题号猜押09 山东中考数学20~21题（解答题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测试+答案

这是一份题号猜押09 山东中考数学20~21题（解答题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测试+答案，共6页。试卷主要包含了已知内接于，，为的直径，连接，按要求解答等内容，欢迎下载使用。
考点1 圆的证明与性质的应用
1．（2026·山东济宁·一模）如图，是的半径，点B是外一点，连接，交于点C，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)过点C作的平行线，交于点D，交于点E，若，，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）过点O作，垂足为F，由等腰三角形三线合一结合已知条件得出，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可证得结论；
（2）利用勾股定理设未知数表示出，列方程求解x即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点O作，垂足为F，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，，
∴是的切线．
（2）解：设，
，，
，
，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
，，
，
，
．
2．（2026·山东淄博·一模）如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，．
(1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明；
(2)若图中，，求的周长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由三角形的内心性质得到，，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（2）连接，过点作于点，于点，于点，根据内切圆的性质和角平分线性质得到，利用圆周角定理，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求出，进而即可求的周长．
熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【详解】（1）解：，证明如下：
连接，
I是的内心，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，过点作于点，于点，于点，
I是的内心，
，，，圆I是的内切圆，
∴，
是外接圆的直径，
，
，，
，，
，
的周长为．
3．（2026·山东德州·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，请判断和的数量关系．并证明结论；
(3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论；
（2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
直线是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
证明：直线是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）得，，
半径为1，
，
，
图中阴影部分面积．
4．（2026·山东济南·一模）如图，在中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，连接，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接半径，利用等腰三角形、平行线性质证明角相等，然后用证明全等三角形，得到，进而证明切线；
（2）利用同角的余角相等、圆周角定理、余弦定义求出，再结合平行线性质、勾股定理求．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∵为的直径，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，，，
设，，，
即，
∴，
∴．
5．（2026·山东济南·一模）如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，进而得，得，结合得，进而证明是的切线；
（2）连接，根据圆周角定理得，得，在中，计算，在中，根据计算的长．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，即，
．
6．（2026·山东枣庄·一模）如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点．
(1)判断与的位置关系并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）先证明，即可得出，得到，从而得出是的切线；
（2）连接，交于点，证明四边形为矩形，根据垂径定理可得，再利用解直角三角形求得半径，即可解答．
【详解】（1）解：与相切，理由：连接，
，
，
将沿翻折，点的对应点为，
，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，交于点，
为直径，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，，
，
根据勾股定理可得，
．
7．（2026·山东潍坊·一模）如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上．
(1)求证：；
(2)求证：为的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由圆周角定理得，结合已知等量代换得，即可证明，则，即可得出结论；
（2）连接，延长交于点F，连接，由圆周角定理得，结合已知得，由是的直径，得，进而推出，即，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，延长交于点F，连接，
∵和都是弧所对的圆周角，
∴，
又∵，
∴，
∴是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线．
8．（2026·山东德州·一模）已知内接于，，为的直径，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)的半径为．
【分析】（1）根据是的直径，得出，由三角形内角和，得出，进而求得，根据等弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）连接并延长，交于点，连接，先证明，根据切线的性质可得，结合得出四边形是矩形，根据勾股定理求得，设的半径为，则：，，在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：是的直径，
.
，
，由三角形内角和，
得.
.
，
（2）解：连接并延长，交于点，连接
，
是的垂直平分线，
，
又为的切线，
由（1）得
四边形是矩形
，
，
在中，.
设的半径为，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
，
；
的半径为.
