况，选出一袋投放正确 ，剩下 3 袋与对应垃圾桶全部
错位排，共 2 种情况， ，
故选：C．
6. 若函数 在区间 内有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，依题意可得 在区间 内有零点，参变分离可得 ，根据对勾
函数的性质求出 的取值范围，即可得到 的取值范围，最后检验 时不符合题意，即可得解.
【详解】 函数 ， ，
若函数 在区间 上有极值点，
则 在区间 内有零点，
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由 可得 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，
当 时， ，不符合题意，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C．
7. 已知 ， ，…， 为 1，2，3，4，5 的任意一个排列.则满足：对于任意 ，都有
的排列 ， ，…， 有（ ）
A. 49 个 B. 50 个 C. 31 个 D. 72 个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求得 的范围，分别求得当 ， 和 时，满足题意的排列数，综合即可得答案.
【详解】因为 ，
所以 时， ，
所以 ，
当 时，任意排列均满足题意，共有 个，
当 时，只要 ，其他排列均满足题意，共有 个，
当 时， 只能取 1 或 2，所有的情况如下：
排列 32145，满足题意； 排列 31245，满足题意，
排列 32154，满足题意， 排列 31254，满足题意，
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排列 32415，满足题意， 排列 31425，满足题意，
排列 32451，不满足题意， 排列 31452，不满足题意，
排列 32514，不满足题意， 排列 31524，满足题意，
排列 32541，不满足题意， 排列 31542，不满足题意，共 7 个满足题意，
综上，满足题意的排列共有 24+18+7=49 个.
故选：A
【点睛】解题的关键是根据题意，先求得 的范围，再进行分类讨论，难点在于 时， 值较小，需
逐个检验 ，方可得答案.
8. 已知函数 为奇函数，且 在区间 上有最小值，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数的性质可求出 ，对 求导，根据极值的定义求出
的极小值，
要使 在区间 上有最小值，即 的极小值在 ，解不等式即可.
【详解】因为 为奇函数，
所以其定义域关于原点对称，易知 ，所以 ，
即有 ，得到 ，
所以 ，
函数定义域为 ，得到 ，所以 ，
故 ，
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此时有 ，
即 ， 满足题意，所以 ，
定义域为 ，
当 时， ，
函数 ， 在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， ，
，
由 ，得到
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 是函数 的极小值点，
当 时， ，
结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，
又 在区间 上有最小值，所以 ，解得 ，
故选：A.
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【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先求出 的解析式，对 求导，根据极值的定义求出 的
极小值，要使 在区间 上有最小值，即 的极小值在 ，解不等式即可.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知随机事件 ， 满足 ， ， ，则（ ）
A. 事件 与事件 相互独立 B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件的定义、概率的基本性质逐项判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，即 ，事件 与事件 相互
独立，A 正确；
对于 B，由选项 A 知，事件 相互独立，则 ，B 错误；
对于 C， ，C 错误；
对于 D， ，D 正确.
故选：AD
10. 下列命题中是真命题有（ ）
A. 若 ，则 是函数 的极值点
B. 函数 的切线与函数图像可以有两个公共点
C. 函数 在 处的切线方程 .当 时，
D. 已知定义在区间 上的函数 ，则 的单调递增区间是 和
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【答案】BD
【解析】
【分析】举反例否定选项 A；给出符合要求的函数 以判断选项 B；利用导数定义求得
否定选项 C；求得 的单调递增区间判断选项 D.
【详解】选项 A：令 ，则 ，
则 为 R 上的单调递增函数， 无极值点.
故不能由 得到 0 是函数 的极值点.判断错误；
选项 B：令 ，则 是 的切线，
切线 与 有两个公共点 .判断正确；
选项 C：函数 在 处的切线方程 .
