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专题02 有理数的运算（考点串讲，4个常考点+4种重难点题型+6个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点课件（人教版2024）
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这是一份专题02 有理数的运算（考点串讲，4个常考点+4种重难点题型+6个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点课件（人教版2024），共60页。PPT课件主要包含了易错易混，题型剖析，考点透视，押题预测，－2或0，解－1，解－26，考点3科学记数法，×107，60×107等内容，欢迎下载使用。
四大常考点：知识梳理+针对训练
四大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三
精选8道期中真题对应考点练
考点1有理数的运算【例1】 【新视角·新定义题2024枣庄山亭区期末】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b ，规定 a ※ b ＝ ab ＋ b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则(－4)※2的值为( A )
【变式1-1】 [2024岳阳云溪区期中]设 a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是绝对值最小的有理数， d 是倒数等于它本身的有理数，则 ad －( b ＋ c )2 024的值为 .
考点2有理数的运算的应用【例2】 【情境题·生活应用2024潮州潮安区期末】当温度每上升1 ℃时，一段长15 mm的某种金属丝伸长0.002 mm.若把这 段金属丝从15 ℃加热到60 ℃，那么这段金属丝在60 ℃时 的长度是 mm.
【变式2-1】[2024衡水期末]气象部门可以通过高性能计算机模拟大气运动，从而预测天气情况.据预测，某地区7天后有集中性降水，因此水坝管理方根据预测的降水量决定在降水前进行安全泄洪，并连续泄洪7天.记设防水位(安全水位)为0 m，警戒水位为4.5 m，泄洪速度为0.5 m/天，目前水位为2.4 m.
(1)求连续泄洪7天后的水位.
解： (1)泄洪速度为0.5 m/天，则连续泄洪7天后的水位＝2.4－7×0.5＝－1.1(m).
(2)根据预测，此次降水过程中，水坝水位会以1.2 m/ 天的速度上涨，若连续降水5天，水位是否会超过 警戒水位？
解： (2)根据预测，此次降水过程中，水坝水位会以1.2 m/天的速度上涨，若连续降水5天，水位＝－1.1＋ 1.2×5＝4.9(m)＞4.5 m，故会超过警戒水位.
【变式2-2】某摩托车厂家计划本周每天生产250辆摩托车，由于工厂实行轮休，每天上班人数不一定相等，故实际每天生产的摩托车数量也不一样.实际每天生产与计划相比情况如下 表(超产为正，减产为负，单位：辆)：
(1)星期六生产了多少辆摩托车？
解： (1)250－9＝241(辆).答：星期六生产了241辆摩托车.
(2)本周实际总产量与计划相比是增加了还是减少了？增 加了或减少了多少？产量最多的一天比产量最少的一 天多生产了多少辆？
解： (2)－5＋7－3＋4＋10－9－25＝－21(辆)，所以本周实际总产量与计划相比减少了，减少了21辆.产量最多的一天为星期五，产量最少的一天为星期日，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了(＋10) －(－25)＝35(辆).
【例3】 [2024邢台期末]下面是琳琳作业中的一道题目：
“ ”处都是0但发生了破损，琳琳查阅后发现本题答案 为1，则破损处“0”的个数为( B )
【变式3-1】 [2024达州]大米是我国居民最重要的主食之一，与此同 时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳 定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为( B )
【变式3-2】【2024武汉洪山区模拟立德树人低碳环保】为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，到2030年我国新型储能装机容量达到3 000万千瓦以上，其中数据3 000万用科学记数法表示为 .
考点4近似数【例4】 [2024邯郸永年区期中]下列说法正确的是( B )
【变式4-1】 [2024秦皇岛海港区月考]将一个三位小数四舍五入保留 两位小数后是4.00.则这个三位小数最小是( B )
【变式4-2】 [2024烟台蓬莱区期末]用四舍五入法对数据35 953 760取近似数，要求精确到十万位，则这个近似数用科学记数 法可以表示为 .
题型一：有理数的加减运算技巧
例5计算：23＋(－17)＋6＋(－22).
解： 原式＝(23＋6)＋(－17－22)＝29＋(－39)＝－10.
技巧2凑整法【例6】 计算：(－3.1)－(－4.5)＋(＋4.4)－(＋1.3)＋(－2.5).
解： 原式＝－3.1＋4.5＋4.4－1.3－2.5＝(4.4－3.1－1.3)＋(4.5－2.5)＝2.
技巧3组合法【例7】计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2 023＋2 024－ 2 025－2 026.