9．（2026·山东济南·一模）如图，以的边为直径作半圆，交于点，连接，，且，垂足为点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）连接半径，由判定为等腰三角形；结合，利用同弧所对圆心角是圆周角倍的性质，证得；进而由推出，根据切线判定定理(半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线)，证明是的切线；
（）先在中，利用勾股定理求出BP的长度；再根据是半圆直径，由直径所对的圆周角为直角，得到，结合，证明；然后根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式求出的长度，最后由半径为直径的一半，算出的半径为．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
10．（2026·山东临沂·一模）按要求解答：
(1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由．
(2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线．
【答案】(1)的长度是，的度数是
(2)证明见解析
【分析】（1）连接、，利用切线性质得两个直角三角形，通过证明全等，从而得到切线长相等和对应角相等
（2）先由切线长定理得角平分线，结合平行线证等腰三角形，再用三线合一得，最后由平行推出，判定是切线．
【详解】（1）解：的长度是，的度数是，
理由：如图，连接、，
∵，是的两条切线，切点分别为、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
（2）证明：∵、、分别与相切于点、、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
考点2 解三角形的实际应用
1．（2026·山东淄博·一模）综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度．
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角．
（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角．
（3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度．
【答案】
【分析】连接，延长交于点，由题易知，，设，结合解直角三角形的相关计算表示出，再结合建立等式求出，进而即可求出物体的高度．
【详解】解：连接，延长交于点，
，，
由题意知，，
设，
则，，
，
，
解得，
．
2．（2026·山东青岛·一模）随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具．在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离与水平距离之比一直保持（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）．小明先后两次观测山顶：第一次观测时，飞机在点P处，测得山顶A的俯角为；第二次观测时，飞机降落到点Q处，测得山顶A的俯角为，此时飞机飞行的水平距离为2000米．求第二次观测飞机到山顶的垂直距离．（，，，，，）
【答案】1500m
【分析】延长交于点，则，根据垂直下降的距离与水平距离之比一直保持，求出的长，设，解直角三角形和直角三角形，进行求解即可.
【详解】解：延长交于点，由题意可知：，四边形为矩形，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴；
答：第二次观测飞机到山顶的垂直距离的长为1500米.
3．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下：
如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）
【答案】13米
【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解．
【详解】解：如图，过点D作于点F．
根据题意可知，
在中，，
∴，
由题意可知四边形是矩形，
米，
设米，米，则米，米，
在中，，即，
解并检验得，所以北水门的高度约13米．
【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值．
4．（2026·山东济宁·一模）如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米．
(1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，）
(2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，）
【答案】(1)小明往摄像头的方向前进2.7米后，将完全进入摄像头的视野盲区
(2)点P到点O的距离至少要为3.36米
【分析】（1）利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解；
（2）过点B作，垂足为F，利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：如图，记直线与交于点E，
由题意可得四边形和都是矩形．
，，
．
在中，，，
,
，，
，
在中，，，
，
米，，
，
，
则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区．
（2）解：如图，过点B作，垂足为F，
由题意可得，四边形为矩形．
且，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，，
，
，，
，
∴点P到点O的距离至少要为米．
5．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，．
(1)求的长；
(2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可；
（2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点，
在中，
，
，
，
，
，
又，
得平行四边形，
平行四边形是矩形，
，，
，
在中，
，
，
；
（2）解：延长、交于点，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
答：出水管的长为．
6．（2026·山东滨州·一模）综合与实践
【阅读材料】如图，在中，的对边长分别为a，b，c，则有，称为正弦定理，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题解决】结合以上重要结论，尝试求解如下问题：
某校学生利用以上知识进行数学实践活动．如图，A处有一栋大楼，该学生选择B，C两处作为测量点，测得的距离为，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为求大楼的高度．（运用正弦定理求解，结果保留整数，参考数据：）
【答案】