则当 时， ，
则当 时， .判断错误；
选项 D：定义在区间 上的函数 ，
则 ，
由 ，可得 或
则 的单调递增区间是 和 .判断正确
故选：BD
11. 定义在区间 上的连续函数 的导函数为 ，如果 使得
，则称 为区间 上的“中值点” 下列在区间 上“中值点”多于一个的函
数是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】AD
【解析】
【分析】根据“中值点”的几何意义，再结合函数的性质，对于四个选项判断．
【详解】因为“中值点” 几何意义是在区间 上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间 的
两个端点连线的斜率，
对于 A 选项， ，显然，在区间 上的任何一点都是“中值点”，故 A 正确；
对于 B 选项， 区间 两端点连线的斜率，即 ， 的斜率为 0， ，
由 ，得 ，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间 只存在一个“中值点”，故 B 不正确；
对于 C 选项， 在 两端点的斜率为 ln2， ，
令 ，得 ，故 在 只存在一个“中值点”，故 C 不正确；
对于 D 选项， 在 两端点的斜率为 ，因为 ，令 ，解得：
，函数 在区间 存在两个“中值点”，故 D 正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把 化为 ，再利用通项公式可得答案．
【详解】 的第 项为 ，
当 时， ，
所以 的系数为 ．
故答案为：1260.
13. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，
相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于 b 的方程 可
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化为同构方程，则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】对已知方程两侧取对数得 、 ，利用同构求得 ，构
造 并应用导数研究单调性判断 对应 关系，进而求目标式的值.
【详解】对 两边取自然对数，得 ①，
对 两边取自然对数，得 ，即 ②，
因为方程①②为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 且 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 的解只有一个，
所以 ，则 ．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：对已知方程取对数，应用同构思想求得 ，再应用导数研究同构所得函数的单调
性得到 为关键.
14. 已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取
值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】证明函数 为偶函数，利用导数判断函数 在 上的单调性，结合函数性质将条件
转化为 恒成立，结合二次函数性质列不等式求 的范围.
【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
且 ，
所以 为偶函数，
又当 时， ， ，
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所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以不等式 对任意 恒成立，
转化为 ，即 ，
所以 且 在 上恒成立，
①若 在 上恒成立，则 ，解得 ；
②若 在 上恒成立，则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 4 小题，共 54 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为 、 、 ，三
家产品数所占比例为 ，将三家产品混合在一起．
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；
（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题干条件，利用全概率公式即可得到答案；
（2）根据题意利用贝叶斯公式即可求解．
【小问 1 详解】
设事件 表示“取到 产品为正品”， ， ， 分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知 ， ， ，
， ， ．
由全概率公式得： ．
【小问 2 详解】
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由贝叶斯公式得 ．
16. 已知 展开式的二项式系数和为 128，且
.
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 被 6 整除的余数.
【答案】（1） ；（2）2；（3）3
【解析】
【分析】（1）由二项式系数性质求得 ，然后变形 ，利用二项式定理求得 ；
（2）令 可求得 ，再求得 后得结论；
（3） 用二项式定理展开，把 20 的位数剔除在外，剩下的计算后可得．
【详解】解：（1）由 展开式的二项式系数和为 128，
可得 ，即 n=7，
由 ，
得 = ；
（2）令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 …… =2；
（3）由
因为 能被 6 整除， 被 6 整除后余数为 3.
所以 被 6 整除的余数为 3
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17. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合 ， 的值，即可求得结果；
（2）求得 ，对参数 分类讨论，利用导数研究 根的大小，结合 与函数单调性的
关系，即可求得函数单调性.
【小问 1 详解】
当 时， ， ， ， ，
故 在 处的切线方程为： ，即 .
【小问 2 详解】
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
（ⅰ）若 ，则 在 上恒成立，
当 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）若 ，令 ，则 或 ，
①当 ，即 ，则 在 上恒成立，
当 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，
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当 或 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
③当 ，即 时，则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递增；
④当 ，即 时，
当 或 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ， 在 上单调递增；
若 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
18. 已知函数 ，其中
（1）当 时，求曲线 的对称中心；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的定义域，就可以初步判断对称中心的横坐标，再利用对称性恒等式进行求解，就
可得对称中心的纵坐标，从而可得对称中心；
（2）由函数的单调递减转化为导函数值恒小于或等于 0，再利用二次不等式在区间内恒成立，转化为端点
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值成立即可求解.
【小问 1 详解】
当 时， ，定义域为 ，
其定义域关于 对称，
则
，
所以函数 的对称中心是 .
【小问 2 详解】
由 ，
因为 ，所以 ，所以 的定义域为 ，
则 ，
由题可得 在区间 上恒成立，
则 在区间 上恒成立，
则 ，
解得 ，
故实数 a 的取值范围为：
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