安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一下学期第三次检测数学试题 含解析

这是一份安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一下学期第三次检测数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 下列向量中与 共线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据共线向量定理判断即可.
【详解】因为 ，由共线向量定理可知向量 与 共线.
故选：C.
2. 设 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断.
【详解】由题意知， ，
所以 在复平面内所对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B.
3. 设 、 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A. 和 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
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【解析】
【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可.
【详解】 、 是不共线的两个非零向量，
对于 A， 和 中， ， 和 不共线，可作基底，A 不 ；
对于 B， 与 中， ， 与 不共线，可作基底，B 不是；
对于 C， 与 中， ， 与 共线，不能作基底，C 是；
对于 D， 与 中， ， 与 不共线，可作基底，D 不是.
故选：C
4. 如图， 是 斜二测直观图，其中 为正三角形， ，则 的面积是
（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】在直观图中求出 ，画出原图形，求出边长和面积.
【详解】在直观图中， ，
在三角形 中，过点 作 ⊥ 于点 ，则 ， ，
故 ，
还原直观图得 原图如下，
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，
由 得 ，
所以 的面积为 .
故选：D
5. 在 中，已知 ， ，若该三角形有两个解，则 AC 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可.
【详解】因为三角形有两个解，所以 ，
所以 ，所以 ，即 AC 的取值范围是 .
故选：A
6. 在 中，角 、 、 对边分别为 、 、 ，若 ， ，且
，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据辅助角公式化简得 ，然后根据角的范围求得 ，再根据正弦定理和余弦
定理求得 ，最后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】 ， ，
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， ，则 ， ，
， ，由余弦定理得 ，即 ，
， ，因此， 的面积是 ．
故选：C
7. 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，则 的最大值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合条件利用余弦定理得 ，然后利用余弦定理和基本不等式求解 ，然后根据余
弦函数的单调性求解即可．
【详解】 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，
则 ，整理得 ．
由余弦定理得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，故 ，即 的取值范围是 .
故选：A
8. 已知在 中，角 的对边分别是 ，点 在 内部，
且满足 ，若 ，则 （ ）
A. 3 B. 6 C. 7 D.
【答案】D
【解析】
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【分析】
由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得 ,设 ,可证得 由对应边成比
例 可 得 ,在 中 ,利 用 余 弦 定 理 得 :
,可解得 ,即可求得结果.
【详解】 ,
,
即 ,
, ,由 .得 .
设 ,则 ，
，
在 中,利用余弦定理得: ,
解得 ,则 , .
故选:D.
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B. 有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
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C. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
D. 一个多面体至少有 4 个侧面
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可.
【详解】对于 A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项 A 正确；
对于 B，满足条件的几何体可能是组合体，故 B 错误；
对于 C：圆柱的母线与它的轴平行，故 C 错误；
对于 D，三棱锥为多面体，但只有 3 个侧面，所以 D 错误.
故选：BCD.
10. 已知 、 都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若 ，则
B.
C. 若 ，则
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值判断 A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断 B、D.
【详解】对于 A：令 、 ，则 ，显然不满足 ，故 A 错误；
对于 C：令 、 ，则 ， ，
所以 ，但是 ，故 C 错误；
设 ， ，
所以 ，
则
，
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又 ，
所以 ，故 B 正确；
，又 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BD
11. 如图所示，在边长为 3 的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点 为圆心， 为
半径的半圆上，若 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 存在最大值为 9 D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A、B，将 分别用 表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于 C、D，以
点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即
可判断.
【详解】对 A：因为 ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，
所以 ，
则 ，故 A 正确；
对 B： ，
则
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，故 B 正确；
对 C、D：如图，以点 为原点建立平面直角坐标系，
则 ，
因为点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，
所以点 在单位圆上，且在 轴 下半部分，
设 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值 ，故 C 正确；
因 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，故 D 错误.
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故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题 C 选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设 ，
从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设 ，复数 ，其中 为虚数单位，若 为纯虚数，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可.
