题号猜押08 山东中考数学18~19题（解答题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测试+答案

这是一份题号猜押08 山东中考数学18~19题（解答题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测试+答案，共45页。试卷主要包含了进行了整理、描述和分析，分为四个等级，，得到如下不完全的信息，与身高的关系，，成绩分成五组等内容，欢迎下载使用。
考点1 统计问题的应用
1．（2026·山东济南·一模）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图：
其中等级C，D的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)若将调查结果制作成扇形统计图，则等级D所对应的圆心角为______；
(3)等级C中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______；
(4)若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4.5，4.55
(4)630人
【分析】（1）根据题意，确定C，D等级的人数，补全条形图即可；
（2）用360度乘以D等级人数所占的比例；
（3）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（4）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：C等级人数为6人，D等级人数为8人，补全条形图如图：
（2）解：；
（3）解：C等级中出现次数最多的数据为4.5，故众数为4.5；
将数据排序后，第20个数据和第21个数据分别为4.5和4.6，
∴中位数为；
（4）解：（人）
∴估计该校九年级学生视力为“良好”的学生有630人．
2．（2026·山东日照·一模）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
c．乙试验田穗长在这一组的是：
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中的值为 ；
(2)表2中的值为 ；
(3)在此次考察中，稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 ；
A．甲 B．乙 C．无法推断
(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为多少万个？
【答案】(1)10
(2)
(3)A
(4)万个
【分析】（1）用调查人数乘以的频率即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据方差越小，数据越稳定求解即可；
（4）甲试验田的稻穗总量乘以穗长在范围内的频率的和即可解答．
【详解】（1）解：甲试验田在的频数为：．
（2）解：乙试验田抽取了50个数据，按大小顺序排列第25、26个数是最中间的两个数，而第25、26个数是和，
则中位数为．
（3）解：∵甲试验田穗长的方差小于乙试验田穗长的方差，
∴稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，即选项A符合题意．
（4）解：万个．
答：估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为万个．
3．（2026·山东济宁·一模）某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92．
b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）：
数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组．
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组；
②补全频数分布直方图；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁．
（参考数据：，，）
【答案】(1)①92，；②见解析
(2)甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲
【分析】（1）①根据中位数和众数的定义求解即可；②求出第5组的人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）先求出甲、乙、丙三个选手得分的平均数，结合方差比较即可得出结果．
【详解】（1）解：①由题意可得，专业评委打分中92出现的次数最多，故；
名大众评委打分数据的中位数是第个数据和第个数据的平均数，且，，
故n的值位于大众评委打分数据分组的第组；
②第5组的人数为：（人），
补全频数分布直方图如图所示．
（2）解：甲选手得分的平均数为．
乙选手得分的平均数为．
丙选手得分的平均数为．
∵，，，
∴甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲．
4．（2026·山东青岛·一模）为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛．现从七年级、八年级参赛学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等级：为“不合格”，为“合格”，为“良好”，为“优秀”．下面给出了部分信息：
七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82，83，84，84，84，84，85，86，87，88．
八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72，74，75，77，78．
两组数据的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？
【答案】(1)82.5，26
(2)八年级的成绩更好，见解析
(3)232人
【分析】（1）根据中位数的确定方法求出，根据扇形图中各部分的百分比之和为1，求出的值；
（2）根据中位数和众数作决策即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可.
【详解】（1）解：，
故七年级成绩的中位数落在良好等级，将数据从大到小排序后，第25和第26个数据分别为，
∴；
八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的百分比为，
∴，
∴；
（2）解：八年级的成绩更好，理由如下：
两个年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数和众数均比七年级的大，故八年级的成绩更好；
（3）解：（人）；
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有232人.
5．（2026·山东菏泽·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息：
八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86，
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66
请根据以上信息完成下列问题：
(1)填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）：
(3)规定90分及以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
(4)如果从八年级和九年级参加此次知识竞赛并获得优秀等级的学生中随机选取一人，小明同学认为九年级学生被选中的可能性更大些．你同意他的说法吗？为什么？
【答案】(1)，，画图见解析
(2)九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析
(3)人
(4)我不同意小明同学的说法，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数定义求解m、n；求出D组人数并补充条形统计图；
（2）利用众数和平均数进行分析即可；
（3）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可；
（4）根据八年级和九年级的优秀率，八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生总人数分析即可．
【详解】（1）解：根据条形统计图和B组数据可知，第10个数为88，第11个数为86，
∴八年级的中位数为，
∴；
由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88，
∴九年级的众数为88，
∴；
由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在D组的学生人数为人，
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
（2）解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，
所以九年级学生的竞赛成绩更优秀；
（3）解：，
答：估计八、九年级参加知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人；
（4）解：我不同意小明同学的说法，理由如下：
从统计样本看八年级参加此次知识竞赛的学生获得优秀等级的百分比为，九年级参加此次知识竞赛的学生获得优秀等级的百分比为，九年级略高．但题目未给出八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生总人数，无法根据样本判断、对比两个年级获得优秀等级的学生总人数．
6．（2026·山东济宁·一模）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如表：
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表：
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成5组：，）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值：______，______；
(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
(3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
【答案】(1)；
(2)人
(3)身高为男生的臂展长度约为．
【分析】（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）用240乘以样本中臂展大于或等于的男生人数的占比即可得到答案；
（3）把代入求出y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格信息可得，把这20名男生的身高按照从矮到高的顺序排列，第10个数据和第11个数据分别为，
∴这20名男生的身高的中位数为，即，
∵这20名男生的臂展为的人数最多，
∴这20名男生的臂展的众数为，即；
（2）解：人，
答：估计其中臂展大于或等于的男生人数为108人；
（3）解：在中，当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为．
7．（2026·山东潍坊·一模）低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组：
A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．
【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）：
甲校：；
乙校：．
【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图．
【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息；
(2)小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由；
(3)综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析．
【答案】(1)见解析
(2)小亮所求结果错误；小莹所求结果错误；理由见解析
(3)甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大
【分析】（1）分别求出甲校组的频数，乙校组的百分比，补全图形即可；
（2）分别求出平均数及中位数进行判断即可；
（3）比较甲乙校成绩的平均数、中位数及方差得出结论即可.