【分析】根据正弦定理，得，结合求解即可．
【详解】解：，
，
由测得的距离为，
根据正弦定理，得，
，
，
解得，
,
，
．
7．（2026·山东济宁·一模）某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习．
【项目背景】
某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心．
【项目任务】
(1)任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹．
(2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在圆上任取三点A，B，C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；
（2）连接，作于点F，求出中心角的度数，利用垂径定理和解直角三角形进行求解即可．
【详解】（1）解：操作步骤：
第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接；
第二步，作的垂直平分线；
第三步，作的垂直平分线，与相交于点O；
点O就是这面青铜镜镜面的圆心．
作图如下：
（2）解：连接，作于点F．
∵正五边形，
∴，．
∵，
∴，．
在中，．
∴
∴，
答：镜面的内接正五边形的边长．
8．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
(1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
(2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长；
（2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
9．（2026·山东济南·一模）如图1是一种路灯的实物图，由灯杆和灯管支架两部分构成，图2是它的示意图，灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．，在路灯正前方的点处测得．，，．（结果精确到．参考数据：，，）
(1)求灯杆的长度．
(2)求灯管支架的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】 本题考查解直角三角形，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，矩形的性质，进行解答，即可．
（1）根据解直角三角形，，解出，即可；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质，则，，，求出，根据等角对等边，则，设，根据，求出；再根据，即可．
【详解】（1）解：∵灯杆与地面垂直，
∴，
在中，
∵，
∴，
答：灯杆的长度为．
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
∵，
∴，即,
∴，
∵，
∴．
答：灯管支架的长度约为．
10．（2026·山东淄博·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案．
(1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中）
①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理．
(2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由．
【答案】(1)②，③
(2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为
【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度；
（2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度．
【详解】（1）解：测量出①，②，③，④，
可得：，，
，
根据可证，
，
根据对应边成比例求出的高度，
再根据旗杆的高度为求出结果，
“标杆方案”运用的知识是②相似三角形；
测出的度数，
可知，
测出，
可知，
，
根据，
可以求出的高度，
根据旗杆的高度为求出结果，
“测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数；
（2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便，
如图：
由题意得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
答：旗杆的高度约为；
选择方案二，理由为测量较准确，
由题意得：，，
设，
，，
，
在中，，，
，即，
解得（米），
答：旗杆的高度约为米．
1．（2026·山东聊城·一模）如图，以的边AB为直径作圆，过圆心O作，交BC于点E，交圆O于点F，连接BD，已知，点C为的中点．
(1)求证：DB为圆O的切线；
(2)若，点P为直径AB上的一个动点，求的最小值？
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查切线的判定，直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，找到点C关于AB的对称点M，推出，，三点共线时，最小，最小值为EM的长为解题关键．
（1）由点F是的中点，点C为的中点，推出，结合，得，最后利用切线的判定即可证明．
（2）延长DO交于点M，连接PM，由得点C关于AB的对称点为点M，所以，，三点共线时，最小，最小值为EM的长，由， ，，得，算得，再由，算得，最后算出EM的长即可．
【详解】（1）证明：，
∴点F是的中点，
又∵点C为的中点，
．
又，
，
∴DB为圆O的切线．
（2）解：如图，延长DO交于点M，连接PM，
由（1）可知，
，，
∴点C关于AB的对称点为点M，
，，
，，三点共线时，最小，最小值为EM的长,
，，
，，
，即，
在直角三角形OBE中，，
，
即的最小值为3．
2．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的直径，连接，，过点作于点，交于点，交于另一点，延长至点，连接，使．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的半径是
【分析】（1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质可推得 ，再结合 ，即可得出，，则结论得以论证；
（2）通过论证，，可以得到， ，又结合， 继而得到 ；
（3）设，，根据勾股定理可得， 通过论证可得， 最后根据列方程即可.
【详解】（1）解：是的直径，
，即：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线 .
（2）证明：是的直径，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
；
（3）解：∵，
∴设，，
，，
，
，，
，
又，
，
，即，
，
，，
，
，
，
解得，
，即的半径是.