【详解】因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 将圆心角为 120°，面积为 的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求得扇形的半径，根据圆锥的底面周长为扇形的弧长可求得圆锥底面半径，进
而求出圆锥的高，可计算结果.
【详解】设扇形 半径为 R，圆心角为 ，面积为 ，圆锥的底面半径为 r，高为 h，表面积为 S，
，解得：
圆锥的底面周长为扇形的弧长
，解得： ，
故答案为：
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14. 已 知 向 量 ， 夹 角 为 ， ， 若 对 任 意 ， 恒 有 ， 则 函 数
的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出 ，将 表示成关于 t 的函数，根据二
次函数最值即可求解．
【详解】∵ ，∴ ，
整理可得 ，
∵对任意 ，上式恒成立，∴ ；
由题意知 ，∴ ，∴ ．
∴ ．
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ， ．
（1）求 的坐标与 ；
（2）求向量 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ，5
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可；
（2）利用平面向量数量积的公式计算即可.
【小问 1 详解】
，
，
.
【小问 2 详解】
，
，
.
16. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简条件，利用余弦定理求出 ，即可得出答案；
（2）由三角形面积公式求得 ，利用余弦定理列出方程求解即可．
【小问 1 详解】
由题意及正弦定理知 ，
， ， ， ．
【小问 2 详解】
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由 得 ，
由余弦定理得 得 ，
， ，
的周长为 ．
17. 如图所示，在△ 中， ， ， ， ， ， 与
相交于点 .
（1）求 ；
（2）过点 作直线 分别交线段 于点 ，记 ， ，当 在线段
上移动时，求 的最小值
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据三点共线的推论用 和 表示出 ，即可求解；
（2）利用三点共线的推论求出 和 关系，然后利用“1”的妙用，基本不等式求出最值.
【小问 1 详解】
因为 三点共线，
所以存在实数 使得 ，
又因为 三点共线，
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所以存在实数 使得
根据平面向量基本定理可得 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 .
【小问 2 详解】
设 ，
由（1）可得 ①， ②，
又 三点共线，所以 ③，
由①②可得 ， ，代入③式可得 ，
，
当且仅当 时取等号，满足题中条件，可以取到，
所以 的最小值 ．
18. 已知函数 ，最小正周期是 ，在锐角 中，角 A，B，
C 所对的边分别为 a，b，c．
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 ， ，AD 为 BC 边上的中线，求 AD 的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为 ，
（2）
【解析】
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【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得 ，然后根据周期求得 ，
进而求出解析式，然后利用正弦函数单调性求解单调递减区间；
（2）先求出 ，利用余弦定理得 ，然后利用数量积的运算律得 ，
然后由正弦定理及三角恒等变换得 ，然后利用正弦函数的性质求解即可．
【小问 1 详解】
，
因为 的最小正周期为 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，得 ， ，
所以 的单调递减区间为 ， ．
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ．
由 ， 及余弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理 得， ， ，
所以
．
所以 ，
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又 ，所以 ，所以 ，
故 ，
所以 周长的取值范围是 ．
19. 是直线 外一点，点 在直线 上（点 与点 任一点均不重合），我们称如下操作为“由 点
对 施以视角运算”：若点 在线段 上，记 ；若点 在线段 外，记
.在 中，角 的对边分别是 ，点 在射线 上.
（1）若 是角 的平分线，且 ，由 点对 施以视角运算，求 的值；
（2）若 ，由 点对 施以视角运算， ，求 的周长；
（3）若 ， ，由 点对 施以视角运算， ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，从而得到 ，即可得解；
（2）根据所给定义及条件得到 ，再由余弦定理求出 ，即可求出 ，从而求出三角形的周长；
（3）依题意可得 ，由等面积法得到 ，从而得到 ，再由乘“1”法及
基本不等式计算可得.
【小问 1 详解】
因为 是角 的平分线，所以 且 在线段 上，
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所以 ，
又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
因为点 在射线 上， ，且 ，所以 在线段 外，且 ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 （负值已舍去），
所以 ，
所以 的周长为 .
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
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所以 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出 ，即 .
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