【详解】（1）解：由题意得：甲校组：人；
∴甲校组：（人）；
∵由题意得：乙校组：；
∴乙校组：；
补全图中信息见下图：
（2）解：∵甲组平均数：，
∴小亮所求结果错误；
∵组所占百分比为：，
∴乙校成绩从小到大排列第个数在组是：，
∴
∴小莹所求结果错误；
（3）解：从平均分的角度看：
∵，∴甲校优于乙校；
从中位数的角度看：，甲乙校相同；
从方差的角度看：
∴甲校成绩较稳定；
综上：甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大.
8．（2026·山东青岛·一模）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，将测试的结果（续航里程用公里）分成4组：A．；B．；C．；D．；并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．10辆款纯电动汽车的实际续航里程：
330，375，435，410，410，470，380，365，365，410
b．10辆款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）：
c．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表：
d．10辆款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：．
根据以上信息，解答下列问题
(1)表格中的______，______；
(2)根据上述数据，你认为款和款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）
(3)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的三项性能进行了打分（百分制），如下表：
续航里程、百公里能耗、智能化水平三项性能在小王心中所占比例是，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由．
【答案】(1)
(2)款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析
(3)选择甲款车更合适，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到与的值；
（2）根据表格中的平均数判断即可；
（2）利用加权平均数求解可得．
【详解】（1）330，375，435，410，410，470，380，365，365，410中，410出现的次数最多，
∴众数；
在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410，
∴中位数 ；
（2）解：款的实际续航里程更长，理由如下：
∵款的平均数较大，
∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：选择甲款车更合适，理由如下：
甲款车综合得分为：
（分），
乙款车综合得分为：
（分），
，
∴选择甲款车更合适．
9．（2026·山东枣庄·一模）【项目背景】科学种植对农林产业发展有巨大的促进作用，某苹果种植户想验证新的种植养护方式对苹果品质的提升效果，在果园内开辟了实验园区，运用新技术种植、养护．在苹果成熟采摘的时候对普通园区和实验园区苹果的大小进行对比分析．
【数据收集与整理】在普通园区和实验园区采摘的苹果中随机各抽取50个，测量它们的直径，并按照直径大小进行分组，分组标准如下：
数据整理1：将普通园区苹果的直径数据绘制成如图1的频数分布直方图，其中普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为．
数据整理2：将实验园区苹果的直径数据绘制成如图2的扇形统计图，实验园区苹果的直径整理记录的部分数据（已按大小进行排序）如下（单位：）：
…，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，9.0，…
【数据处理和应用】
(1)普通园区苹果的直径在C组的有____________个，请补全频数分布直方图；
(2)实验园区苹果直径的中位数是____________，图2中D组对应扇形的圆心角是____________；
(3)已知实验园区苹果的平均直径为；普通园区苹果的直径在A，B，C，D，E五组中的平均值分别为，，，，；若实验园区苹果的平均直径比普通园区苹果的平均直径高出，就认为新的种植、养护方式效果显著．请你通过计算说明该果园实验园区实施的新种植、养护方式是否达到“效果显著”？
【答案】(1)12，频数分布直方图见解析
(2)8.05，
(3)达到“效果显著”
【分析】（1）根据普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为，得出D，E组有10个，进而求得D组的个数，根据频数分布直方图求得C组的个数，进而补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义可知实验园区苹果直径的中位数在D组，进而求得第25，26个数据分别为8.0，8.1，即可求得中位数，根据D组的个数为16个，用其占比乘以，进而求得D组对应圆心角的度数；
（3）根据加权平均数的方法计算普通园区苹果的平均直径，进而求得实验园区苹果的平均直径比算普通园区苹果的平均直径高出的百分比，和比较，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：（个），
∴D组的个数为：（个）．
则C组的个数为：（个）．
补全频数分布直方图如图：
（2）解：D组，
∴D组的数据为：8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，共16个．
A组：（个），
B组：（个），
E组：（个），
C组：（个），
A、B、C组一共有：（个），
∴第25，26个数据分别为8.0，8.1．
∴实验园区苹果直径的中位数是．
D组对应扇形的圆心角是．
（3）解：普通园区苹果的平均直径为：，
，
∴该果园实验园区实施的新种植、养护方式达到“效果显著”．
10．（2026·山东济宁·一模）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；将条形统计图补充完整．
(2)如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有________；
【答案】(1)200，，条形统计图见解析
(2)600
【分析】（1）根据现金支付的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求出“支付宝”支付的百分比，进而可求扇形圆心角的度数；计算使用“微信”支付方式的人数，从而可补全条形图；
（2）计算出样本中“微信”支付的百分比，再用乘以该百分比，即可求解．
【详解】（1）解：本次活动调查的人数为：（人），
使用“支付宝”支付方式的占比为：，
扇形圆心角的度数为：．
使用“微信”支付方式的人数为：（人），
补全条形图如图所示：

（2）解：样本中使用“微信”支付方式的百分比为：，
由此可以估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数也是，
即（人）．
答：估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数是600人．
考点2 概率与统计的综合应用
1．（2026·山东德州·一模）为了解我区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了名学生，数据分析如下．
【收集与整理】
农村学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，；
城区学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，．
【描述与分析】
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表格中、的值，______，______；
(2)【迁移与应用】
若从本次艺术成绩在分以上的名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
(3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可；
（2）农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可；
（3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，提出合理化建议即可．
【详解】（1）解：，
城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，
∴．
（2）解：农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画树状图如下：
总共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有种，
∴（所选两名学生恰好都是城区学生）．
（3）解：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化程度．
2．（2026·山东泰安·一模）按教育部年月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．请根据上述信息解答下列问题：
(1)本次调查的人数是______人；
(2)请根据题中的信息补全频数分布直方图；
(3)组对应扇形的圆心角为______°；
(4)现从组里体育成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加校级体育节活动，每名同学被选中的可能性相等，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】(1)400
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（）根据组的人数和百分比即可求出总人数；
（）根据总人数和条形统计图即可求出组人数并补全；
（）先算出组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
（）因为要计算从甲、乙、丙、丁四人中选甲和乙两名同学的概率，先通过列表列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙的结果数，最后用后者除以前者得到概率．
【详解】（1）解：∵由图可知：组有人，占，
∴总人数为（人）；
（2）解：组的人数为：（人），
补全直方图如下：
（3）解：组所占的百分比为，
∴组所对的圆心角为
（4）解：列表法： 从甲、乙、丙、丁四人中选甲和乙两名同学，所有可能的组合为：
共有种可能，其中恰好选中甲和乙的组合只有种，
所以概率．
3．（2026·山东青岛·一模）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图．
甲校区学生测试结果统计表：
(1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大；
(2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人．
(3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
【答案】(1)抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大
(2)2
(3)这个活动规则对他们双方公平，理由见解析，表格见解析
【分析】（1）根据平均数的定义分别求出两个校区的平均数，比较即可得到答案；
（2）先求出原来乙校区抽取的20名学生的答对题数中位数，再根据重新测试的学生中最少的答对了8道题判断需要重新测试后所有学生的中位数变大的情况即可得到答案；
（3）列表求出两人分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：甲校区的学生答对题数的平均数为题，
乙校区的学生答对题数的平均数为题，
∵，
∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大；
（2）解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题，
∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题，
∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变，
若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了，
∴最少又测试了2人；
（3）解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下：
