题号猜押02 山东中考数学6~9题（选择题）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测试+答案

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1．（2026·山东淄博·一模）实验室的试管架上有三支没有标签的试管，试管内分别盛有氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液．小明同学将酚酞溶液随机滴入两个试管中，则试管中溶液同时变红的概率是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数(酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色)，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液分别表示为：、、，
列表如下：
、、溶液中，、是碱性溶液，酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：，，共2种，
∴试管中溶液同时变红的概率为．
2．（2026·山东滨州·一模）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好三人均投中的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有8种等可能的结果，其中恰好只有两人投中的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中恰好三人均投中的结果有1种，
∴恰好三人均投中的概率．
3．（2026·山东德州·一模）小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（ ）
A．画树状图求概率
B．列表格求概率
C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为
D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为
【答案】D
【详解】解：∵抛掷图钉时，钉尖朝上与钉尖朝下不是等可能事件，
∴不能使用画树状图或列表法求概率，
∴选项、不正确，
∵抛掷次，试验次数过少，频率不稳定，不能用来估计概率，
∴选项不正确，
∵抛掷次，属于大量重复试验，可以用该频率估计钉尖朝上的概率，，
∴选项正确．
4．（2026·山东济宁·一模）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好都选到活动“玩转幻方”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先得到所有等可能的结果数，再找出符合“两人都选到玩转幻方”的结果数，利用概率公式计算即可，正确确定结果数量是解题关键．
【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A，B，C，
列表可得：
共有种等可能的结果，其中她们恰好都选到活动“玩转幻方”的情况有种，
故她们恰好都选到活动“玩转幻方”的概率为．
5．（2026·山东枣庄·一模）为深入贯彻落实“健康第一”教育理念，整体提升青少年学生身心健康水平，我市义务教育阶段学校将课间活动时间从原先的10分钟延长至15分钟．某学校在课间时间开展立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们都选择跳绳这一项活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列表，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可．
【详解】设立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动分别为，，，
共有种等可能结果，他们都选择跳绳这一项活动的结果有1种，
所以他们都选择跳绳这一项活动的概率是．
6．（2026·山东青岛·一模）某思政社团开展“讲古代著名思想家、政治家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界发展起到的巨大推进作用．现从这4位思想家、政治家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国思想家、政治家的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选取的2位都是中国思想家、政治家的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：用A、B、C、D分别表示孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2位都是中国思想家、政治家的结果数有6种，
∴选取的2位都是中国思想家、政治家的概率为．
7．（2026·山东聊城·一模）某地圆铃大枣是国家地理标志产品，某研学小组在此地大枣文化体验馆开展实践活动，工作人员准备了圆铃大枣文创书签、枣木雕刻挂件、阿胶枣文创徽章三款特色文创，每位组员可从中随机抽取一款作为纪念，抽到每一款的可能性均相等．则小明和小丽两位组员同时抽到圆铃大枣文创书签的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解．
【详解】解：用A，B，C分别代表“圆铃大枣文创书签”、“枣木雕刻挂件”、“阿胶枣文创徽章”，
画树状图如下：
共有9种情况，其中小明和小丽两位同学都抽到“圆铃大枣文创书签”的情况有1种，概率为．
8．（2026·山东潍坊·一模）抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（ ）
A．0B．1C．2D．5
【答案】B
【分析】先确定抛掷两枚骰子的所有等可能结果总数，再分别统计不同对应的符合条件的结果数量，比较各对应的概率大小，即可得到概率最大时的值．
【详解】解：∵抛掷两枚骰子，所有等可能的结果总数为种．
分别计算不同对应的概率：
当时，满足的结果共种，；
当时，满足的结果共种，；
当时，满足的结果共种，；
当时，满足的结果共种，；
当时，满足的结果共种，；
当时，满足的结果共种，；
∵，
∴取得最大值时对应的值为．
