2026届安徽省合肥市长丰中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

这是一份2026届安徽省合肥市长丰中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设，则“ ”是“”的，已知双曲线C，已知直线是曲线的切线，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的终边经过点P()，则sin()=
A．B．C．D．
2．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）
A．B．C．1D．2
3．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则( )
A．9B．5C．2或9D．1或5
5．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．设，则“ ”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．或1B．或2C．或D．或1
9．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
10．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
12．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）
A．正方体B．球体
C．圆锥D．长宽高互不相等的长方体
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，则_______．
14．若函数为奇函数，则_______.
15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．
16．设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．
18．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．
求数列，的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
19．（12分）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，
（1）求椭圆的方程.
（2）当时，求的面积.
20．（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.
附表及公式：
，
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.
22．（10分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：
（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（）；
（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次：
（ii）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附：，若，则，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
，，则：
本题选择A选项.
2、C
【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4、B
【解析】
根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.
【详解】
由于，所以，
又且，
故选：B.
【点睛】
本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.
5、B
【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
，，不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
成立，输出的值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．
【详解】
∵a，b∈（1，+∞），
∴a＞b⇒lgab＜1，
lgab＜1⇒a＞b，
∴a＞b是lgab＜1的充分必要条件，
故选C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．
7、D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
8、D
【解析】
求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.
【详解】
直线的斜率为，
对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
9、B
【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，P与A重合，则与B重合，
所以,故排除C,D选项；
当时，，由图象可知选B.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
10、C
【解析】
画出直观图，由球的表面积公式求解即可
【详解】
这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.
故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11、B
【解析】
根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合
则
所以的子集共有
故选：B
【点睛】
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.
12、C
【解析】
根据基本几何体的三视图确定．
【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．
故选：C．
【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由可得集合是奇数集，由此可以得出结果.
【详解】
解：因为
所以集合中的元素为奇数，
所以.
【点睛】
本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.
14、-2
【解析】
由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.
【详解】
由题意,的定义域为,,
是奇函数,则,即对任意的,都成立,
故,整理得,解得.
故答案为:.
【点睛】
本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.
15、.
【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.
【详解】
，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.
【点睛】
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
16、.
【解析】
当q=1时，.
当时，
，所以.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明
（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.
【详解】
（1）取BC的中点O，连接，，
由于与是等边三角形，所以有，，
且，
所以平面，平面，所以．
（2）设，是全等的等边三角形，
所以，
又，由余弦定理可得，
在中，有，
所以以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以二面角的余弦值为,
即二面角的余弦值为．
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.
18、，；.
【解析】
由，公差，有，，成等比数列，所以，解得.进而求出数列，的通项公式；
当时，由，所以，当时，由，，可得，进而求出前项和．
【详解】
解：由题意知，，公差，有1，，成等比数列，
所以，解得．
所以数列的通项公式．
数列的公比，其通项公式．
当时，由，所以．
当时，由，，
两式相减得，
所以．
故
所以的前项和
，．
又时，，也符合上式，故.
【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）先求出圆心到直线的距离为，再根据得到，解之即得a的值，再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出，，再求得的面积.
【详解】
(1)因为直线过点，且斜率.
所以直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
又因为，圆的半径为，
所以，即，
解之得，或（舍去）.
所以，
所以所示椭圆的方程为 .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，
则点到右准线的距离为，
所以，即，把代入椭圆方程得，，
因为直线的斜率，
所以，
因为直线经过和，
所以直线的方程为，
联立方程组得，
解得或，
所以，
所以的面积.
【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
20、（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据频率分布直方图补全列联表，求出，从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得下表：
的观测值为
所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，
所以的可能取值为0，1，2.
且，，，
所以的分布列为
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
21、（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；
（2）题意说明,利用导数求出的最小值，由（1）可得的最小值，从而得出结论．
【详解】
解：（1）定义域为
当时，即在上增；
当时，即得得
综上所述，当时，在上增；
当时，在上减，在上增
（2）由题
在上增
由（1）当时，在上增，所以此时无最小值；
当时，在上减，在上增，
即，解得
综上
【点睛】
本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为，求出两函数的最小值后可得结论．
22、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.
（2）写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.
【详解】
解：（1）从这1000人问卷调查得到的平均值为
∵由于得分Z服从正态分布，
（2）设得分不低于分的概率为p，
（或由频率分布直方图知）
法一：X的取值为10，20，30，40
；
；
；
；
所以X的分布列为
法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下
X的取值为10，20，30，40
；
；
；
；
所以X的分布列为
【点睛】
本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
赠送话费（单位：元）
10
20
概率
男
女
合计
冰雪迷
40
20
60
非冰雪迷
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2
X
10
20
30
40
P
2次话费总和
20
30
40
P
X
10
20
30
40
P