列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种，
∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，
∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同，
∴这个活动规则对他们双方公平．
4．（2026·山东聊城·一模）2025年12月，我国首个深远海风光同场漂浮式光伏项目在海南建成，标志着我国海上可再生能源开发取得新突破．为增强青少年环保意识与科技创新兴趣，某校举办了“清洁能源与可持续发展”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析．
七年级：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
八年级：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
(1)上述表格中，________，________，________；
(2)若该校七年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩超过90分的人数；
(3)若从本次知识竞赛成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率．
【答案】(1)85，87，95.2
(2)240人
(3)
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可；
（2）用800乘以七年级学生成绩超过90分的人数所占的比例即可；
（3）七年级95分以上学生有2人，分别记为，，八年级95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵七年级10名学生的成绩从小到大排列后排在第5和第6位的数分别是84和86，
∴，
∵八年级10名学生的成绩中出现次数最多的是87，出现了2次，
∴，
；
（2）解：人；
（3）解：七年级95分以上学生有2人，分别记为，，八年级95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下：
总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是八年级学生的结果有2种，
∴P（所选两名学生恰好都是八年级学生）．
5．（2026·山东日照·一模）为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息：七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418
八年级20名学生的餐余重量在组中的数据是：
120，123，144，153，172，180，198
七、八年级所抽学生的餐余重量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？
(4)若该校在七年级、、、四组中任选两组成立“光盘小分队”，请用画树状图或列表的方法求恰好选中组和组的概率．
【答案】(1)，
(2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由见解析
(3)人
(4)
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数和中位数进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画树状图展示所有等可能出现的结果，再找出恰好选中组和组的结果，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是，
；
八年级组的人数为（名），
把八年级名学生的餐余重量按照从低到高的顺序排列，第个和第个数据分别为和，
；
（2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，
理由：因为七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好；
（3）解：（名）；
答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过克的学生共有人．
（4）解：画树状图如图所示：
共有种等可能的结果，其中恰好选中组和组的结果有种，
（恰好选中组和组）．
6．（2026·山东东营·一模）今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中_____，_____．
(2)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
(3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
【答案】(1)，
(2)（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）
(3)见解析
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（3）可以从众数、平均数、中位数给出合理的建议．
【详解】（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值，
，
型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件，
中位数为．
（2）解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）；
（3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可）
7．（2026·山东聊城·一模）为了解学生对“碳达峰，碳中和”知识的知晓情况，某中学举行了有关“碳达峰，碳中和”的知识竞赛，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，回答下列问题．
(1)求的值；
(2)扇形统计图中，所对应的圆心角是__________；
(3)如果抽取的学生数占全校总人数的，则全校中类学生大约有多少名？
(4)学校打算从七，八，九年级中各选取一名获得“”类的同学作为“碳达峰，碳中和”义务宣讲员，则三个年级选取的恰好都为女生的概率为多少？
【答案】(1)12
(2)
(3)160
(4)
【分析】（1）先由D的人数除以占比求出抽查学生总数，再由抽查学生总数减去A、B、D的人数即可求解m值；
（2）由C的人数除以抽查学生总数求出占比，再乘以即可；
（3）先求出学校总人数，再由学校总人数乘以类学生的占比即可；
（4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：抽查学生总数：
∴；
（2）解：；
（3）解：学校总人数：，
答：全校中类学生大约有名；
（4）解：画树状图如图：
由树状图可知共有8种等可能结果，其中三个年级恰好抽到的都为女生的结果有1种，
三个年级选取的恰好都为女生的概率为．
8．（2026·山东枣庄·一模）2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
(1)填空：______；______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条）
(3)该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
【答案】(1)25，94，87
(2)八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好，见解析
(3)
【分析】（1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值；
（2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答；
（3）先列表求出所有可能的结果数，再找出必有甲同学参加比赛的结果数，最后利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
在八年级的成绩中出现次，次数最多，
故；
九年级成绩中D组人数为人，
中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即；
（2）解：八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好．理由如下：
∵两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级，
∴八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好；
（3）解：列表如下：
由表格可知，所有等可能的结果共有12种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，可得．
9．（2026·山东潍坊·一模）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．
请根据统计图回答问题：
(1)①调查的50人中，55岁以上的有_________人，m的值为_________；
②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为_________；
(2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率．
【答案】(1)①30、10；②；
(2)．
【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和简单的概率计算，能从表中获取信息和正确计算是解题的关键．
（1）①用调查的总人数乘以55岁以上所占的百分比即可；②用1减去其余两项所占的百分比即可；
（2）利用列表法或树状图法计算即可．
【详解】（1）解：①55岁以上的有（人），
，
，
故答案为：30，10；
②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为，
故答案为：；
（2）解：不满意的人有（人），
设岁这个范围内不满意的居民为A，55岁以上的三位不满意的居民分别为，
根据题意，列表格如下∶
或画树状图如下：
由表格(或树状图)可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，其中恰好选岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，，
∴，
故答案为：．
10．（2026·山东·模拟预测）【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．
（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
【数据分析与应用】
任务一 掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人；
任务二 掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由；
任务三 将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率．
【答案】任务一：50，45；任务二：成绩的中位数落在C组，见解析；任务三：
【分析】任务一、根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数；
任务二、根据中位数的定义求解即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：任务一、由题意知A组占，有5人，
所以掷实心球的女生的人数为：（人）．
因为只有A组的女生成绩不合格，所以合格人数为：（人）；
任务二、将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组；
任务三 由成绩统计表得跳绳个数在161～190的选手共有4人，依次记为，画树状图如下：
共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种，
∴恰好抽到选手的概率为．
考点3 函数与方程的综合应用
1．（2026·山东淄博·一模）情景与对话：
情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地．
对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米．
小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米．
问题与探索：
小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？
【答案】8
【分析】设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，根据两次行走的时间相等列出等式，求出全程长度，再计算小明走完全程时小亮走的路程，最终得到小亮未走完的路程．