3．（2026·山东日照·一模）如图，在中，，为边上一点，已知过点且经过边上的点．连接并延长，交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，证明，得，即得为的切线；
（2）设的半径为R,，由，求出， 由，求出，得，代入，解方程可得．
【详解】（1）证明：连接，
∵在中，，为边上一点， 过点且经过边上的点D，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：设的半径为R，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
故求的半径为．
4．（2026·山东济南·一模）如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切．
(1)求证：；
(2)若D是的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答；
（2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
是的半径，是的切线，
∴，
∴
，
，
∴，
∴．
（2）解：连接，
，
，
是的中点，
，
，
在中，，
，
是的直径，
，
，
∵，
，
，
，
．
5．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）作，垂足为，连接，由直角三角形的性质得，即得，进而得，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求证；
（）由，可得，设的半径为，则，，证明得，即得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作，垂足为，连接，
∴
，是的中点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 是的切线．
（2）根据题意得：由，，
∴，
设的半径为，则，，
，，
，
，
即，
．
6．（2026·山东聊城·一模）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为6，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接，等边对等角，得到，圆周角定理得到，进而得到，推出，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的值，解，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解： ∵的半径为6，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（2026·山东济南·一模） 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可；
（2）连接，是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
8．（2026·山东济宁·一模）如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．证明．由是的直径可得，得出，从而可得结论；
（2）先证明四边形是平行四边形．是菱形，再证明是等边三角形，求出，根据可得结论．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴，．
∴是等边三角形，
∴．
在中，，，
∴，
∴,
∴．
9．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先得出，可得，利用，得出，结合，可得，即可证明；
（2）证明，得出，即可求出，即可求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
10．（2026·山东日照·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点恰好平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据勾股定理得到，延长交于H，根据平行四边形的性质得到，求得，根据垂径定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，的半径为，
∴，
∴，
延长交于H，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．（2026·山东青岛·一模）如图，数学兴趣小组在水平地面上开展测量活动：已知，距离是40米，距离是50米，点处有一垂直于地面的高20米的立柱．从点观测点的仰角为；从点D观测点C的俯角为，连接．求到水平地面的垂直高度是多少米？（参考数据：，，，，，）
【答案】到水平地面的垂直高度约是米
【分析】过点作于点，延长，交于点，先证明四边形是矩形，则可得，再设米，则米，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后在中，解直角三角形即可．
【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∴，
由题意得：米，米，米，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
设米，则米，
在中，米，
∴米，
∴米，
在中，，即，
解得，
即米，
答：到水平地面的垂直高度约是米．
12．（2026·山东青岛·一模）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离．
（结果精确到1米，参考数据：．）
【答案】187米
【分析】过点作于点，设，先证明四边形是矩形，得到后列方程求解，继而求出．
【详解】解：过点作于点，
设，
则，，
，
，
平行于，
，
四边形是矩形，
，
，
即，
，
解得：，
．
答：操作员到搜寻目标的水平距离为187米．
13．（2026·山东青岛·一模）为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡上树的高度，测得树根部E到坡脚B的距离为5米，斜坡的坡度为，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为，树，斜坡的剖面，点D在同一平面上，树与地面垂直，求树的高度．（结果精确到米．）（参考数据：，，）
【答案】米
【分析】延长交于点，则，根据，，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交于点，则，
在中，，
∴
设
由勾股定理得，，即
解得（舍）
∴
在中，
∵
∴
∴
答：树的高度为米．
14．（2026·山东聊城·一模）聊城古城始建于宋熙宁三年，城墙历史悠久，北门（宣威门）为古城重要出入口，建筑风格古朴典雅．某数学兴趣小组想用无人机测量聊城古城区北门城楼的高度（水平地面）．
测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面高的点A处，在此处测得北门城楼顶端P的俯角为；再将无人机沿水平方向向城楼飞行到达点B，此时测得城楼底端Q的俯角为．若A，B，P，Q在同一平面内，求北门城楼的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，）
【答案】北门城楼的高度约为
【分析】延长交延长线于C，先证明，然后在中，利用求出的长，再求的长即可．
【详解】解：如图，延长交延长线于C，