9．（2026·山东滨州·一模）“泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点．若小辉从这四个景点中随机选择1个景点游览，则青岛市景点被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题为简单概率计算问题，先确定所有等可能的结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可，四个景点中仅崂山是青岛市景点．
【详解】解：∵从四个景点中随机选择1个，所有等可能的结果共种，其中属于青岛市的景点只有个，即符合条件的结果共种，
∴所求概率 ．
10．（2026·山东济南·一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：四张卡片分别记为：文、明、自、由，从四张中随机抽取张，
所有等可能的组合为：（文，明）、（文，自）、（文，由）、（明，自）、（明，由）、（自，由），
一共种等可能结果， 其中恰好能组成“文明”的结果只有种，
根据概率公式：．
考点2 方程与方程组的应用
1．（2026·山东临沂·一模）某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据总体积和题给热传递等量关系列方程组，求解后计算总接水时间即可得到结果．
【详解】解：设小明接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意列方程组：
整理第二个方程得 ，即 ，变形得 ，
将代入第一个方程：
化简得：，
解得 ，
将代入，得，
∴方程组的解为，
总接水时间为 ．
故选：A．
2．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】解：

若时，方程化为，无解，故；
当时，
∵ 方程的根在和之间
∴
∴，
∵为正数，
∴
∴ ．
3．（2026·山东聊城·一模）下列数中既满足不等式组，又是方程的解的是（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【分析】先解不等式组得到的取值范围，再解一元二次方程得到方程的根，筛选出同时满足两个条件的解即可得到答案．
【详解】解：解不等式组 ，
解①，得，
解②，得；
∴ 不等式组的解集为 ．
∵，
∴，
解得 ，．
∵ 不满足 ，满足 ，
∴ 符合条件的解是．
4．（2026·山东聊城·一模）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．4B．0C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，先将原方程整理为一般形式，计算两根的和与积，对所求分式通分变形，代入变形后的式子即可得到结果．
【详解】解：整理原方程得 ，
∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴，
则
5．（2026·山东青岛·一模）第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元可得方程，根据购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同可得方程，据此可得答案．
【详解】解：设1双滑雪鞋的单价是元，1套滑雪杖的单价是元．
由题意得，．
6．（2026·山东德州·一模）质量分数为的稀硫酸是化学课堂上的常用试剂，该试剂可利用质量分数为的浓硫酸添加蒸馏水稀释而成．现要把的上述浓硫酸稀释为的稀硫酸，若设需要加入的蒸馏水，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】稀释前后溶质质量不变，根据稀释后的质量分数列方程即可．
【详解】解：根据题意可得．
7．（2026·山东济宁·一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的实际应用，理清连续两次降价后价格的变化关系是解题关键，根据降价后价格降价前价格(降价百分率)推导即可．
【详解】解：∵药品原价为144元，平均每次降价的百分率为，
∴第一次降价后的价格为元，
∵第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，
∴第二次降价后的价格为元，
又∵两次降价后最终售价为121元，
∴可列方程．
8．（2026·山东菏泽·一模）某商场计划从厂家购进甲、乙、丙三种型号的电冰箱共80台，其中甲种电冰箱的台数是丙种的2倍，甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价分别是每台1200元、1600元、2000元，要求总金额不超过119000元．则商场至少购进丙种电冰箱的台数为（ ）
A．20台B．21台C．22台D．23台
【答案】D
【分析】设商场购进丙种电冰箱台，根据数量关系表示出甲、乙两种电冰箱的台数，再根据总金额的限制列出不等式，求解后取符合要求的最小正整数即可．
【详解】解：设商场购进丙种电冰箱台，则购进甲种电冰箱台，购进乙种电冰箱台，
根据题意，得，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为，
即商场至少购进丙种电冰箱23台．
9．（2026·山东枣庄·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意找到两个等量关系，分别列出方程即可得到正确结果．
【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱，
∵甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50，
∴甲原有钱加上乙钱的一半等于50，得方程 ，
∵乙得到甲所有钱的后，乙共有钱50，
∴乙原有钱加上甲钱的等于50，得方程 ，
因此可得方程组 ．
10．（2026·山东日照·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出方程组即可．
【详解】解：设木条长尺，绳子长尺．
∵用整根绳子量木条，绳子剩余尺，说明绳子长度比木条长多尺，
∴可得方程，
∵将绳子对折后量木条，木条剩余1尺，说明木条长度比对折后的绳子长度多1尺，对折后绳子长度为 ，
∴可得方程 ．
∴可列方程组．
考点3 图形的性质
1．（2026·山东淄博·一模）如图，上有两点M和N，若点N在圆上匀速运动一周，那么弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的（ ）
A．①B．③C．①或③D．②或④
【答案】C