【详解】解：设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，
当小明走完全程一半时，两人所用时间相等，得，
整理得，
当小亮走完全程一半时，两人所用时间相等，得，
整理得，
∴，即，
∵，
∴，
全程长度为千米，
∴速度比，即，
小明走完全程的时间为，
这段时间内小亮走的路程为：（千米），
小亮未走完的路程为（千米）
答：小明走完全程时，小亮未走完的路程还有千米．
2．（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍．
(1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？
(2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本．
【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米
(2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元
【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案；
（2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米．
（2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，
解得，
设总成本为w元，则，
，，
当时，总成本w最低，
最低成本为:，此时，
答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元．
3．（2026·山东济南·一模）为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．
(1)求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？
(2)该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？
【答案】(1)共享单车单价500元，共享电动车单价700元
(2)采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元
【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，根据“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．”列出方程，即可求解；
（2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，
由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
共享电动车单价：（元），
答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元．
（2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，
，
又，
，
，
w随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
（元），
答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元．
4．（2026·山东青岛·一模）2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同．
(1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元；
(2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【答案】(1)A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元
(2)故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元
【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根且符合题意，
此时，
答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元．
（2）解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台，
根据题意，得，解得，
采购费，
由得w随a的增大而减小，
∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元）
故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元．
5．（2026·山东聊城·一模）为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动．
请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一：
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同．
材料二：
A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆．
若租用B型客车，租车费用打八折．
学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人
(2)36000元
【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w，根据载客量和总人数列出不等式确定m的取值范围，再计算出w，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人，
由题意得，，
解得，，
经检验：是方程的根，
∴．
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．
（2）解：设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w，
由题意得，，
解得，
由题意得，，
，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，，
∴本次研学活动学校最少租车费用为36000元．
6．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度．
(1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价；
(2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？
【答案】(1)
当日的快充充电单价为元/度
(2)
快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元
【分析】（1）根据快充和慢充单价的关系得到与的表达式，再结合快充和慢充充电总量相等列分式方程，求解检验后得到结果；
（2）先根据题目条件表示出日充电量，再结合日收益的计算公式列一元二次方程，求解后根据的取值范围筛选得到结果．
【详解】（1）解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，
慢充充电单价为元/度，
根据题意得，
化简得，
方程两边同乘得：，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解，且符合题意．
答：当日的快充充电单价为元/度；
（2）解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度，
日充电量为，
根据题意得，
整理得 ，
因式分解得，
解得，，
两个解都满足，均符合题意；
答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元．
7．（2026·山东济宁·一模）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进A，B两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如表：
该商场计划进货两款湘绣共30件，且购进A款湘绣的数量不少于B款湘绣的，
(1)B款湘绣最多购进多少件？
(2)如何设计进货方案才能使这次进货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)B款湘绣最多购进18件
(2)购进A款湘绣12件，B款湘绣18件，才能使这次进货售完后获得最大利润，最大利润是7200元
【分析】（1）设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果；
（2）设利润为元，求出关于的关系式，再结合一次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，
，
解得，
答：B款湘绣最多购进18件；
（2）解：设利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为（元），
（件），
答：购进A款湘绣12件，B款湘绣18件，才能使这次进货售完后获得最大利润，最大利润是7200元．
8．（2026·山东青岛·一模）科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元．
(1)求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？
(2)该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？
【答案】(1)型激光雷达传感器的单价是600元，型激光雷达传感器的单价是1000元
(2)购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个，总费用最少，总费用最少是18000元．
【分析】（1）设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元，根据“用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等”，列分式方程求解即可；
（2）设购进型激光雷达传感器个，根据“购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为元，求出w关于m的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可。
【详解】（1）解：设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元．
由题意得
解得
经检验，是原方程的解
（元）
∴型激光雷达传感器的单价是元，型激光雷达传感器的单价是元．
（2）解：设购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个．
由题意得
解得
设总费用为元
∵
∴随的增大而减小
∵
∴当时，取得最小值，最小值为元
（个）
∴购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个时，总费用最少．
总费用最少是元．
9．（2026·山东济南·一模）学校计划购买型无人机和型无人机作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品．已知购买2个型无人机和3个型无人机共需650元，购买4个型无人机和5个型无人机共需1150元．
(1)求型无人机、型无人机的单价：
(2)若学校准备购买型无人机、型无人机共10个，且型无人机的数量不多于型无人机数量的，购买型无人机多少个时，采购费用最少？最少费用为多少元？
【答案】(1)型无人机单价为100元，型无人机单价为150元
(2)购买3个型无人机时才能花费最低，最低花费为1350元
【分析】（1）设型无人机单价为元、型无人机单价为元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买型无人机台，则型无人机台，购买费用为元，根据A型无人机的数量不多于B型无人机数量的可求得m的取值范围；再根据总价等于单价乘以数量，列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：设型无人机单价为元、型无人机单价为元，
由题意得：
①×2得：③
③-②得：
将代入①得：，解得：
所以．
答：型无人机单价为100元，型无人机单价为150元．
（2）解：设购买型无人机台，则型无人机台，购买费用为元，
由题意得：， 解得：，
由题意可得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∵为非负数且，要使W的值最小，m应取最大整数值，
∴当时，有最小值， 且最小值为（元）.