解： 原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋…＋(2 023－2 025) ＋(2 024－2 026)＝－2×1 013＝－2 026.
题型二：有理数的四则混合运算技巧
【例13】 点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数是 a 和 b ，下列判断中，正确的是( B )
【变式13-1】 有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示.(1)试确定 a ， b ， ab ， a ＋ b 的符号；
解： (1) a ＞0， b ＜0， ab ＜0， a ＋ b ＜0.
【变式13-2】 [2024衡水期末]问题探索：将一根木棒放在数轴(单位长 度为1 cm)上，如图，木棒左端与数轴上的点 A 重合，右 端与数轴上的点 B 重合.
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到 点 B 时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木 棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 A 时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这 根木棒的长为 cm.
(2)图中点 A 所表示的数是 ，点 B 所表示的数是 .实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具 解决下列问题：(3)一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”请问妙妙现在多少岁了？
解： 当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为“－35岁”，所以奶奶与妙妙的年龄差为[115－(－35)]÷3＝50(岁)，所以妙妙现在的年龄为115－50－50＝15(岁).
【变式14-1】已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，若｜ a － b ｜＝ a － b ，则 ab ＝ .
点拨：因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，所以 a ＝±2， b ＝±5.
因为｜ a － b ｜＝ a － b ，易知 a ≠ b ，所以 a － b ＞0， 所以 a ＞ b .
所以 a ＝±2， b ＝－5.
所以 ab ＝2×(－5)＝－10或 ab ＝－2×(－5)＝10.
【变式14-2】 【新视角·新定义题】有一种能得到数 a 符号的运算 sgn( a )，当 a ＞0时，sgn( a )＝1；当 a ＝0时，sgn( a )＝ 0；当 a ＜0时，sgn( a )＝－1.例如，sgn(＋3)＝1，sgn(－5)＝－1.
(1)计算：sgn(－3)＝ ；
(2)如图，数轴上点 A ， B 表示的数分别为－2，3，点 P 在数轴上移动，点 P 表示的数为 x ，求sgn( x ＋2)＋ sgn( x －3)的值.
根据题意，需要分情况讨论，当 x ＜－2时， x ＋2＜0， x －3＜0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝(－1)＋(－1)＝－2；
当 x ＝－2时， x ＋2＝－2＋2＝0， x －3＝－2－3＝－5＜0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝0＋(－1)＝－1；
当－2＜ x ＜3时， x ＋2＞0， x －3＜0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋(－1)＝0；
当 x ＝3时， x ＋2＝3＋2＝5＞0， x －3＝3－3＝0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋0＝1；
当 x ＞3时， x ＋2＞0， x －3＞0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋1＝2.
综上所述，当 x ＜－2时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝－2；当 x ＝－2时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝－1；
当－2＜ x ＜3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝0；
当 x ＝3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1；
当 x ＞3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝2.
错解剖析：乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序计算.
错解剖析：有理数的除法没有运算律，只有将除法转换成乘法才能运用乘法的运算律.若不能转化为乘法，则按常规运算顺序和法则计算.
错解剖析：在幂的表示中，若底数是负数，则必须用括号括起来；若没有带括号，则负号不属于底数，而属于幂.
易错点二 本章常见漏解情况类型1 数的正负性不确定而漏解例 4. 已知|a|=12，|b|=7，则a+b= .
正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12.因为|b|=7，所以b=7或b=-7.当a=12，b=7时，a+b=19；当a=-12，b=-7时，a+b=-19；当a=12，b=-7时，a+b=5；当 a=-12，b=7 时，a+b=-5.故答案为19，-19，5或-5.
错解剖析：由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论.
易错点二 本章常见漏解情况类型2 数轴上点的位置不确定而漏解例 5.在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 .
正解：当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时，-3+10=7；当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时，-3-10=-13.故答案为7 或-13.
错解剖析：在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑.
易错点三 建立有理数运算模型解决实际问题时列式错误类型2 数轴上点的位置不确定而漏解例 6.某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7. 若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？
正解：（2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7|=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7= 66（km），66×0.06 =3.96（L）即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L.
错解剖析:出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向
1.（2023秋•定州市期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为( ____ )×107 ×108 ×106 D.21.5×106
【解析】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．故选：A．
3.（2023秋•宁津县期中）知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，若a,b互为相反数__________(1)在数轴上标出c相反数的对应点的位置；(2)判断下列各式与0的大小：①b+c ____ 0；②a-b ____ 0；③bc ____ 0；(3)化简式子：|b|-|a+b|+|c-b|．
【解析】解：(1)在数轴上c的相反数所在的位置如图所示；(2)由a,b,c在数轴上对应点的位置可知，
c＜b＜0＜a,且a+b=0，∴①b+c＜0，②a-b＞0，③bc＞0，故答案为：＜、＞、＞；(3)原式=-b-0+b-c=-c.