由题意知，，，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
答：北门城楼的高度约为．
15．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
(1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：）
【答案】(1)1.7米
(2)0.6米
【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解；
（2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作于点，则，
由题意得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵O为的中点，米，
∴米，
在中，，
，，
∴支点到小竹竿的距离（米）；
（2）解：由（1）知，，，
∴米，
如图，作于点，则，
同理可得，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴米，
∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米．
16．（2026·山东菏泽·一模）图片中的灯塔是某县地标性建筑，某中学数学兴趣小组要测量灯塔的高度，先在地面上选取一点，在此处用测角仪测得灯塔顶端的仰角，前进米到达处时测得灯塔顶端的仰角（点，，在一条直线上）．已知测角仪支架的高为米，求灯塔的高度．
（参考数据：，，）
【答案】的高度为米
【分析】设为米，根据三角函数值，可得出，由，可得出方程，求解后即可求出的高度．
【详解】解：设为米，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故米．
17．（2026·山东聊城·一模）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，）
【答案】台阶的高度为，孔子雕像的高度为
【分析】作，根据斜坡的坡比为，求出的长，设，得到，分别解，求出的长，利用线段的和差关系，列出方程进行求解即可．
【详解】解：作，由题意，得，
∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，解得，
∴；
答：台阶的高度为，孔子雕像的高度为．
18．（2026·山东滨州·一模）黄河楼是滨州的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量黄河楼的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在黄河楼底部正前方的平地上选取相距34米的A、B两个观测点．在A点测得黄河楼顶部D的仰角为，在B点测得黄河楼顶部D的仰角为．根据情境抽象出几何图形并求黄河楼的高度（结果精确到1米，）．
【答案】83米
【分析】先画出图形，得出是等腰直角三角形，得到，表示出（米），然后解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，
由题意得，，，，米，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴（米），
∴，
∴，
解得．
∴黄河楼的高度为83米．
19．（2026·山东济南·一模）实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且．
（参考数据：）
(1)当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数；
(2)如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）．
【答案】(1)，；
(2)此时的投影宽度的长约为
【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再得到，解直角三角形求出，即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，易证四边形是矩形，求出，通过解直角三角形求出，，再解直角三角形求出；，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，依题意．
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
答：摄像头的广角的度数约为．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
，
∴．
即此时的投影宽度的长约为．
20．（2026·山东济宁·一模）项目式学习
问题解决
(1)任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3）
(2)任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查了弧长公式的应用、解直角三角形的实际应用；解题的关键是任务一中将吊舱弧距转化为直径范围，任务二中构造直角三角形利用正切函数列方程求解．
任务一：由24个吊舱均匀分布，利用弧长公式，将弧距范围转化为直径的范围，取计算得
再由，结合底部支撑净空的范围米，得的范围为米；
任务二：过点分别作于点，由知四边形均为矩形，得米，米，设米，分别在和中利用和表示出，由列关于的方程求解即可.
【详解】（1）解：摩天轮安装了24个全景吊舱，吊舱沿圆周均匀分布，
圆周上相邻吊舱中心弧距，
通常为米，
，
，
取，
（米），
（米），
，
底部支撑净空通常为米，，
（米），
（米），
，
即摩天轮的高度的估算范围为米；
（2）解：过点分别作于点，则三点共线，，
，
四边形和四边形均为矩形，
米,
米，
设米，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，，
米
（米）．
课题
测量学校旗杆高度
成员
组长：×× 组员：×××，×××，×××
测量方案
标杆方案
测角仪方案
测量示意图
卷尺、标杆

卷尺、可调节支架的测角仪

实施过程
①选取运动场与旗杆相距一定距离的处；
②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上；
③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度．
①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度；
②测量旗杆顶的仰角；
③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角；
④测量距离．
测量数据
①；②；
③；④．
①；②；
③．
备注
①图上所有点均在同一平面内；
②，均与地面垂直；
③旗杆底部基座与运动场的高度差．
①图上所有点均在同一平面内；
②参考数据：，，．
课题：估算摩天轮的高度
背景
曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算．

估算方法
方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算
摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成：
吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离．
方法二：基于仰角的三角测量法
测量的相关数据如下
为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．