答：购买3个型无人机时才能花费最低，最低花费为1350元．
10．（2026·山东青岛·一模）随着天气逐渐变暖，越来越多的市民选购自行车，骑行穿梭于红瓦绿树之间，打卡海滨美景，尽享春日惬意．某自行车店抓住这一商机，购进A、B两种型号的自行车进行销售，进价和售价如表：
已知用4800元购进A型自行车的数量与用6000元购进B型自行车的数量相同．
(1)求的值；
(2)该店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，并全部售出．若A型车采取线上销售方式，每辆车需扣除运费40元；B型车采取线下销售方式，由顾客到店自取，无额外费用．该店最多购进多少辆A型车，才能使销售B型车的总利润不低于销售A型车的总利润．
【答案】(1)
(2)最多购进辆A型车
【分析】（1）根据“用4800元购进A型自行车的数量与用6000元购进B型自行车的数量相同”建立分式方程求解；
（2）设购进型自行车辆，则购买型自行车辆，根据“销售B型车的总利润不低于销售A型车的总利润”建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：的值为；
（2）解：设购进型自行车辆，则购买型自行车辆，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴最大为，
答：最多购进辆A型车，才能使销售B型车的总利润不低于销售A型车的总利润．
1.（2026·山东青岛·一模）小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜．
(1)这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由；
(2)将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的．
【答案】(1)游戏不公平，见解析
(2)3
【分析】（1）列表得出共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论．
【详解】（1）解：这个游戏方案对双方不公平，理由如下：
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种，
∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为，
∵，
∴小明胜的概率小刚胜的概率，
∴这个游戏方案对双方不公平；
（2）解：将红球个数改成3个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种，
∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为，
∴小明胜的概率小刚胜的概率，
∴这个游戏方案对双方公平，
故答案为：3．
2．（2026·山东青岛·一模）某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设；B美丽海湾保护；C青岛蓝天行动．竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再抽取第2张，抽到的两个主题均要作答．
(1)第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________；
(2)请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为；
（2）解：由题意，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中有A卡片的结果有4种，
∴．
3．（2026·山东青岛·一模）“红瓦绿树，碧海蓝天”是青岛的城市名片．某班开展以“向您推荐青岛”为主题的综合实践活动，班委会选取“栈桥”、“极地海洋世界”、“五四广场”、“崂山”（分别标记为A，B，C，D）四处景点作为研究对象，并采用小组合作的方式开展研究．同学们制作了四张质地、大小完全相同的不透明卡片，正面分别绘制上述四处景点的图案．
(1)将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为______；
(2)各小组随机抽取一张卡片，卡片上的景点即为该小组的研究内容．现将四张卡片背面朝上洗匀，第一小组随机抽取一张并记录结果，将卡片放回并重新洗匀后，第二小组再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两个小组研究的景点不相同的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为；
（2）解：画树状图如下：
，
共有种等可能的结果，其中这两个小组研究的景点不同的结果有种，
故两个小组研究的景点不相同的概率为．
4．（2026·山东青岛·一模）“七秩问天路 携手探九霄”，2026年恰逢中国航天事业创建70周年．某校为了解学生对 “航空航天知识” 的掌握情况，举行了航空航天知识竞赛，竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．学校随机抽取部分学生的成绩（用表示），分为四组：A组，B组，C组，D组，进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80
八年级：81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 ；
(3)填空： ； ；
(4)该校有300名七年级的学生和330名八年级的学生参加此次竞赛，请估计所有参赛学生中不低于80分的人数．
【答案】(1)，见解析
(2)
(3)，
(4)482人
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，确定，再补全频数分布直方图即可；
（2）根据圆心角的计算方法求解即可；
（3）根据众数，中位数的定义求解即可；
（4）利用样本估计总体的思想求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得本次随机抽样的样本容量为15，且频数之和等于样本容量，
故，补全频数分布直方图如下：
（2）解：根据题意，得．
（3）解：根据题意，96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80中，87分出现的次数最多，故七年级成绩的众数为分；
数据81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79排序如下：
，
根据题意，中位数是第8个数据，故（分）．
（4）解：根据题意，得（人），
答：所有参赛学生中不低于80分的有482人．
5．（2026·山东济南·一模）为响应槐荫区勾股数学杯校际联赛的号召，激发学生对数学学习的热情，某校八年级精心举办了一场数学答题挑战赛（满分分）．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
：；：；：；：；：．
下面给出了部分信息：
a：组的数据：、、、、、、、、、、、、、、、．
b：图与图分别为不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的学生人数；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为________度；
(4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数为________分；
(5)该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数．
【答案】(1)随机抽取的八年级学生人数为人
(2)见解析
(3)
(4)
(5)估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人
【分析】（1）根据组的频数和所占百分比，用频数除以对应百分比求出随机抽取的学生总人数．
（2）用总人数减去、、、组的频数，求出组的频数，补全频数分布直方图．
（3）用E组的频数除以总人数，再乘以，求出组对应扇形的圆心角度数．
（4）确定个数据的中位数位置（第、个数据），结合各组频数找到对应数据，计算中位数．
（5）先计算样本中分及以上（、组）的人数占比，再用总人数乘以该占比，估计全校达标人数．
【详解】（1）解：（人），
答：随机抽取的八年级学生人数为人；
（2）解：组频数，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为；
（4）解：第个数据分别为，
∴中位数为；
（5）解：（人），
答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人．
6．（2026·山东菏泽·一模）某校为了了解九年级学生排球垫球的情况，随机抽取了男女各20名学生进行测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．测试的成绩如下：
男生测试成绩：17 ，33，28，27，35，19，21，22，25，22，25，27，19，27，18，27，28，29，31，32
女生测试成绩：26，32，21，23，16，29，22，33，23，21，18，28，24，34，27，24，20，29，22，24
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
请根据以上信息；完成下面问题：
(1)补全条形图；
(2)表中的______， ______， ______， ______；