【分析】观察图像可知，N点的运动轨迹可以分为顺时针运动、逆时针运动两种情况，再结合运动过程中弦的长度变化进行分析，即可解题．
【详解】解：由图中可知：长度y是一开始就存在的，如果点N顺时针运动，那么长度y将逐渐变大；当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，则运动图象为①；
如果点N逆时针运动，那么长度y将逐渐变小；当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，则运动图象为③；
弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的①或③．
2．（2026·山东青岛·一模）如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
3．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得出，再根据线段垂直平分线的性质，得出，进一步得出，最后根据角的和差关系，进行解答即可．
【详解】解：，，
．
由题意可知，垂直平分，
，
，
．
4．（2026·山东青岛·一模）如图，为的直径，弦交于，交于，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，利用圆周角定理求出和的度数，进而求出，最后利用等腰三角形性质求解．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
．
5．（2026·山东济南·一模）如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由作图步骤可知是线段的垂直平分线，平分，因此由正方形的性质可得四边形是矩形，利用勾股定理求得，然后在上截取，连接、，根据角平分线的定义，利用可证，推出，，然后设，在和中，利用勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，边长为，
∴， ，
由步骤①可知，是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
由步骤②可知，平分，即，
如图，在上截取，连接、，
在和中，
AB=AG∠BAM=∠GAMAM=AM，
，
，，
，
设，则，，
在中，，
∴，
在 中，，
∴，
，
解得，
．
6．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．1.6D．2
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为，的中点，，
∴，
∵，
∵D为的中点，，
∴，
∴．
7．（2026·山东潍坊·一模）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理可得且，结合为中点可判断A；由及为中点，利用平行线分线段成比例推论可判断B；由，利用平行线性质可判断C；根据等腰三角形三线合一性质及已知可判断D．
【详解】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，，
点是边的中点，
，
，故A正确；
，即， 点是边的中点，
∴，则，故B正确；
点、、分别是边、、的中点，
是的中位线， 是的中位线，
， ，
， ，
，故C正确；
点是边的中点，
是的中线，
若，则也是的角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”性质，此时应有， 但这与已知条件矛盾，
，故D不正确．
8．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，
解得
即的长为．
9．（2026·山东潍坊·一模）如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作，根据题意得出是等边三角形，求出螺纹间距，再求出螺纹深度，即可得解．
【详解】解：如图，作，
由题意可知，，，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
，
，即螺纹间距为，
螺纹深度，
该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是．
10．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，
∵的坐标为，
设直线与轴，轴分别交于，
当时，；当时，，
解得；
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵恒成立，且根据垂线段最短，
∴此时，值最小，则的值也最小，
∴切线长的最小值为．
考点4 函数及其应用
1．（2026·山东济南·一模）若点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据判断函数图象所在象限与增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，即可比较函数值大小 ．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
∵，，，
∴点在第二象限，点，在第四象限，
∴，，，
∵，第四象限内随增大而增大，
∴，
∴ ．
2．（2026·山东潍坊·一模）在平面直角坐标系中，点是随着t变化而变化的一个动点，则动点M构成的图象不可能经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先设点M的横、纵坐标，消去参数t得到动点轨迹的一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断直线经过的象限，即可得到答案.
【详解】解：设动点的坐标为，根据题意得
由得 ，将代入得
即动点构成的图象是一次函数的图象.
对于一次函数，
，，
该一次函数图象经过第一象限、第二象限、第四象限，不经过第三象限，
因此动点构成的图象不可能经过第三象限.
3．（2026·山东聊城·一模）若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象位置与增减性，再根据各点横坐标范围比较函数值大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，
且在每个象限内，随的增大而减小，
∵点横坐标，
∴点在第三象限，得，
∵点、横坐标，，
∴、都在第一象限，得，，
又∵，且第一象限内随增大而减小，
∴.
