期末复习专题02 有理数的运算16大常考题型(知识梳理+题型精讲) 2025-2026学年人教版七年级数学上册 习题+答案

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第二章有理数的运算
【知识点 1：有理数加法的运算律】
1.加法的交换律： a+b=b+a
2.加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
【知识点 2：有理数的加法法则】
1.同号两数相加，取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。
2.异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，和取绝对值较大加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，即用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.一个数与0相加，仍得这个数。
【知识点 3：有理数的减法法则】
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)
【知识点4：有理数乘法的运算律】
1.乘法的交换律: ab= ba
2.乘法的结合律: (ab)c=a(bc)
3.乘法的分配律: a(b+c)= ab+ ac (常用于简便运算)
【知识点5：有理数的乘法法则】
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。
2.任何数与零相乘，都得零；
3.几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。奇数个负数为负，偶数个负数为正。
4.乘积是1的两个数互为倒数。
【知识点6：有理数除法法则】
1.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即 a0无意义。
2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。
3.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
【知识点7：有理数乘方的法则】
1.正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0.
2.负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
【知识点8：乘方的定义】
1.求n 个相同乘数的积的运算，叫做乘方；
2.乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
3. a²是重要的非负数，即 a2≥0;若 a2+∣b∣=0←a=O¯,b=0¯; 0.12=0.01
4、据规律 12=1底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动两位。 102=100
【知识点9：科学记数法】
把一个大于10的数记成a×10"的形式，其中 a大于或等于1，且a小于10，n是正整数)，这种记数法叫科学记数法。
【知识点10：近似数的精确位】
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到那一位。
【知识点11：混合运算法则】
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
4.注意：不省过程，不跳步骤。
【知识点12：特殊值法】
是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法，但不能用于证明。常用于填空，选择。
题型一 有理数的四则混合运算（共4小题）
1．（25-26七年级上·四川达州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘方、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
（1）先算乘方，然后按照有理数混合运算法则计算即可；
（2）先算乘方，然后运用有理数乘法运算律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
（1）利用乘法分配律展开计算即可；
（2）先计算乘方，再计算括号里的加法，再计算乘除法，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
（1）先化简多重符号，再利用加法结合律求解即可；
（2）先算乘方和括号内的运算，再算乘除法，最后算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
根据有理数加减运算的运算法则进行计算；
根据有理数混合运算的运算法则进行计算．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
题型二 有理数四则混合运算的实际应用（共4小题）
5．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室天府中学运动会三分钟集体跳绳项目于2025年11月6日上午举行，A班是第一个参加跳绳的班级，跳绳个数是180个，后面依次是B班、C班、D班、E班、F班参加．下表依次记录的是初一年级后面比赛的5个班跳绳数量（比前一个班多的个数记为“”，比前一个班少的个数记为“”）．请根据表格中的数据回答下列问题：
(1)哪一个班级跳绳个数最多？最多是多少？
(2)为了鼓励同学们坚持锻炼身体，年级决定对参加集体跳绳的班级实行如下奖励方案：只要参加集体跳绳的班级，年级每个班都奖励50元．以三分钟跳绳190个为标准，超出一个再奖励2元，低于一个则扣3元．年级准备用320元来奖励以上这六个参赛班级，这笔钱够吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)F班跳绳个数最多，最多是205个
(2)这笔钱够用，理由见解析
【分析】本题主要考查了正负数的应用，结合题意理解正负数的含义是解决本题的关键．
（1）分别依题意求出班的跳绳个数，再进行比较即可；
（2）计算出六个班共获得的奖励金额，再比较大小即可．
【详解】（1）解：A班：180个，
B班：（个）
C班：（个）
D班：（个）
E班：（个）
F班：（个），
则F班跳绳个数最多，最多是205个；
（2）这笔钱够用，理由如下：
（元）
，
这笔钱够用．
6．（25-26七年级上·四川达州·期中）有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下：
(1)最重的一箱比最轻的一箱重 __________千克；
(2)求这20箱苹果的总质量；
(3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？
【答案】(1)1.1
(2)301.4千克
(3)1507元
【分析】本题考查正数与负数的实际应用，涉及重量差计算、总质量求和以及盈利计算，理解正负数的意义是解题的关键．
（1）与标准质量的差中，最大值减去最小值即为所求；
（2）20箱的标准重量加上记录数据即为所求；
（3）总盈利等于销售总收入减去总成本，即为所求．
【详解】（1）解：（千克），
即最重的一箱比最轻的一箱重1.1千克，
故答案为：1.1；
（2）解：
（千克），
答：这20箱苹果的总质量为301.4千克；
（3）解：
（元）
答：出售这20箱苹果能盈利1507元．
7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）：，，，，，．
(1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？
(2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油0.15升，若汽油价格为8.13元/升，该检修小组当天从出发到收工的油费是 元．
(3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电10度，且使用充电桩充电的价格是每度电0.8元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）．
【答案】(1)A地东2千米处
(2)48.78
(3)45.6
【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数四则运算的实际应用．
（1）把所有的行驶记录相加，然后根据正负数的意义解答；
（2）用所有行驶记录的绝对值的和乘以，可得耗油量，再乘以单价可得费用；
（3）由行驶耗电度，再乘以单价可得新能源汽车的费用，再利用油车的费用减去新能源汽车的费用可得答案．
【详解】（1）解：
，
答：收工时在A地东边处；
（2）解：
，
（升）．
（元），
答：该检修小组该天的油费是元；
故答案为：48.78
（3）解：∵该新能源汽车每行驶耗电10度，
∴行驶耗电（度），
∴该汽车该天的耗电费用为（元），
∴比使用燃油汽车省（元）．
故答案为：45.6
8．（25-26七年级上·福建泉州·期中）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况：
(1)这周共加工了______件小麦收割机配件．
(2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件．
(3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入．
【答案】(1)2020
(2)110
(3)20300元
【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）先计算这5天超出或不足标准的总量，再加上这5天一共的标准量即可；
（2）直接用表格中最大的数减去最小的数计算即可；
（3）结合（1）中所求列式计算即可．
【详解】（1）解：
件，
即这周共加工了2020件小麦收割机配件．
故答案为：2020．
（2）（件），
即这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了110件．
故答案为：110．
（3）元，
即该车间这周的总收入为20300元．
题型三 有理数运算中简便计算（共4小题）
9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）简算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（含逆运算）是解题的关键．
（1）将998转化为，利用乘法分配律简化计算；
（2）提取公因数23，利用乘法分配律的逆运算，先计算括号内的分数运算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
10．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键．
（1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可；
（2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
.