(3)若在中考评分标准中规定男女生排球垫球40个以上为满分，通过以上分析你会给该校的九年级体育教师提出什么建议？
【答案】(1)见解析
(2)3；10；27；24
(3)见解析（答案不唯一）
【分析】（1）将女生数据排序后整理后可求出a，b的值，可补全条形统计图；
（2）根据众数的定义可求出c的值，根据中位数的定义可求出d的值；
（3）提出合理化建议即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：女生数据从小到大排序：16，18，20，21，21，22，22，23，23，24，24，24，26，27，28，29，29，32，33，34，
∵的数据有：32，33，34，
∴．
∵的数据有：20，21，21，22，22，23，23，24，24，24，
∴．
（2）解：由（1）知，，．
∵女生数据从小到大排序，排在第10位和第11位的数分别是24，24，
∴．
男生数据从小到大排序：17，18，19，19，21，22，22，25，25，27，27，27，27，28，28，29，31，32，33，35，
∵27出现了4次，出现的次数最多，
∴．
（3）解：加强九年级学生排球垫球的日常训练，针对基础较差的学生进行专项辅导，逐步提升整体垫球水平，让更多学生达到中考满分标准．
7．（2026·山东聊城·一模）为监测校园水质安全，某校环保小组对校内A、B两个景观水池的水质浊度（单位：NTU）进行检测，对一天（24小时）内每小时的浊度值整理、描述并分析如下：
【收集数据】
A水池浊度值：1.2，1.3，1.5，1.5，1.5，1.7，1.8，2.1，2.1，2.1，2.1，2.3，2.3，2.4，2.5，2.7，2.7，2.8，2.9，3.1，3.1，3.2，3.3，3.3
B水池浊度值：1.1，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.3，2.4，2.5，2.6，2.8，2.9，3.0，3.0，3.1，3.2，3.3，3.4，3.4
【整理数据】
【分析数据】
根据以上信息，解决下列问题：
(1)表格中______
(2)填空： ______，＝______
(3)请判断A、B哪个水池的浊度更稳定，并说明理由；
(4)校园景观水池浊度日波动范围（最大值－最小值）要求为，请分别判断A、B两水池当日浊度是否符合要求，并说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)A水池的浊度更稳定，A水池的方差更小，方差越小越稳定
(4)A、B两水池当日浊度均符合要求，A水池的极差为，B水池的极差为，均在波动范围内
【分析】本题主要考查频数分布表，众数，中位数，方差以及极差，准确掌握数据是解题的关键．
（1）根据B水池的原始数据，找到满足的人数；
（2）根据众数和中位数的定义进行求解即可；
（3）根据方差的大小进行判断即可；
（4）分别求出A、B两水池的极差，判断是否在波动范围内即可得到答案．
【详解】（1）解：根据B水池的原始数据，满足的有，
；
（2）解：A水池出现的次数最多，故，
B水池中位数是第个数据的平均数，将数据从小到大进行排列，第个数据是，第个数据是，
；
（3）解：A水池的方差为，B水池的方差为，
，
故A水池的浊度更稳定，A水池的方差更小，方差越小越稳定；
（4）解：A水池的极差，
，故A水池符合要求；
B水池的极差，
，故B水池符合要求；
8．（2026·山东淄博·一模）为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理．
下面给出了部分信息：
50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组；
(2)在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是_____；
(3)填空：表格中的值为__________，的值为__________；
(4)请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由．
【答案】(1)见解析，3
(2)
(3)91，5.6
(4)甲队伍，理由见解析
【分析】（1）先由乘以第2组成绩的占比求出代表队数量，再由50减去其余组代表队的数量求解第4组代表队数量，即可补全频数分布直方图；再由中位数的定义求解中位数即可；
（2）用乘以所对应的占比即可；
（3）根据平均数、方差的计算公式求解即可；
（4）根据方差的意义分析即可．
【详解】（1）解：第2组：，第4组：
补全频数分布直方图如下：
根据频数分布直方图，这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数为第支队伍成绩的平均数，由频数分布直方图可得中位数处于第3组；
（2）解：在扇形统计图中，求“”对应的圆心角度数为；
（3）解：；
，
∴m的值为91，n的值为5.6；
（4）解：甲、乙两支队伍的各项成绩相比较，甲队伍的成绩波动较小，，因此甲队伍的各项成绩更稳定，因此甲队伍更适合为家乡代言．
9．（2026·山东济南·一模）泡泡玛特某门店为了更好把握消费者心理，对公司旗下大热产品：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．随机采访20名顾客，让他们分别给“星星人”和“拉布布”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布”得分在组中的数据是：91，92，92，92，94，94．
“星星人”和“拉布布”得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为_________度；
(3)据调查，一般情况下，只有对“拉布布”打分不低于95分的顾客才有购买意愿，这些人中有的人会购买“拉布布”，该门店预估本周末客流量会达到1000人，货源充足的情况下请你估计会有多少人购买“拉布布”？
【答案】(1)94，93，40
(2)108
(3)若本周末该门店客流量会达到1000人，货源充足的情况下估计会有300人购买“拉布布”
【分析】（1）根据众数，中位数等定义进行求解；
（2）利用乘其百分比即可求出圆心角度数；
（3）根据样本频数估计总体频数即可．
【详解】（1）解：∵“星星人”得分中94出现的次数最多，
∴众数；
通过扇形统计图可得，“拉布布”得分数据中，组有（个），
组有（个），组数据有6个，
∴中位数位于组中，为组数据排序后的第4个和第5个的平均数，
即；
∴“拉布布”得分数据中组数据个数为（个），
∴，
∴；
（2）解：扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为；
（3）解：（人），
答：若本周末该门店客流量会达到1000人，货源充足的情况下估计会有300人购买“拉布布”．
10．（2026·山东济南·一模）为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业5年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息：
a．调查问卷的部分信息如下：
b．不完整的条形统计图和扇形统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次共调查了______名青年人才；
(2)扇形统计图中“技能培训”对应的圆心角为______度；
(3)请补全条形统计图；
(4)按照“项目赋能年”规划，2026年济南市计划引进3000名青年人才．根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)见解析
(4)人．
【分析】（1）根据交友联谊的人数和所占百分比求解即可；
（2）用乘以技能培训的人数占比求解即可；
（3）先求出调查中最希望得到人才公寓服务的人数，再补全条形统计图即可；
（4）用3000名青年人才乘以最希望得到人才公寓服务的人数占比求解即可．
【详解】（1）解：（人），
即本次共调查了名青年人才；
（2）解：；
（3）解：调查中最希望得到人才公寓服务的人数为（人），
补全条形统计图
（4）解：（人），
答：估计最希望得到人才公寓服务的人数为人．
11．（2026·山东·一模）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
(1)在学期初调查数据条形图中，B组人数是 人，并补全条形图；
(2)在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 ．
(3)七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
(4)该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
【答案】(1)20，图见解析
(2)
(3)估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数约为340人
(4)学期末比学期初有提高，见解析
【分析】（1）根据抽取的总人数50，减去组的人数，计算B组人数，再根据计算出的B组人数补全条形统计图；
（2）先根据扇形图中各部分百分比之和为1，计算A组所占的百分比．用乘以A组的百分比，得到A组所在扇形的圆心角度数；
（3）用七年级总人数乘以该C、D组百分比之和，用样本估计总体得到所求人数；
（4）对比学期初和学期末的平均数、中位数、众数的变化，结合统计量的意义分析劳动时间的整体变化情况，得出结论．
【详解】（1）解：B组人数为（人），
补全图形如下：
；
（2）解：A组所占百分比，
A组所在扇形的圆心角度数；
（3）解：C组占，D组占，两组百分比之和，
因此七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数（人），