4.（2023秋•南川区期中）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下(单位：km)：+3，+1，-2，+9，-8，+2，-4，+5，-3，+2．(1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程；(2)若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月(按30天算)的汽油费用．
【解析】解：(1)3+1-2+9-8+2-4+5-3+2=5(km)20×10+5=205(km)，答：小明家这10天轿车行驶的路程为205km.
(2)205×3÷100×7×8=344.4(元)，答：估计小明家一个月(按30天算)的汽油费用为344.4元．
5.（2023秋•天河区校级期中）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为-10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.________________________(1)点A到点C的距离为 ____ ；(2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；(3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【解析】解：(1)AC=15-(-10)=25，∴点A到点C的距离为25，故答案为：25；
(2)存在，设点P表示的数为x,当P点在A点的左侧(含A点)时：-10-x+5-x=25，解得：x=-15，当P点在A点和B点的之间(含B点)时：x-(-10)+5-x=25，解得：无解；当P点在B点的右侧时：x-(-10)+x-5=25，解得：x=10，∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x=-15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度；(3)由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，∵点P在点A、C之间，∴PA+PB+PC=AC+PB=25+PB，当点P与点A重合时，PB最大，此时PB=5-(-10)=15，∴PA+PB+PC的最大值为25+15=40，当点P与点B重合时，PB最小，此时PB=0，∴PA+PB+PC的最小值为25，∴S的最大值为40，最小值为25．
7.（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数a,b通过“※”运算得(a+2)×2-b,即a※b=(a+2)×2-b,例如：3※5=(3+2)×2-5=10-5=5，根据上面规定解答下题：(1)求7※(-3)的值；(2)7※(-3)与(-3)※7的值相等吗？
【解析】解：(1)7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=9×2+3=21(2)不相等．理由是：∵7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=9×2+3=21，(-3)※7=(-3+2)×2-7=-2-7=-9，即：21≠-9∴7※(-3)与(-3)※7的值不相等．
8.（2023秋•太康县期中）同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(1)|5-(-2)|= ____ ．(2)同理|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是 ______________________________ ．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x+6|+|x-3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【解析】解：(1)|5-(-2)|=7．故答案为：7；
-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2
四大常考点：知识梳理+针对训练
四大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三
精选8道期中真题对应考点练
考点1有理数的运算【例1】 【新视角·新定义题2024枣庄山亭区期末】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b ，规定 a ※ b ＝ ab ＋ b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则(－4)※2的值为( A )
【变式1-1】 [2024岳阳云溪区期中]设 a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是绝对值最小的有理数， d 是倒数等于它本身的有理数，则 ad －( b ＋ c )2 024的值为 .
考点2有理数的运算的应用【例2】 【情境题·生活应用2024潮州潮安区期末】当温度每上升1 ℃时，一段长15 mm的某种金属丝伸长0.002 mm.若把这 段金属丝从15 ℃加热到60 ℃，那么这段金属丝在60 ℃时 的长度是 mm.
【变式2-1】[2024衡水期末]气象部门可以通过高性能计算机模拟大气运动，从而预测天气情况.据预测，某地区7天后有集中性降水，因此水坝管理方根据预测的降水量决定在降水前进行安全泄洪，并连续泄洪7天.记设防水位(安全水位)为0 m，警戒水位为4.5 m，泄洪速度为0.5 m/天，目前水位为2.4 m.
(1)求连续泄洪7天后的水位.
解： (1)泄洪速度为0.5 m/天，则连续泄洪7天后的水位＝2.4－7×0.5＝－1.1(m).
(2)根据预测，此次降水过程中，水坝水位会以1.2 m/ 天的速度上涨，若连续降水5天，水位是否会超过 警戒水位？
解： (2)根据预测，此次降水过程中，水坝水位会以1.2 m/天的速度上涨，若连续降水5天，水位＝－1.1＋ 1.2×5＝4.9(m)＞4.5 m，故会超过警戒水位.
【变式2-2】某摩托车厂家计划本周每天生产250辆摩托车，由于工厂实行轮休，每天上班人数不一定相等，故实际每天生产的摩托车数量也不一样.实际每天生产与计划相比情况如下 表(超产为正，减产为负，单位：辆)：
(1)星期六生产了多少辆摩托车？
解： (1)250－9＝241(辆).答：星期六生产了241辆摩托车.