综上，，故选C．
4．（2026·山东德州·一模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将A，B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的表达式，再根据确定的范围并比较大小即可．
【详解】解：∵ 点，在抛物线上，
∴ 将代入解析式得，
将代入解析式得，
∵ ，
∴ 对，不等式同乘得，三边加得；对，三边加得，
∴，即．
5．（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答．
【详解】解：∵点在上，
∴，
∴反比例函数为．
∵点在上，
∴，
∵点在上，
∴．
∵，
∴
即，
当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得，
∴；
当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得，
∴，该不等式恒成立，即都满足条件．
综上，的取值范围是或．
6．（2026·山东济宁·一模）如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，，从而得到线段的中点，根据点在双曲线上得到，再结合的面积为求出的值即可得解．
【详解】解：线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，
可设点，，
则线段的中点，
双曲线恰好经过点，
，
的面积为，
，即，
，
，选项符合题意．
7．（2026·山东济宁·一模）如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解．
【详解】解：∵菱形的面积为8，
∴，
∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，
∴，
∴，
∵反比例函数图象分布在二、四象限，
∴，
∴，
∴该反比例函数的解析式为．
8．（2026·山东滨州·一模）关于抛物线（m是常数），下列说法正确的是（ ）
A．当时，抛物线的对称轴是
B．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则
C．若点在抛物线上，则
D．无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先将抛物线配方为顶点式，再逐个验证选项，用到二次函数对称轴、一元二次方程根的判别式、二次函数增减性、平行线间距离等知识点．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
对选项A∵当时，抛物线对称轴为直线
∴A错误．
对选项B∵抛物线与轴只有一个公共点
∴一元二次方程的判别式
令，解得
∴B错误．
对选项C∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大
∵点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∴
∴C错误．
对选项D∵抛物线顶点坐标为，
所有顶点都在直线上
∵平行于直线
∵设与轴的交点分别为
当时，；当时，
∴，，则
∴
又∵
∴是等腰直角三角形
∵经过原点，如图，过点作于点，则
∴到的距离为，
即抛物线的顶点到直线的距离都等于
∴无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于
∴D正确．
9．（2026·山东青岛·一模）某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，已知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部分图象上，标出的点为：，，，．若分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数部分图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论，当二次函数的图象过点时，为定值；当二次函数的图象不经过点时，使用待定系数法求出、、的值，并求出的值，比较后得出结论．
【详解】解：①当二次函数的图象过点时，
将点代入，得；
②二次函数的图象不经过点时，
将点， ，代入，得：
，
解得，
∴；
∵，
∴的最大值为．
10．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当时，有， 解得，
∴点的坐标为．
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为．
当时，有， 解得，
．
同理，可得出：，，，……，
的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…，
的横坐标为（为正整数），
∴点的横坐标是．
1．（2026·山东威海·模拟预测）从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题用古典概型计算概率，先列举出从四人中任选两人的所有等可能结果，再找出甲被选中的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：∵从甲、乙、丙、丁四人中任选两人，所有等可能的结果为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，
其中甲被选中的结果有甲乙、甲丙、甲丁，共3种，
∴甲被选中的概率．
2．（2026·山东济南·一模）2026年央视春晚创新推出智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，进而得到所有等可能结果数与符合条件的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：将三轮抢红包分别记为1、2、3，可画出树状图如下，
由树状图可知，所有等可能的结果总数为9种，小明和小红参与同一轮的情况共3种，
∴所求概率．
3．（2026·山东滨州·一模）“以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先确定四个历史事件发生在新中国成立以后的事件，再通过列表法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例．
【详解】解：设鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝分别用、、、表示，其中新中国成立以后的事件为（土地运动）、（抗美援朝）．
列表如下：
由表可知，总共有种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：、，共种．
∴．
4．（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率
【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
【详解】解：由图可得该试验的概率在之间
对于A，骰子上共有6个数，出现6点的概率为 ，故A选项错误；
对于B，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故B选项错误；
对于C，任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故C选项错误；
对于D，摸到黄球的概率为 ，故D选项正确.
5．（2026·山东临沂·模拟预测）一次山东行，一生山东情！好客山东，欢迎您！如图，一个圆盘被平均分成份，分别标上“好”“客”“山”“东”四个字，转动指针一次，待指针静止后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割线上，则重新转动指针），通过转动两次指针后，记录汉字可以组成词语“山东”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单随机概率的计算，掌握用列表或画树状图等方法列出简单随机事件的所有可能的结果，找出指定随机事件发生的所有可能的结果，并计算其概率．将实际问题抽象成数学模型，利用画树状图法列举出事件发生的所有可能，从而找到可以组成词语“山东”的事件，计算出概率即可．
【详解】解：根据题意画树状图如图所示：
由树状图可知，一共有16种可能的结果，其中通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“山东”的有2种，
∴通过转动两次指针后，指针所指区域的汉字可以组成词语“山东”的概率为 ．
故选：B．
6．（2026·山东枣庄·一模）已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】D
【分析】由一元二次方程解的定义，推出的值，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴
7．（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可．
【详解】解：设方程两根为，，
∵方程两根互为相反数，
∴，
对于一元二次方程，由根与系数的关系得：，
∴，
解得：，即，
∵要使方程有两个实根，
∴判别式，即，
代入得：，
∴，即，
∵，，
∴．
8．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间．
【详解】解： 由表格可知：当时，，
当时，，
方程的一个解的取值范围为．
9．（2026·山东滨州·一模）《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（ ）
A．设有x辆车，则可列方程为
B．设有y人，则可列方程为
C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为
D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为
【答案】C
【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错.