答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数约为340人；
（4）解：该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高，理由如下：
从统计量来看，学期初劳动时间的平均数为2.8、中位数为2.9、众数为2.8，学期末的平均数为3.5、中位数为3.6、众数为3.6，学期末的平均数、中位数、众数均高于学期初，这反映出学生一周参与劳动时间的整体水平、中间水平和最集中的时间都有所提升，综上，学期末学生的劳动时间相比学期初有明显提高．（理由不唯一，符合题意即可．）
12.（2026·山东济宁·一模）我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元．
(1)种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？
(2)今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？
【答案】(1)种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元；
(2)种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元．
【分析】（1）设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元根据题意列方程即可解答；
（2）设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，根据题意得到y关于x的一次函数，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元，
根据题意，得，
解得：，
答：种植每棵A种景观树需要200元，每棵B种景观树需要300元；
（2）解：设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，总费用为y元
根据题意得：，
∵A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，
∴，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，（元），
∴种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元．
13．（2026·山东济南·一模）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可；
（2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，
解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，
根据题意得，
解得：，
根据题意可得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，
此时万元，
答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元．
14．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元．
(1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案）
(2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，
由题意可得方程组，
解得，
故答案为：，．
（2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元，
根据题意可得，
∴，
化简得，
解得（舍去）或．
当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元．
15．（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池．
(1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用；
(2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？
【答案】(1)方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元；
(2)1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和．
【分析】（1）设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，由x、y均为非负整数，求解即可；
（2）设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】（1）解：设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，
因为x、y均为非负整数，所以对y进行取值：
当时，；当时，；当时，；
∴有三种方案：
方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；
方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；
方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元；
（2）解：设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，
则，
解得，
答：1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和．
16．（2026·山东济南·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元．
(1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
(2)该公司准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？
【答案】(1)A型机器人单价为650元/台，B型机器人单价为1100元/台
(2)购买A型机器人33台，B型机器人17台；最低费用为40150元
【分析】（1）设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，根据购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A型机器人采购a台，则B型机器人采购台，根据B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半列出一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设总的购买费用为W元，得出关于W的一次函数表达式，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设A型机器人每台x元，B型机器人每台y元．由题意得：
，
解得：，
答：A型机器人单价为650元/台，B型机器人单价为1100元/台；
（2）解：设A型机器人采购a台，则B型机器人采购台，
由题意得：，
解得：，
∵a只能取正整数，
∴a的最大值为33
设总的购买费用为W元，
∴，
∵，
∴当时，费用最低，为（元）
此时的购买方案为：购买A型机器人33台，B型机器人17台；最低费用为40150元．
17．（2026·山东济南·一模）济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元．
(1)求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？
(2)文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？
【答案】(1)每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元
(2)生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元
【分析】（1）设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元，生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元．据此列出方程组并解方程组即可；
（2）设生产A礼盒m件，列不等式求出自变量的取值范围，再设生产总成本为w元，列一次函数解析式并根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元．
（2）解：设生产A礼盒m件，则生产B礼盒件，
由题意得：，
解得：，
设生产总成本为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当，w有最小值，此时，
答：生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元．
18．（2026·山东济南·一模）济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元．
(1)求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元?