(2)本周实际总产量与计划相比是增加了还是减少了？增 加了或减少了多少？产量最多的一天比产量最少的一 天多生产了多少辆？
解： (2)－5＋7－3＋4＋10－9－25＝－21(辆)，所以本周实际总产量与计划相比减少了，减少了21辆.产量最多的一天为星期五，产量最少的一天为星期日，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了(＋10) －(－25)＝35(辆).
【例3】 [2024邢台期末]下面是琳琳作业中的一道题目：
“ ”处都是0但发生了破损，琳琳查阅后发现本题答案 为1，则破损处“0”的个数为( B )
【变式3-1】 [2024达州]大米是我国居民最重要的主食之一，与此同 时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳 定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为( B )
【变式3-2】【2024武汉洪山区模拟立德树人低碳环保】为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，到2030年我国新型储能装机容量达到3 000万千瓦以上，其中数据3 000万用科学记数法表示为 .
考点4近似数【例4】 [2024邯郸永年区期中]下列说法正确的是( B )
【变式4-1】 [2024秦皇岛海港区月考]将一个三位小数四舍五入保留 两位小数后是4.00.则这个三位小数最小是( B )
【变式4-2】 [2024烟台蓬莱区期末]用四舍五入法对数据35 953 760取近似数，要求精确到十万位，则这个近似数用科学记数 法可以表示为 .
题型一：有理数的加减运算技巧
例5计算：23＋(－17)＋6＋(－22).
解： 原式＝(23＋6)＋(－17－22)＝29＋(－39)＝－10.
技巧2凑整法【例6】 计算：(－3.1)－(－4.5)＋(＋4.4)－(＋1.3)＋(－2.5).
解： 原式＝－3.1＋4.5＋4.4－1.3－2.5＝(4.4－3.1－1.3)＋(4.5－2.5)＝2.
技巧3组合法【例7】计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2 023＋2 024－ 2 025－2 026.
解： 原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋…＋(2 023－2 025) ＋(2 024－2 026)＝－2×1 013＝－2 026.
题型二：有理数的四则混合运算技巧
【例13】 点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数是 a 和 b ，下列判断中，正确的是( B )
【变式13-1】 有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示.(1)试确定 a ， b ， ab ， a ＋ b 的符号；
解： (1) a ＞0， b ＜0， ab ＜0， a ＋ b ＜0.
【变式13-2】 [2024衡水期末]问题探索：将一根木棒放在数轴(单位长 度为1 cm)上，如图，木棒左端与数轴上的点 A 重合，右 端与数轴上的点 B 重合.
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到 点 B 时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木 棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 A 时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这 根木棒的长为 cm.
(2)图中点 A 所表示的数是 ，点 B 所表示的数是 .实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具 解决下列问题：(3)一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”请问妙妙现在多少岁了？
解： 当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为“－35岁”，所以奶奶与妙妙的年龄差为[115－(－35)]÷3＝50(岁)，所以妙妙现在的年龄为115－50－50＝15(岁).
【变式14-1】已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，若｜ a － b ｜＝ a － b ，则 ab ＝ .
点拨：因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，所以 a ＝±2， b ＝±5.
因为｜ a － b ｜＝ a － b ，易知 a ≠ b ，所以 a － b ＞0， 所以 a ＞ b .
所以 a ＝±2， b ＝－5.
所以 ab ＝2×(－5)＝－10或 ab ＝－2×(－5)＝10.
【变式14-2】 【新视角·新定义题】有一种能得到数 a 符号的运算 sgn( a )，当 a ＞0时，sgn( a )＝1；当 a ＝0时，sgn( a )＝ 0；当 a ＜0时，sgn( a )＝－1.例如，sgn(＋3)＝1，sgn(－5)＝－1.
(1)计算：sgn(－3)＝ ；
(2)如图，数轴上点 A ， B 表示的数分别为－2，3，点 P 在数轴上移动，点 P 表示的数为 x ，求sgn( x ＋2)＋ sgn( x －3)的值.
根据题意，需要分情况讨论，当 x ＜－2时， x ＋2＜0， x －3＜0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝(－1)＋(－1)＝－2；
当 x ＝－2时， x ＋2＝－2＋2＝0， x －3＝－2－3＝－5＜0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝0＋(－1)＝－1；
当－2＜ x ＜3时， x ＋2＞0， x －3＜0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋(－1)＝0；
当 x ＝3时， x ＋2＝3＋2＝5＞0， x －3＝3－3＝0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋0＝1；
当 x ＞3时， x ＋2＞0， x －3＞0，
所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋1＝2.