【详解】解：设有辆车，人，
∵两人坐一辆车，九人步行，总人数为坐车人数加步行人数，
∴，
∵三人坐一辆车，空出辆车，实际用车为辆，总人数等于实际用车承载的人数，
∴，
因此可列方程组为．
10．（2026·山东青岛·一模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】解：连接，则，，
∵是的直径，
∴，
∴.
11．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解．
【详解】解：如图，设相交于点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
12．（2026·山东日照·一模）如图，在中，E是的中点，，点D在上，连接交于点，其中，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作，求出，取的中点，连接，易得，进而得到，，求出，，根据，推出，勾股定理求出，设，根据，列出方程求出的值，即可．
【详解】解：作，
∵，
∴，
∴，
取的中点，连接，
∵E是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．（2026·山东济宁·一模）已知在中，，点，分别是，的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．

14．（2026·山东德州·一模）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．甲、乙B．乙、丙C．甲、丙D．甲、乙、丙
【答案】D
【分析】连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明甲、乙同学可以测出阴影部分的面积；过点O作于点G，连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明丙同学可以测出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∵阴影部分的面积为：，
∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故甲同学符合题意；
∵，
∴阴影部分的面积为：，
∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故乙同学符合题意；
如图，过点O作于点G，连接，，
则，，
根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积为：，
∴测出和的长，即可求出阴影部分的面积，故丙同学符合题意；
综上，可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是甲、乙、丙．
15．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ）
A．55°B．65°C．70°D．78°
【答案】C
【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
∵，
．
，是⊙O的切线，
，
，
．
故选：C．
16．（2026·山东德州·一模）已知一次函数的图像经过点．则下列各点可能在该函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用已知点得到k与b的关系式，再将各选项点坐标代入函数解析式，判断求出的是否满足即可解答．
【详解】解：∵一次函数的图像经过点，
∴将代入解析式得，即，
∴函数解析式为；
A．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上；
B．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上；
C．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上；
D．将代入解析式，得，解得，满足，故该点可能在函数图像上．
17．（2026·山东济宁·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
将代入正比例函数得：，解得，
∴，
将点代入反比例函数得：．
18．（2026·山东枣庄·一模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断．
【详解】解：反比例函数的图象在点和之间，
，即，
观察四个选项，只有选项D符合题意．
19．（2026·山东青岛·一模）爱美之心人皆有之，现在许多年轻人因为生活条件好了，代步工具多了，身体肥胖成为烦恼，随着科技的进步，我国的减肥瘦身行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种减肥新药，在临床人体试验中，测得实验人员服药后血液中药物浓度（微克／毫升）与服药时间（小时）之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（ ）．
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】D
【分析】使用待定系数法求出不同时段的函数解析式，并计算时，对应的的值，相减得出持续时间．
【详解】解：由题意和图象可知，当时，与成正比例；当时，与成反比例．
当时，设，
将点代入，得，
∴当时，则，
将代入，得，
当时，设，
将点代入，得，
∴当时，设，
将代入，得，
结合图象可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（小时）．
20．（2026·山东菏泽·一模）下表记录了二次函数中两个变量x与y的3组对应值，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用y值相等的两点确定二次函数对称轴，再求出二次函数解析式，结合给定x范围，根据交点个数判断n的取值范围即可．
【详解】解：∵和时值相等，两点关于对称轴对称，
∴对称轴，
由对称轴公式得，即，
∴二次函数可写为，
将代入得，
解得，
∴，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点在范围内，
当时，，当时，，
∵直线与该二次函数图象在有两个公共点，
∴根据图象得，n的取值范围是．
小红小丽
A
B
C
A
B
C


x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
x
…
1
5
…
y
…
m
3
m
…