11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：
【答案】
【分析】本题考查了乘法分配律．通过将除法转化为乘法，并运用乘法分配律，简化计算过程．
【详解】解：原式
12．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）计算：
(1)； （用简便方法计算）
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解决问题的关键．
（1）用乘法分配律进行简便计算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型四 省略加法和括号的形式（共4小题）
13．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键．
直接写成省略加号的和的形式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
14．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）（1）把下面式子写成省略括号和加号的形式
（2）计算．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查有理数的加减法，把式子写成省略括号和加号的形式，掌握算理的解决问题的关键．
（1）根据减法法则将减法转化为加法，然后写成省略括号和加号的形式；
（2）将同号两数先相加，再进行计算即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2），
，
，
．
15．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来．
【答案】；读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再用两种方式读出即可．
【详解】解：
读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”．
16．（24-25七年级上·广西北海·期末）把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是 ．
【答案】﹣8﹣5+2．
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【详解】原式＝﹣8﹣5+2，
故答案为﹣8﹣5+2．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
题型五 倒数（共4小题）
17．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，积是一个负数，解决下列问题
(1)_____；_____；
(2)代数式的值与b、d的值无关，你认为呢？试说明理由．
【答案】(1)0，1
(2)无关，理由见解析
【分析】题目主要考查相反数的定义、倒数的定义，求代数式的值，熟练掌握这些知识点是解题关键.
（1）互为相反数的两个数相加得0，互为倒数的两数相乘得1.
（2）利用（或逆用）乘法对加法的分配律.
【详解】（1）解：因为与互为相反数，与互为倒数，
所以，.
（2）无关，理由如下：
原式
所以，代数式的值与b、d的值无关.
18．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：．
小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为．
请你根据小丽的方法，计算：．
【答案】
【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解．
【详解】解：
；
∵与互为倒数，且，
∴，
∴．
19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路：
(1)上述三种思路中，不正确的是思路______；
(2)请选择一种正确的思路计算：．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的混合运算顺序解答即可；
（2）利用思路2或3的计算方法解答即可．
【详解】（1）解：用分别除以，，，再把所得结果相加是错误的，
故答案为：1；
（2）解：思路2：
；
思路3：原式的倒数为：
，
故．
20．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】
已知有理数（不为0和1），我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：5的倒数差是，的倒数差是．
【理解运用】
若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推．
（1）分别求出，，的值；
（2）的值为__________；（直接写出结果）
【拓展提升】
设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，，第次变换后得到数组．
（3）若数组确定为，求的值．
【答案】（1），，；（2）；（3）
【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，理解差倒数的计算方法，掌握有理数的混合运算，代入求值是解题的关键．
（1）根据差倒数的计算方法即可求解；
（2）根据差倒数的计算方法可得，，，代入计算即可求解；
（3）根据题意，分别算出的值，找出规律，代入计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，；
（2）根据题意，，，，
∴从开始，三个一组，为一个循环，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，，，，
∴三个一组，为一个循环，
∴，
∵，
∴，，，，
∴三个一组，为一个循环，
∴，
∵，
∴，，，，
∴三个一组，为一个循环，
∴，
∴
．
题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共4小题）
21．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的有（ ）个
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】本题考查数轴，熟练掌握数轴的定义是关键；由数轴得，，进而可得，据此即可判断①②； 进而可得，，进而判断③④即可．
【详解】解：，，
，故①正确；
，，，
，故②正确；
，，
，，，
，，故③④正确．
故选：A．
22．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①；②；③；④．上述结论中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的乘法计算，有理数的加减法计算，根据数轴可得，据此根据有理数的乘法和加减法法则求解判断即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴，，
∴①错误，②正确，③错误，④正确，
∴正确的有2个，
故选：B．
23．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有理数、、在数轴上的位置如图．
(1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0；
(2)比较的大小．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，熟练掌握数轴上的数右边的比左边的大是解题的关键：
（1）根据点的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可；
（2）根据点的位置，判断大小即可．
【详解】（1）解：由图可知：，，
∴，，；
（2）∵，，
∴；
故．
24．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．
(1)用“>”或“