(2)若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元
(2)再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元
【分析】（1）设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，根据购进两种蜜桃的数量相等，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，根据且总费用不超过1100元，列出不等式求出的取值范围，设总利润为w元，列出一次函数解析式，求最值即可．
【详解】（1）解：设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，
由题意得
解得
经检验是所列方程的根，且符合题意．
∴
答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元．
（2）解：设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，
由题意得，
解得．
设总利润为w元，
由题意得
∵，
∴w随m增大而减小．
∴当时，，此时．
∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元．
19．（2026·山东滨州·一模）某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足．
(1)请写出水温与日照时间之间的关系式；
(2)在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围；
(3)求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量．
【答案】(1)
(2)
(3)水箱中的水共吸收热量焦耳
【分析】（1）根据水的初始温度为，平均每小时水温升高，即可列出解析式；
（2）因为水温达到时停止加热，所以先通过问题（1）的关系式求出对应值，再结合一天有效日照不超过小时，同时的初始值为，从而确定的实际取值范围；
（3）先计算小时水温升高的度数，再根据圆柱体积公式求出水箱中水的体积，最后结合每立方米水升温吸收的热量，求出总吸收热量即可．
【详解】（1）解：∵水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高，
∴；
（2）解：∵水温达到时系统会启动保护停止加热，
∴，故，
解得： ，
∵一天有效日照时间不超过小时，
∴，
又
的取值范围为：．
（3）解：当时，水温升高了，
水箱的容积为： ，
∵每立方米水升温可吸收焦耳热量，
∴当时，水箱中的水共吸收热量(焦耳)
20.（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．
(1)求A、B这两种书籍的进货单价．
(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．
(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？
【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元
(2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本
(3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，
（1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解；
（2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解；
（3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果．
【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得
，
解得，
答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元；
（2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本，
，
解：①得，，
解：②得，，
∴，
∴有三种方案：
1．A进110本，B进130本．
2．A进111本，B进129本．
3. A进112本, B进128本；
（3）解：设获利为w元，根据题意，得
，
∵，
∴获利w随着m的增大而减小，
当时，获利w最大，
当时，即，
选第一种方案：
获利（元），
所以最大获利为2350元．
等级
视力（）
频数
百分比
A
4
B
12
C
D
E
10
合计
40
分组/cm
频数
频率
4
14
11
2
合计
50
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
乙
平均数
中位数
众数
专业评委
92
92
m
大众评委
91
n
93
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
92
95
93
94
91
乙
93
93
92
93
93
丙
94
90
91
95
95
学生
平均数
中位数
众数
七年级
82
a
84
八年级
82
87
89
八、九年级所抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
八年级
86.6
86
九年级
86.6
88.5
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
166
169
169
171
172
173
173
173
174
174
臂展
161
162
164
166
164
165
167
169
169
170
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
175
176
177
177
178
179
180
180
181
183
臂展
169
167
173
173
179
170
177
174
176
185
平均数
中位数
众数
身高
175
173
臂展
170
169
学校
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
甲校
乙校
平均数
中位数
众数
395
395
397
425
续航里程得分
百公里能耗得分
智能化水平得分
甲车
88
85
90
乙车
80
90
100
组别
A
B
C
D
E
直径（）
统计量
平均数
中位数
众数
方差
农村
城区
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（甲，乙）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，丁）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
答对题数
5
6
8
10
人数
3
7
6
4
小宇小辉


统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
86
c
八年级
84
86
b
118.6
年级
七年级
八年级
平均数
200
190
中位数
195
众数
220
分拣快递数量（万件）
16
17
20
22
23
机器人台数（台）
1
1
5
2
1
众数/万件
中位数/万件
平均数万件
方差
型号
14和16
15
1.4
型号
20
20
4.2
类别
分数
人数
A
8
B
15
C
D
70分以下
5
年级
平均数
中位数
众数
八年级
89
90
a
九年级
89
b
92
甲
乙
丙
丁
甲
—
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
—
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
—
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
—
调查问卷
年龄_____岁
具体地址：_____
问题1：您乘坐免费公交车吗？_____
A．从不坐
B．偶尔坐
C．经常坐
问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价 _____
A．满意
B．不太满意
二
一
A
A
成绩（个/分钟）
60~100
101~130
131~160
161~190
人数
5
8
23
a
类别价格
A款湘绣
B款湘绣
进价（元／件）
800
1400
售价（元／件）
980
1680
型号
进价（元/辆）
售价（元/辆）
A
1000
B
1300
红
红
白
红
（红，红）
（红，白）
红
（红，红）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
第1张 第2张
A
B
C
A
A，B
A，C
B
B，A
B，C
C
C，A
C，B
七年级
1
2
4
八年级
2
2
5
6
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
87
八年级
85
89
男生
4
9
3
4
女生
a
5
b
2
平均数
众数
中位数
方差
男生
25.6
c
27
25.54
女生
24.8
24
d
22.76
分组（NTU）
A水池
2
5
7
5
5
B水池
3
2
a
4
7
水池
平均数
众数
中位数
方差
A
b
B
C
唱家乡民歌成绩（分）
讲家乡故事成绩（分）
做旅游方案成绩（分）
设计明信片成绩（分）
拍摄宣传片成绩（分）
五项成绩平均数（分）
方差
甲
92
94
87
92
90
91
乙
94
92
82
99
88
32.8
平均数
中位数
众数
星星人
92
93
拉布布
92
97
调查问卷
请根据实际情况回答问题，只能选择一项：
以下四项服务中，您最希望得到的是（ ）
A．人才公寓 B．技能培训 C．子女托管 D．交友联谊
时间
平均数
中位数
众数
学期初
2.8
2.9
2.8
学期末
3.5
3.6
3.6
车型
甲
乙
载人数
4
6
租金（元）
50
70