综上所述，当 x ＜－2时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝－2；当 x ＝－2时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝－1；
当－2＜ x ＜3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝0；
当 x ＝3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1；
当 x ＞3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝2.
错解剖析：乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序计算.
错解剖析：有理数的除法没有运算律，只有将除法转换成乘法才能运用乘法的运算律.若不能转化为乘法，则按常规运算顺序和法则计算.
错解剖析：在幂的表示中，若底数是负数，则必须用括号括起来；若没有带括号，则负号不属于底数，而属于幂.
易错点二 本章常见漏解情况类型1 数的正负性不确定而漏解例 4. 已知|a|=12，|b|=7，则a+b= .
正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12.因为|b|=7，所以b=7或b=-7.当a=12，b=7时，a+b=19；当a=-12，b=-7时，a+b=-19；当a=12，b=-7时，a+b=5；当 a=-12，b=7 时，a+b=-5.故答案为19，-19，5或-5.
错解剖析：由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论.
易错点二 本章常见漏解情况类型2 数轴上点的位置不确定而漏解例 5.在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 .
正解：当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时，-3+10=7；当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时，-3-10=-13.故答案为7 或-13.
错解剖析：在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑.
易错点三 建立有理数运算模型解决实际问题时列式错误类型2 数轴上点的位置不确定而漏解例 6.某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7. 若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？
正解：（2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7|=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7= 66（km），66×0.06 =3.96（L）即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L.
错解剖析:出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向
1.（2023秋•定州市期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为( ____ )×107 ×108 ×106 D.21.5×106
【解析】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．故选：A．
3.（2023秋•宁津县期中）知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，若a,b互为相反数__________(1)在数轴上标出c相反数的对应点的位置；(2)判断下列各式与0的大小：①b+c ____ 0；②a-b ____ 0；③bc ____ 0；(3)化简式子：|b|-|a+b|+|c-b|．
【解析】解：(1)在数轴上c的相反数所在的位置如图所示；(2)由a,b,c在数轴上对应点的位置可知，
c＜b＜0＜a,且a+b=0，∴①b+c＜0，②a-b＞0，③bc＞0，故答案为：＜、＞、＞；(3)原式=-b-0+b-c=-c.
4.（2023秋•南川区期中）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下(单位：km)：+3，+1，-2，+9，-8，+2，-4，+5，-3，+2．(1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程；(2)若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月(按30天算)的汽油费用．
【解析】解：(1)3+1-2+9-8+2-4+5-3+2=5(km)20×10+5=205(km)，答：小明家这10天轿车行驶的路程为205km.
(2)205×3÷100×7×8=344.4(元)，答：估计小明家一个月(按30天算)的汽油费用为344.4元．
5.（2023秋•天河区校级期中）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为-10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.________________________(1)点A到点C的距离为 ____ ；(2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；(3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【解析】解：(1)AC=15-(-10)=25，∴点A到点C的距离为25，故答案为：25；
(2)存在，设点P表示的数为x,当P点在A点的左侧(含A点)时：-10-x+5-x=25，解得：x=-15，当P点在A点和B点的之间(含B点)时：x-(-10)+5-x=25，解得：无解；当P点在B点的右侧时：x-(-10)+x-5=25，解得：x=10，∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x=-15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度；(3)由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，∵点P在点A、C之间，∴PA+PB+PC=AC+PB=25+PB，当点P与点A重合时，PB最大，此时PB=5-(-10)=15，∴PA+PB+PC的最大值为25+15=40，当点P与点B重合时，PB最小，此时PB=0，∴PA+PB+PC的最小值为25，∴S的最大值为40，最小值为25．
7.（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数a,b通过“※”运算得(a+2)×2-b,即a※b=(a+2)×2-b,例如：3※5=(3+2)×2-5=10-5=5，根据上面规定解答下题：(1)求7※(-3)的值；(2)7※(-3)与(-3)※7的值相等吗？
【解析】解：(1)7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=9×2+3=21(2)不相等．理由是：∵7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=9×2+3=21，(-3)※7=(-3+2)×2-7=-2-7=-9，即：21≠-9∴7※(-3)与(-3)※7的值不相等．
8.（2023秋•太康县期中）同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(1)|5-(-2)|= ____ ．(2)同理|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是 ______________________________ ．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x+6|+|x-3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【解析】解：(1)|5-(-2)|=7．故答案为：7；
-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2
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